机械振动习题解答.doc

1、第十五章 机械振动一 选择题1. 对一个作简谐振动的物体，下面哪种说法是正确的？( )A. 物体在运动正方向的端点时，速度和加速度都达到最大值；B. 物体位于平衡位置且向负方向运动时，速度和加速度都为零；C. 物体位于平衡位置且向正方向运动时，速度最大，加速度为零；D. 物体处负方向的端点时，速度最大，加速度为零。解：根据简谐振动的速度和加速度公式分析。答案选 C。2.下列四种运动（忽略阻力）中哪一种不是简谐振动？（ ）A. 小球在地面上作完全弹性的上下跳动；B. 竖直悬挂的弹簧振子的运动；C. 放在光滑斜面上弹簧振子的运动；D. 浮在水里的一均匀球形木块，将它部分按入水中，然后松开，使木块上

2、下浮动。解：A 中小球没有受到回复力的作用。答案选 A。3. 一个轻质弹簧竖直悬挂，当一物体系于弹簧的下端时，弹簧伸长了 l 而平衡。则此系统作简谐振动时振动的角频率为（ ）A. B. C. D. lglgglgl解 由 kl=mg 可得 k=mg/l，系统作简谐振动时振动的固有角频率为 。lgmk故本题答案为 B。4. 一质点作简谐振动（用余弦函数表达） ，若将振动速度处于正最大值的某时刻取作 t=0，则振动初相 为（ ）A. B. 0 C. D. 22解 由 可得振动速度为 。速度正最大时 )cos(tAx )sin(dtAtxv有 ， ，若 t=0，则 。0) cos(t 1 int 2

3、故本题答案为 A。5. 如图所示，质量为 m 的物体，由劲度系数为 k1 和 k2 的两个轻弹簧连接，在光滑导轨上作微小振动，其振动频率为 ( )A. mk21B. C. 21.kD. )m(解：设当 m 离开平衡位置的位移为 x，时，劲度系数为 k1 和 k2 的两个轻弹簧的伸长量分别为 x1 和 x2，显然有关系 21此时两个弹簧之间、第二个弹簧与和物体之间的作用力相等。因此有 xk12dtm由前面二式解出 ，将 x1 代入第三式，得到21kxxkt212d将此式与简谐振动的动力学方程比较，并令 ，即得振动频率)m(.。)k(.212所以答案选 D。6. 如题图所示，质量为 m 的物体由劲

4、度系数为 k1 和 k2 的两个轻弹簧连接，在光滑导轨上作微小振动，则该系统的振动频率为 ( ) )km(.v.kmv 2121 2121 D. C. B. A. 解：设质点离开平衡位置的位移是 x，假设 x0，则第一个弹簧被拉长 x，而第二个弹簧被压缩 x，作用在质点上的回复力为 ( k1x+ k2x)。因此简谐振动的动力学方程k1 k2m选择题 5 图选择题 6 图mk1 k2xktxm)(d212令 ，即mk212kv1所以答案选 B 。7. 弹簧振子在光滑水平面上作简谐振动时，弹性力在半个周期内所作的功为 ( )A. kA2 B. (1/2 )kA2 C. (1/4)kA2 D. 0

5、解：每经过半个周期，弹簧的弹性势能前后相等，弹性力的功为 0，故答案选 D。8. 一弹簧振子作简谐振动，总能量为 E，若振幅增加为原来的 2 倍，振子的质量增加为原来的 4 倍，则它的总能量为 ( )A. 2E B. 4E C. E D. 16E解：因为 ，所以答案选 B。21kA9. 已知有同方向的两简谐振动，它们的振动表达式分别为 cm)25.01cos(6cm)75.0cos(521 txtx代则合振动的振幅为 ( )A. cm B. cm C. 11cm D. 61cm6解 )cos(212121AA 61)75.0.655 所以答案选 A。10. 一振子的两个分振动方程为 x1 =

