1、2009 年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题 5 分，共 20 分）1计算 _，其中区域 由直线 与yxyxDd1)ln()( D1yx两坐标轴所围成三角形区域.2设 是连续函数，且满足 , 则 _.)(xf 20d)(3)(xff )(f3曲面 平行平面 的切平面方程是_.22yz zyx4设函数 由方程 确定，其中 具有二阶导数，且 ，则)(x29ln)(yfef 1f_.2dxy2、（5 分）求极限 ，其中 是给定的正整数 .xenxxe)(lim20三、（15 分）设函数 连续， ，且 ， 为常数，求)(xf10d)()(txfgAxf)(lim0并讨论 在 处的连
2、续性.)(xg0四、（15 分）已知平面区域 ， 为 的正向边界，试0,|),(yxyDLD证：（1） ；LxyLxy eex ddsinsinsinsin（2） .2sinsin5yy五、（10 分）已知 ， ， 是某二阶常系xey21xeyxxey23数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.6、（10 分）设抛物线 过原点.当 时, ,又已知该抛物cbxayln2210x0y线与 轴及直线 所围图形的面积为 .试确定 ,使此图形绕 轴旋转一周而成的x131cba旋转体的体积最小.七、（15 分）已知 满足 , 且 , 求函数)(xun )21()(nexunn neu)1(项级数 之
3、和.1n八、（10 分）求 时, 与 等价的无穷大量.1x02nx2010 年 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、（25 分，每小题 5 分）（1）设 其中 求22(1)(1),nnxaa |1,lim.nx（2）求 。2limxxe（3）设 ，求 。0s0(1,2)sxnIed（4）设函数 有二阶连续导数， ，求 。()ft 1,()rxygfr2gxy（5）求直线 与直线 的距离。10:xylz213:4zl二、（15 分）设函数 在 上具有二阶导数，并且()fx,)且存在一点 ，使得 。()0,lim0li(0,xxf f0x0()fx3、（15 分）设函数 由参数方程 所确定，其中
4、具有二阶()yfx2(1)xty()t导数，曲线 与 在 出相切，求函数 。t213tuedt()t四、（15 分）设 证明：10,nnkaSa（1）当 时，级数 收敛；1n（2）当 且 时，级数 发散。()ns1naS五、（15 分）设 是过原点、方向为 ，（其中 的直线，均匀椭l(,)221)球，其中（ 密度为 1）绕 旋转。221xyzabc0,cbal（1）求其转动惯量；（2）求其转动惯量关于方向 的最大值和最小值。(,)六、(15 分)设函数 具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线 上，曲()x C线积分 的值为常数。42cydA（1）设 为正向闭曲线 证明L2()1,xy
5、42()0;cxydA（2）求函数 ；()（3）设 是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求 。C42()cxyd2011 年 第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷一 计算下列各题（本题共 3 小题，每小题各 5 分，共 15 分）（1）.求 ；1cos0inlmxx（2）.求 ；11li.2nn（3）已知 ，求 。2l1arctnttxey2dyx二（本题 10 分）求方程 的通解。2410xydxyd三（本题 15 分）设函数 f(x)在 x=0 的某邻域内具有二阶连续导数，且均不为 0，证明：存在唯一一组实数 ，使得“0,ff 123,k。1230lim0hkhkff四（本题 17 分）设 ，其中
