1、指数函数与对数函数总结与练习一、指数的性质（一）整数指数幂1整数指数幂概念： an个 )(N01a10,2整数指数幂的运算性质：（1） （2）,mnZ,nmaZ（3） nnab其中 ， nmna1nnaabb3 的 次方根的概念一般地，如果一个数的 次方等于 ，那么这个数叫做 的 次方根，N,即： 若 ，则 叫做 的 次方根， axnnn1说明：若 是奇数，则 的 次方根记作 ； 若 则 ，若 则a0anoa；0n若 是偶数，且 则 的正的 次方根记作 ， 的负的 次方根，记作：0ann；（例如：8 的平方根 16 的 4 次方根 ）282164若 是偶数，且 则 没意义，即负数没有偶次方根；
2、n ；Nn,100n式子 叫根式， 叫根指数， 叫被开方数。 aana4 的 次方根的性质一般地，若 是奇数，则 ；nn若 是偶数，则 0aa5例题分析：例 1求下列各式的值：（1） （2） （3） （4）3821044例 2已知 ， 化简： ,0baNn, nnnba（二）分数指数幂1分数指数幂： 1051025aa12312430a即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式；如果幂的运算性质（2） 对分数指数幂也适用，nkk例如：若 ，则 ， ， 0a322a455a 233a454即当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式。规定：（1）正数
3、的正分数指数幂的意义是 ；0,1mnanN（2）正数的负分数指数幂的意义是 1nman2分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用即 10,rsrsaQ20,srrsQ3,0rbabr说明：（1）有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用；（2）0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂没意义。3例题分析：例 1 用分数指数幂的形式表示下列各式 ：ao， ， .2a32a例 2计算下列各式的值（式中字母都是正数） （1） ； （2） ；1151336226abab 8314mn例 3计算下列各式：（1） （2） 345125230a（三）综合应用例 1化简： .1
4、15xx例 2化简： .)()(4121yx例 3已知 ，求下列各式的值：（1） ；（2） .3x1x32x二、指数函数1指数函数定义：一般地，函数 （ 且 ）叫做指数函数，其中 是自变量，函数定义域xya01x是 R2指数函数 在底数 及 这两种情况下的图象和性质： xa101a图象（1）定义域： R（2）值域： (0,)（3）过点 ，即 时x1y性质（4）在 上是增函数 （4）在 上是减函数R例 1求下列函数的定义域、值域：（1） （2） （3） 128xy1()2xyxy例 2当 时，证明函数 是奇函数。1a1xay例 3设 是实数， ，a2()()1xfaR（1）试证明：对于任意 在
5、为增函数；,（2）试确定 的值，使 为奇函数。()fx三、对数的性质1对数定义：一般地，如果 （ ）的 次幂等于 N, 就是 ，那么数 a10且 babb 叫做 a 为底 N 的对数，记作 ，a 叫做对数的底数，N 叫做真数。log即 ， b指数式 ab底数 幂 指数对数式 Nlog对数的底数 真数 对数说明：1 在指数式中幂 N 0，在对数式中，真数 N 0 （负数与零没有对数）2 对任意 且 , 都有 ，同样： a101alogalog1a3如果把 中的 写成 ， 则有 （对数恒等式） blog3介绍两种特殊的对数：常用对数：以 10 作底 写成 10logNlg自然对数：以 作底为无理数
6、， = 2.71828 ， 写成 eeloeNlne例 2 （1）计算： ， 927（2）求 x 的值： ； 3l4x21l31xx（3）求底数： ， log5x 7log28x4对数的运算性质：如果 a 0 ， a 1， M 0 ，N 0， 那么（1） ；log()llogaa（2） ；-a（3） ll()naR例 3计算：（1）lg14 21g ； （2） ； 18lg79lg435换底公式： ( a 0 , a 1 ； )loglmaN0,1m证明：设 ，则 ，ogxx两边取以 为底的对数得： ， ，llogxNloglmxaN从而得： ， amla说明：两个较为常用的推论：（1） ；