6、4 cos 3 t ，x 2 = 2 cos (3 t +) ，则其合振动方程应为：（ ）A. x = 4 cos (3 t +) B. x = 4 cos (3 t )C. x = 2 cos (3 t ) D. x = 2 cos 3 t 解：x =x 1+ x 2= 4 cos 3 t + 2 cos (3 t + )= 4 cos 3 t 2 cos 3 t = 2 cos 3 t所以答案选 D。11. 为测定某音叉 C 的频率，可选定两个频率已知的音叉 A 和 B；先使频率为800Hz 的音叉 A 和音叉 C 同时振动，每秒钟听到两次强音；再使频率为 797Hz 音叉 B和 C 同时

7、振动，每秒钟听到一次强音，则音叉 C 的频率应为： （ ）A. 800 H z B. 799 H z C. 798 H z D. 797 H z解：拍的频率是两个分振动频率之差。由题意可知：音叉 A 和音叉 C 同时振动时，拍的频率是 2 H z，音叉 B 和音叉 C 同时振动时，拍的频率是 1H z，显然音叉 C 的频率应为 798 H z。所以答案选 C。二 填空题1. 一质量为 m 的质点在力 F = 2 x 作用下沿 x 轴运动，其运动的周期为 。解： 。kT222. 如图，一水平弹簧简谐振子振动曲线如图所示，振子处在位移为零，速度为 A、加速度为零和弹性力为零的状态，对应曲线上的 点

8、，振子处在位移的绝对值为 A、速度为零、加速度为 2A 和弹性力为 kA 的状态，则对于曲线上的 点。解：b ； a、e 。3. 一简谐振动的振动曲线如图所示，相应的以余弦函数表示的该振动方程为x =_ m。解： 。)2cos(04. t4. 一物体作简谐振动，其振动方程为 x = 0.04 cos (5t / 3 / 2 ) m。(1) 此简谐振动的周期 T = 。(2) 当 t = 0.6 s 时，物体的速度 v = 。解：（1）由 5/ 3 =2/ T，得到 T= 1.2s；（2）v= 0.04 5/3sin (5t / 3 / 2 )，当 t = 0.6 s 时，v = 0.209 m

9、 . s 1。5. 一质点沿 x 轴做简谐振动，振动中心点为 x 轴的原点。已知周期为 T，振幅为A， (1)若 t =0 时刻质点过 x=0 处且向 x 轴正方向运动，则振动方程为 _；(2) 若 t =0 时质点位于 x=A/2 处且向 x 轴负方向运动，则振动方程为_。解：（1） ；（2） )/cos(Tt )32cos( TtA6. 图中用旋转矢量法表示了一个简谐振动，旋转矢量的长度为 0.04m，旋转角速度 = 4rad/s，此简谐振动以余弦函数表示的振动方程为 x = 。解：t=0 时 x=0，v0 ，所以振动的初相位是/2 。故 x = O xt = 0填空题 6 图填空题 2

10、图x tO1Abcde填空题 3 图)m(x )s(tO104.2。)24cos(0. t7. 质量为 m 的物体和一个弹簧组成的弹簧振子，其固有振动周期为 T，当它作振幅为 A 的简谐振动时，此系统的振动能量 E = 。解：因为 ，所以 。24Tk221TAmk8. 将质量为 0.2 kg 的物体，系于劲度系数 k = 19 N/m 的竖直悬挂的弹簧的下端。假定在弹簧原长处将物体由静止释放，然后物体作简谐振动，则振动频率为_，振幅为_。 解： 1.55 Hz； m 2013vAx.9. 已知一简谐振动曲线如图所示，由图确定：（1） 在 s 时速度为零；（2） 在 s 时动能最大；（3） 在

11、s 时加速度取正的最大值。解：（1）0.5(2n+1)， n=0,1,2,3；（2）n，n=0,1,2,3；（3）0.5(4n+1)，n=0,1,2,3 。10. 一质点作简谐振动，振幅为 A，当它离开平衡位置的位移为 时，其动2Ax能 Ek 和势能 Ep 的比值 =_。pk解 势能 ，总机械能为 ，动能 。故 8122Ax21kAE 832kAE。3pkE11. 两个同方向同频率简谐振动的表达式分别为(SI)， (SI)，则其合)42cos(10.6tTx )42cos(10.42tTx振动的表达式为_(SI)。解 本题为个同方向同频率简谐振动的合成。(1) 解析法 合振动为 ，21x)4c