6、 ，221:1xyzabc0abc， 为 与 的交线，求椭球面 在 上各点的切平面到原点2:z21距离的最大值和最小值。五（本题 16 分）已知 S 是空间曲线 绕 y 轴旋转形成的椭球面的上半2310xz部分（ ）取上侧， 是 S 在 点处的切平面， 是原点到0z,P,xz切平面 的距离， 表示 S 的正法向的方向余弦。计算：,（1） ；（2）,Sdxyz3SzxyzdS六（本题 12 分）设 f(x)是在 内的可微函数，且 ，,fxmf、其中 ，任取实数 ，定义 证明：01m0a1ln,2,.fa绝对收敛。1na七（本题 15 分）是否存在区间 上的连续可微函数 f(x)，满足0,2，02
7、1ff？请说明理由。0,xxd、2012 年 第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、（本大题共 5 小题，每小题 6 分共 30 分）解答下列个体（要求写出要求写出重要步骤）(1) 求极限 21)!(limn(2) 求通过直线 的两个互相垂直的平面 和 ，使其中03452:zyxl 12一个平面过点 。)1,(3) 已知函数 ，且 。确定常数 和 ，使函数byaxeuz2uab满足方程),(yxz 02zz(4) 设函数 连续可微， ，且 在右半(1)(uudyxdyx)()2(3平面与路径无关，求 。,yx(5) 求极限 dttxcosinlim13二、（本题 10 分）计算 xexsi20三
8、、求方程 的近似解，精确到 0.001.5012sin2x四、（本题 12 分）设函数 二阶可导，且 ， ，)(xfy0)(xf)(f，求 ，其中 是曲线 上点 处的0)(f ufx30sin)(limy,xP切线在 轴上的截距。五、（本题 12 分）求最小实数 ，使得满足 的连续函数 都 C1)(10dxf )(xf有 dxf)(10六、（本题 12 分）设 为连续函数， 。区域 是由抛物面)(xf0t2yxz和球面 所围起来的部分。定义三重积分22tzyx0dvzytF)(2求 的导数 )(t七、（本题 14 分）设 与 为正项级数，证明：na1nb1（1）若 ，则级数 收敛；0limnn
9、 na1（2）若 ，且级数 发散，则级数 发散。11banbna12013 年 第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、 解答下列各题（每小题 6 分共 24 分，要求写出重要步骤）1.求极限 .2lim1sin4nn2.证明广义积分 不是绝对收敛的0xd3.设函数 由 确定，求 的极值。y323yyx4.过曲线 上的点 A 作切线，使该切线与曲线及 轴所围成的平面图形3x的面积为 ，求点 A 的坐标。4二、（满分 12）计算定积分 2sinarct1oxxeId三、（满分 12 分）设 在 处存在二阶导数 ，且fx00f。证明 ：级数 收敛。0limxf1nf四、（满分 12 分）设 ，证明,0
10、fxfaxb2sinbafxdm五、（满分 14 分）设 是一个光滑封闭曲面，方向朝外。给定第二型的曲面积分 。试确定曲3332Ixdyzydzxzdxy面 ，使积分 I 的值最小，并求该最小值。六、（满分 14 分）设 ，其中 为常数，曲线 C 为椭2aaCydxIrA圆 ，取正向。求极限22xyrlimarI七（满分 14 分）判断级数 的敛散性，若收敛，求其和。12nn2014 年 全国大学生数学竞赛预赛试题一、 填空题(共有 5 小题，每题 6 分，共 30 分)1. 已知 和 是齐次二阶常系数线性微分方程的解，则该方程是_ xey1x1_2. 设有曲面 和平面 。则与 平行的 的切平
11、面方程2:yzS02:zyxLLS是_3. 设函数 由方程 所确定。求 _)(xyxydt124sin0xdy4. 设 。则 _nk1)!(nlim5. 已知 。则 _310liexfx20)(lixf二、 （本题 12 分）设 为正整数，计算 。n121lncosnedxxI三、 （本题 14 分）设函数 在 上有二阶导数，且有正常数 使得)(xf1,0 BA,。证明：对任意 ，有 。Bxf|)(“| 2|)(|xf四、 （本题 14 分）（1 ）设一球缺高为 ，所在球半径为 。证明该球缺体积为hR。球冠面积为 ；（2 ）设球体2)3(hRR被平面 所截得小球缺为 ，记1)(zyx 6:zyxP球冠为 ，方向指向球外。求第二型曲面积分dxdyzI
