1、高三数学函数的图像、零点一：选择题1.已知函数 f（x）=x 22x+b 在区间（2，4）内有唯一零点，则 b 的取值范围是（ D ）A、R B、 （，0）C、 （8，+ ） D、 （8，0）2.设 ，用二分法求方程 在（1，3）内近似解的过程中，f（1）0，f（1.5）0，f（2）0，f （3）0，则方程的根落在区间（ A ）A、 （1，1.5） B、 （1.5 ，2）C、 （2，3） D、无法确定3.已知函数 31)(xf，那么在下列区间中含有函数 )(xf零点的是（ B ）（A） )31,0( （B） )21,(（C） 2 （D） 34.设函数 ，则函数 y=f（x） （ A ）A、在区
2、间（0，1） ， （1 ，2）内均有零点 B、在区间（0，1）内有零点，在区间（1，2）内无零点C、在区间（0，1） ， （1， 2）内均无零点 D、在区间（0，1）内无零点，在区间（1，2）内有零点5.已知 x是方程 3x的根, 2是方程 2log3x的根，则 21x的值为（ B ）A.2 B.3 C.6 D.106.已知 x0 是函数 f（x）=2 x+ 的一个零点若 x1（1，x 0） ，x 2（x 0，+ ） ，则（ B ）A、f（x 1）0，f（x 2）0 B、f（x 1）0，f（x 2）0C、f（x 1）0，f（x 2） 0 D、f （x 1）0 ，f（x 2）0解答：解：x 0
3、是函数 f（x） =2x+ 的一个零点f（x 0）=0f（x）=2 x+ 是单调递增函数，且 x1（1，x 0） ，x 2（x 0，+ ） ，f（x 1）f （x 0）=0f（x 2）故选 B7.如图是函数 f（x）=x 2+ax+b 的部分图象，函数 g（x）=e xf（x）的零点所在的区间是（k，k+1） （k z） ，则 k 的值为（ C ）A 1 或 0 B 0 C 1 或 1 D 0 或 1解答：解； 二次函数 f（x）图象的对称轴 x= （1， ） ，1 a2，由 g（x）=e x2xa=0 得 ex=2x+a分别作出函数 y=ex 和 y=2x+a 的图象，如图所示从而函数 y=
4、ex 和 y=2x+a 的图象的两个交点的横坐标分别在区间（1，0）和（1，2）上函数 g（x）=e xf（x）的零点所在的区间是（ 1，0）和（1，2） ；函数 g（x）=e xf（x）的零点所在的区间是（k，k+1） （kz） ，k=1 或 1故选 C8.若函数 f（x）的零点与 g（ x）=4 x+2x2 的零点之差的绝对值不超过 0.25，则 f（x）可以是（ A ）A f（x）=8x2 B f（x）=（x+1） 2 C f（x）=e x1 D f（x）=ln（x ）解答：解： g（x）=4 x+2x2 在 R 上连续，且 g（ ）= = 0，g（ ）=2+12=10设 g（x）=4
5、x+2x2 的零点为 x0，则又 f（x）=8x 2 零点为 x= ；f （x）=（x+1） 2 的零点为 x=1f（x）=e x1 零点为 x=0；f（x）=ln （x ）零点为 x= ，| | ，即 A 中的函数符合题意故选 A9若 2a，则方程 0323ax在(0,2)上恰好有（B ）个根A0 B 1 C2 D 310.已知函数 f（x）= ，若方程 f（x）+2a 1=0 恰有 4 个实数根，则实数 a 的取值范围是（ A ）A （ ，0 B ， 0 C 1， ） D （1， 解答：解：由 f（x）= ，要使方程 f（x ）+2a 1=0 有 4 个不同的实根，即函数 y=f（x）与函
6、数 y=12a 的图象有 4 个不同的交点，如图，由图可知，使函数 y=f（x）与函数 y=12a 的图象有 4 个不同的交点的 12a 的范围是1 ，2） ，实数 a 的取值范围是（ ，0故选 A11.函数 f（x）=tanx （ 2x3）的所有零点之和等于（ B ）A B 2 C 3 D 4解答：解：函数 f（x）=tanx （ 2x3）的零点即函数 y=tanx 与函数 y= =的交点的横坐标由于函数 y=tanx 的图象关于点（ ，0）对称，函数 y= 的图象也关于点（ ，0）对称，故函数 y=tanx 与函数 y= 的交点关于点（ ，0）对称，如图所示：设函数 f（x）=tanx （
7、 2x3）的零点分别为：x 1、x 2、x 3、x 4，则由对称性可得 x1+x4=，x 2+x3=，x1+x2+x3+x4=2，故选 B12.定义域为 R 的偶函数 f（x）满足对x R，有 f（x+2）=f（x）f（1） ，且当 x2，3时，f（x）=2x 2+12x18，若函数 y=f（x）log a（|x|+1）在（0，+）上至多三个零点，则 a 的取值范围是（ B ）A （ ，1） B （ ，1）（1，+ ）C （0， ） D （ ，1）解答：解：因为函数 f（x）是偶函数，所以令 x=1 得，f （ 1+2）=f（ 1）f（1）=f（1） ，解得f（1）=0，所以 f（x+2）=f