12、os(0.6tTx )42cos(10.tT填空题 9 图x(m)t(s)1 2 30)2sin()co(5102tTt )2cos(10.7tT其中 11.3(2) 旋转矢量法 如图所示，用旋转矢量 A1 和 A2 分别表示两个简谐振动 x1 和 x2，合振动为 A1 和 A2 的合矢量 A，按矢量合成的平行四边形法则m，2210.7460, 5coscsinitan213.故合振动的表达式为 ).1cs(10.7tTx三 计算题1. 已知一个简谐振动的振幅 A = 2 cm，圆频率 = 4s 1，以余弦函数表达运动规律时的初相位 =/ 2。试画出位移和时间的关系曲线（振动曲线） 。解：圆频

13、率 = 4s 1，故周期 T=2/ = 2/4=0.5s ，又知初相位 =/ 2，故位移和时间的关系为 x = 0.02cos（4t +/ 2）m ，振动曲线如下图所示。2. 一质量为 0.02kg 的质点作简谐振动，其运动方程为 x = 0.60 cos(5 t /2) m。求：（1）质点的初速度；（2）质点在正向最大位移一半处所受的力。解：（1） )25sin(0.3d ttxvm/s.0（2） 2xmaFx=A/2=0.3 m 时， N。 15.03.5.3. 一立方形木块浮于静水中，其浸入部分高度为 a 。今用手指沿竖直方向将其慢慢压下，使其浸入水中部分的高度为 b ，然后放手让其运动

14、。试证明：若不计水对木块的粘滞阻力，木块的运动是简谐振动并求出周期及振幅。证明：选如图坐标系:，静止时 : ()gS任意位置时的动力学方程为： -(2)2dxmt将(1)代入(2)得 2d()xgSat0.020.02x(m)t(s)0.25 0.50OAA2A1xox令 ，则 ，上式化为：yxa2dxyt2dygSmt令 得: -(3)2gSm20上式是简谐振动的微分方程,它的通解为: 0cos()yAt所以木块的运动是简谐振动.振动周期: 2aTgS时， ， ， 振幅:0txb0y0v20Aybav4.在一轻弹簧下悬挂 m0=100g 的物体时，弹簧伸长 8cm。现在这根弹簧下端悬挂m=2

15、50g 的物体，构成弹簧振子。将物体从平衡位置向下拉动 4cm，并给以向上的21cm/s 的初速度（令这时 t=0）.选 x 轴向下，求振动方程解：在平衡位置为原点建立坐标，由初始条件得出特征参量。弹簧的劲度系数 。lgk/0当该弹簧与物体 构成弹簧振子，起振后将作简谐振动，可设其振动方程为：mcostAx角频率为 代入数据后求得 rad s1k/7以平衡位置为原点建立坐标，有：m, ms10.4x0.2v据 得： m 220Ax(/)v5A据 得 rad,由于 ,应取 rad1cos0.640v064.于是，所求方程为： m5(7)x.cost.据 得 ,由于 ,应取A01cos/20v/2

16、于是，其振动方程为：m20.6cos(1/2)xt5. 已知某质点作简谐运动，振动曲线如题图所示，试根据图中数据，求（1）振动表达式， （2）与 P 点状态对应的相位， （3）与 P 点状态相应的时刻。解 （1）设振动表达式为x = A cos ( t+)由题图可见，A=0.1m ，当 t = 0 时，有m，这样得到 。由05.cos.03振动曲线可以看到，在 t = 0 时刻曲线的斜率大于零，故 t =0 时刻的速度大于零，由振动表达式可得v0 = 2 sin 0即 sin 0，由此得到初相位 。3类似地，从振动曲线可以看到，当 t=4s 时有 0)34cos(1.04xin.v联立以上两式

17、解得 ，则 rad s1，因此得到振动表达式23445m)32co(10.tx（2）在 P 点， ，因此相位 。.)45cs(.0tx 0)3245(t（3）由 ，解出与 P 点状态相应的时刻 t = 1.6 s。)345(t6. 两个质点在同方向作同频率、同振幅的简谐振动。在振动过程中，每当它们经过振幅一半的地方时相遇，而运动方向相反。求它们的相位差，并画出相遇处的旋转矢量图。解：因为 ，所以) cos() cos(221tAtA，3 ,3 21tt故 ，取 。 0或 旋转矢量图如左。7. 如图，有一水平弹簧振子，弹簧的劲度系数 k = 24N/m，重物的质量 m = 6kg，xA2oA1m