7、（2） （ 、 且均不为 1） logl1abloglmnaab0b证明：（1） ；1log（2） ll ogmnaa b例 4计算：（1） ； （2） 0.21log35 4492l3log3例 5已知 ， ，求 （用 a, b 表示） 18log9a5b36log4例 6设 ，求证： 1643tzyx yxz21四、对数函数1对数函数的定义：函数 叫做对数函数。xyalog)10(且2对数函数的性质：（ 1） 定 义 域 、 值 域 ： 对 数 函 数 的 定 义 域 为 ， 值 域 为al)(且 ),0(),(（2）图象：由于对数函数是指数函数的反函数，所以对数函数的图象只须由相应的指数
8、函数图象作关于 的对称图形，即可获得。xy同样：也分 与 两种情况归纳，以 （图 1）与 （图 2）1a0xy2logxy21log为例。112xy2log（图 1）11()2xy12logyx（图 2）（3）对数函数性质列表： 1a01a图象（1）定义域： (0,)（2）值域： R（3）过点 ，即当 时，1x0y性质（4）在（0，+）上是增函数 （4）在 上是减函数(,)例 1求下列函数的定义域：（1） ； 2logxya例 2比较下列各组数中两个值的大小：（1） ， ； （3） ， .log3.42l8.5log5.1al9a例 3比较下列比较下列各组数中两个值的大小：（2） ， ； （3
9、） ， ， ； log2l0.80.911.log0.7l8例 4已知 ，比较 ， 的大小。logl4mnn解： ， ，441loglm当 ， 时，得 ，10n ， 44logln1当 ， 时，得 ，0m440logl ， 44ll0nm当 ， 时，得 ， ，1n(,),xxlogayxlogayx ， ， 01mn01mn综上所述， ， 的大小关系为 或 或 010mn例 5求下列函数的值域：（3） （ 且 ） 2log(47)ayx0a1例 6判断函数 的奇偶性。2()log(1)fxx例 7求函数 的单调区间。213log()yx指数函数和对数函数单元测试一 选择题1. 如果 ，那么 a
10、、b 间的关系是 【 log5l0ab】A B C D 011ba2. 已知 ，则函数 的图象必定不经过 【 ,xy】A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限3. 与函数 yx 有相同图象的一个函数是 【 】A B ，且 2logaxy(0)aC D ，且/yxla04. 函数 y=|log2x|的图象是 （ ）A1 xyOB1 xyOC1 xyOD1 xyO5.已知函数 在 上是 x 的减函数，则 a 的取值范围是 【 log(2)ayx(1,】A B C D (0,2)(1,)(,2,)6. 已知函数 的值域是 ，则它的定义域是 【 2logl)fxx(0】A B C D |
11、2|0|4|24x7.已知函数 在区间 是减函数，则实数 a 的取值范围2.5()log(3)fxxa2,)是 【 】A B C D (,4,)(4,4,8. 设 ，则 【 】713xA2x1 B3x2 C1x0 D0x19. 函数 的定义域为 E，函数 的定2()lg3)fxx()lg1)l(2)xx义域为 F，则【 】A B C D EEFF11. 已知 ，则 ( )cab212121logllogA B C Dcabcbabc2bac212.函数 的定义域是 （ 23()lg(1)1xf）A. B. C. D. (,)3(,1)31(,)31(,)3二 填空题13. 计算： 210319)4(2(4)( 14. 的定义域是_ 。12log(3)yx15. 方程 的解 _。)(l3x16. 若函数 的的图像过点 ，则 _.0,1)xfa且 (1,2)_a三 解答题17. 求下列函数的定义域和值域（1） （2）212()log(4)fxx21()3xf18. 求下列函数的单调区间（1） （2）241()xf 321()logfxx19. 已知函数 ()log(1)0)xafxa（1）求 的定义域；（2） 讨论 的单调性。(f20已知 求 的值,321x32132x