8、（x）f（1）=f（x） ，即函数的周期是 2由 y=f（x）log a（|x|+1）=0 得 f（x）=log a（|x|+1 ） ，令 y=f（x） ，y=log a（|x|+1） ，当 x0时，y=log a（|x|+1）=log a（x+1） ，函数过点（0，0） 若 a1，则由图象可知，此时数 y=f（x） loga（|x|+1 ）在（0，+ ）上没有零点，所以此时此时满足条件若 0a1，则由图象可知，要使两个函数 y=f（x）与 y=loga（x+1 ） ，有三个交点，则 y=m（x）=log a（x+1）不能过点 B（4， 2） ，即 m（4）2，即 loga52，解得 ，此时
9、所以满足条件的 a 的取值范围 a1 或 故选 B13.已知定义在 R 上的奇函数 f（x） ，当 x0 时，f（x）= 则关于x 的方程 6f（x） 2f（x） 1=0 的实数根个数为（ B ）A 6 B 7 C 8 D 9解答：解：设 t=f（x） ，则关于 x 的方程 6f（x） 2f（x）1=0，等价 6t2t1=0，解得 t= 或 t= ，当 x=0 时，f （0）=0 ，此时不满足方程若 2x4，则 0x 22，即 f（x）= = （2 |x3|1） ，若 4x6，则 2x 24，即 f（x）= = （2 |x5|1） ，作出当 x0 时，f（x）= 的图象如图：当 t= 时，f
10、（x）= 对应 3 个交点函数 f（x）是奇函数，当 x 0 时，由 f（x）= ，可得当 x0 时，f（x）= ，此时函数图象对应 4 个交点，综上共有 7 个交点，即方程有 7 个根故选：B14.已知函数 ，若方程 f（x）=t（t R）有四个不同的实数根 x1，x 2，x 3，x 4，则 x1x2x3x4 的取值范围是（ C ）A （30，34） B （30，36） C （32，34） D （32，36）解答：解：先画出函数 ，的图象，如图：a，b，c，d 互不相同，不妨设 abcd且 f（a） =f（b）=f（c）=f（d） ，0a1，1b4，4 c6 ，d6 log2a=log2b，
11、c+d=12，cd 24即 ab=1，c+d=12，abcd=cd=c（12 c）= c2+12c（4c6 ）的范围为（32，34） 故选 C二：填空题15若函数 2()4fxa的零点个数为 3，则 a_。416.已知函数 f（x）=k4 xk2 x+14（k+5）在区间0，2上存在零点，则实数 k 的取值范围是 （，45 ，+） 解答：解：令 t=2x，则 t1 ，4，f（t）=kt 22kt4（k+5）=k（t1） 25（k+4）在 1，4上有零点，f（1）f （4）0 即可，即5（k+4） （4k20）0，解得 k5 或 k4，故答案为：（，45，+） 17.已知函数 ，则关于 x 的方
12、程 f2（x）3f（x）+2=0 的实根的个数是 5 解答：解：方程 f2（x）3f（x）+2=0 等价于 f（x）=2 或 f（x） =1函数 ，1x1，f（x）1，1，|x|1 时，f（1）0，f（ x）=1 时，cos 或 x21=1，x=0 或 x= ，f（x）=2 时，x 21=2，x= ，综上知方程 f2（x）3f（x）+2=0 的实根的个数是 5故答案为：518.若关于 x 的方程 有四个不同的实根，则实数 k 的取值范围是 k1 解答：解：由于关于 x 的方程 有四个不同的实根，x=0 是此方程的 1 个根，故关于 x 的方程 有 3 个不同的非零的实数解方程 = 有 3 个不
13、同的非零的实数解，即函数 y= 的图象和函数 g（x）= 的图象有 3 个交点，画出函数 g（x）的图象，如图所示：故 0 1，解得 k1，故答案为：k1三：解答题19.已知函数 （k，m 为常数） （1） 当 k 和 m 为何值时， f（x）为经过点（1，0）的偶函数？（2）若不论 k 取什么实数，函数 f（x）恒有两个不同的零点，求实数 m 的取值范围解答：解：（1）因为函数 f（ x）为偶函数，f（x）=f（x）由此得 6kx=0 总成立，故 k=0 ，又该函数过点（1，0） ， ，得 m=所以，当 m= ，k=0 时，f（x）为经过点（1，0）的偶函数（2）由函数 f（x）恒有两个不同的零点知，方程 恒有两个不等实根，故= 0 恒成立，即 恒成立，而9k 2+12k= ，故只须 ，即 ，解得 0m 所以，当 0m 时，函数 f（x）恒有两个不同的零点20.已知 A，B，C 是直线 l 上的不同的三点，O 是直线外一点，向量 ， ， 满足，记 y=f（x） （1）求函数 y=f（x）的解析式；（2）若关于 x 的方程 f（x） =2x+b 在0 ，1上恰有两个不同的实根，求实数 b 的取值范围解答：解：（1）A， B，C 三点共线， （2）方程 f（x）=2x+b 即令 ，