18、 FO x计算题 7 图0.100.05x(m)t(s)4.0PO计算题 5 图重物静止在平衡位置上，设以一水平恒力 F = 10 N 向左作用于物体（不计摩擦） ，使之由平衡位置向左运动了 0.05m，此时撤去力 F，当重物运动到左方最远位置时开始计时，求物体的运动方程。解：设物体振动方程为：x = A c o s ( t +)，恒外力所做的功即为弹簧振子的能量 E：E = F 0.05 = 0.5 J当物体运动到左方最远位置时，弹簧的最大弹性势能即为弹簧振子的能量 E：kA2 / 2= 0.5由此球出振幅 A = 0.204 m 。根据 2 = k / m = 24/6 = 4 ( r a

19、 d / s )2，求出 = 2 r a d / s 。按题中所述时刻计时，初相位为 =。所以物体运动方程为x = 0.204 c o s (2 t +) m8. 一水平放置的弹簧系一小球在光滑的水平面作简谐振动。已知球经平衡位置向右运动时，v = 100 cms1，周期 T = 1.0s，求再经过 1/3 秒时间，小球的动能是原来的多少倍？弹簧的质量不计。解：设小球的速度方程为：v = vm c o s (2t/ T + )以经过平衡位置的时刻为 t = 0，根据题意 t = 0 时 v = v0 = 100 cm s-1，且 v0。所以v m = v 0， = 0此时小球的动能 Ek0 =

20、 m v02 / 2。经过 1 / 3 秒后，速度为 v = v0 c o s 2/ （3T ） = v 0 /2 。其动能Ek = m v 2 / 2 = m v02/ 8所以 Ek / E0 = 1/ 4，即动能是原来的 1/ 4 倍。9. 一质点作简谐振动，其振动方程为： x = 6.010-2 cos (t / 3 / 4) m。（1）当 x 值为多大时，系统的势能为总能量的一半？（2）质点从平衡位置移动到此位置所需最短时间为多少？解：（1）势能 Ep= kx2 / 2 ，总能量 E = kA2/2。根据题意，kx 2 / 2 = kA2 / 4，得到m，此时系统的势能为总能量的一半。

21、104./Ax(2) 简谐振动的周期 T = 2/ = 6 s，根据简谐振动的旋转矢量图，易知从平衡位置运动到 的最短时间 t 为 T / 8 ，所以/t = 6 / 8 = 0.75 s10. 如图所示，劲度系数为 k，质量为 m0 的弹簧振子静止地放置在光滑的水平面上，一质量为 m 的子弹以水平速度 v1 射入 m0 中，与之一起k m0v1 mx计算题 10 图运动。选 m、m 0 开始共同运动的时刻为 t = 0，求振动的固有角频率、振幅和初相位。解：碰后振子的质量为 m+ m0，故角频率 。mk0设碰撞后系统的速度为 v0， 碰撞过程中动量守恒，故得到 。系统的初01v始动能为 ，在

22、最大位移处全部转换为弹性势能 ，即振幅20)(1 2kA)()(011020 mmkkAvv令振动方程为 ，则速度 。) cos(tx sindtAtxv当 t=0 时， ，可解出初相位 。0sin,00vAA 211. 一个劲度系数为 k 的弹簧所系物体质量为 m0，物体在光滑的水平面上作振幅为 A 的简谐振动时，一质量为 m 的粘土从高度 h 处自由下落，正好在（a）物体通过平衡位置时， （b）物体在最大位移处时，落在物体 m0 上。分别求：（1）振动的周期有何变化？（2）振幅有何变化？解：（1）物体的原有周期为 ，粘土附上后，振动周期变为kT/200，显然周期增大。不管粘土是在何时落在物体上的，这一结论都正kmT/)(0确。（2） 设物体通过平衡位置时落下粘土，此时物体的速度从 v0 变为 v，根据动量守恒定律，得到 0vm又设粘土附上前后物体的振幅由 A0 变为 A，则有 2012k0)(1v由以上三式解出 ，即振幅减小。0Am物体在最大位移处时落下粘土， ，此时振幅不变。201kA