1、 第 1 页，共 18 页2017 年中国研究生数学建模竞赛 B 题（华为公司命题）面向下一代光通信的 VCSEL激光器仿真模型友情提示：阅读本题附录 3 有助于理解本题的相关概念与方法。随着互联网技术的快速发展，家庭固定网络速度从原来的 2Mbps、10Mbps，快速发展到了今天的百兆（100Mbps） ，甚至千兆（1000Mbps）光纤宽带入户。“光纤宽带入户” ，顾名思义，就是采用光纤来传输信号。光纤中传输的激光信号具有远高于电信号传输速率的特点(激光信号传输带宽远大于电信号传输带宽)，更适合于未来高速率的传输网络。工程师们在光纤通信传输系统设计前，往往会通过计算机仿真的方式研究系统设计
2、的指标，以便快速找到最适合的解决方案。因此在进行系统仿真时，需要准确掌握系统中各个器件的特性以保证仿真模型的精度。激光器作为光纤通信系统的核心器件是系统仿真中需要考虑的一个重要因素。与我们生活息息相关的激光器种类繁多，其中的垂直腔面发射激光器（VCSEL: Vertical Cavity Surface Emitting Laser）具有使用简单，功耗较低等特点，一般 VCSEL 的工作电流在 6mA8mA。本题的主要任务，就是得到能准确反映VCSEL 激光器特性的数学模型。激光器输出的光功率强度与器件的温度相关，当器件温度（受激光器自身发热和环境温度的共同影响）改变后，激光器输出的光功率强度
3、也会相应发生变化。在进行建模时，我们既要准确反映 VCSEL 激光器特性，还要考虑：1. 激光器输出的功率强度与温度的关系即该激光器可以在多大的外界环境温度范围内使用；2. 如何设计激光器参数可以使激光器具有更大的传输带宽（即 S21 曲线上纵坐标-10dB 位置对应的横坐标频率值更大）即可以实现更快的传输速率。1 问题 1：VCSEL 的 L-I 模型第 2 页，共 18 页L-I 模型，即激光器的工作电流与输出光功率强度关系模型（L ：light ，表示光功率强度，也可以表示为 P；I：Intensity of current，表示工作电流） 。激光器是将电能转换成光能的半导体器件，能量转
4、换的过程，也是电子的电能转换为光子的光能的过程，在转换过程中，伴随着电子的运动，半导体器件会产生一定的热量。从能量守恒的角度看，转化为热能的能量越多（发热导致能量浪费了） ，器件温度越高，那么转化为光能的能量越少（输出光功率越低） ，可以利用的能量就越少。国际上很多研究机构对 VCSEL 的 L-I 建模问题做了大量研究，目前有一个 L-I 经验公式获得了大多数人的认可。附录 1 给出了该公式及其一种参数化表达，请你们根据附件提供的文件名为“L-I-20C.mat ”的 L-I 实测数据（数据在室温20下采集，载入 matlab 后将获得 4 个变量：P:光功率，I: 实测驱动电流，U ：实测
5、电压，Ta：实测温度）和附录 1 中的 表 1 给出的一组经验值，完成如下工作：a) 确定模型参数 ，根据模型画出 10，20，0234,thtIRa30，90等温度下的 L-I 曲线（横坐标是电流强度，纵坐标是光功率） 。b) 假定当电信机房里 VCSEL 激光器在直流输入时输出的平均光功率低于2mW 时，用户的光猫无法检测到信号。那么，根据建立的 L-I 模型推测：电信机房里 VCSEL 激光器工作的环境温度最多不能高于多少摄氏度，才能保证用户可以正常使用网络？2 问题 2：L-I 模型的改进分析问题 1 中模型的精度和误差产生的原因，提出你们的改进，根据改进模型画出 10，20，30，9
6、0等温度下的 L-I 曲线，并与问题 1 中 L-I曲线进行比较。你们也可以采用完全不同的方法得到更好的 L-I 模型。3 问题 3：VCSEL 的带宽模型（小信号响应模型）VCSEL 的传输带宽越宽，用户上网的网速也就越快。为了适应未来的高速传第 3 页，共 18 页输网络需求，期望设计出具有更宽带宽的激光器。带宽模型，通常也称为小信号响应模型，就是给器件输入不同频率的幅度非常小的信号（注意与 L-I 模型不同，这里幅度小，而且含多个频率，对应 S21 曲线横坐标是频率，纵坐标是光功率幅度） ，获得对应频率点输出信号的幅度（功率） ；这里“不同频率”是从 0 频到指定频率按一定步长进行扫描，
7、例如从 0 开始以 0.5GHz 为步长，扫描到 30GHz。在无线通信中，器件带宽通常采用幅度 3dB 衰减位置的信号带宽来衡量即3dB 带宽。在光纤通信中，由于系统可用幅度衰减范围更大，通常采用幅度 10dB衰减位置的信号带宽进行衡量10dB 带宽。附件中名为“S21_5.mat”的文件给出了一组 VCSEL 激光器小信号幅频响应曲线数据和相应的驱动电流、输出光功率数据，将数据载入 MATLAB 将获得 4 个变量： I_b=7.5，表示偏置电流为7.5mA；Ta=20 表示测试的环境温度是 20；f 表示 S21 曲线的频率，单位为Hz；S21 表示 S21 曲线的幅度，单位为 dB，请
8、你们：a) 建立恰当的激光器小信号幅频响应参数模型，给出参数构成及其确定方法，画出不同环境温度和不同偏置电流下的带宽响应曲线（即 S21 曲线） ，其中一条必须是 20下 7.5mA 偏置电流的仿真输出曲线。b) 利用你们的带宽模型，分析激光器的温度和激光器的偏置电流对器件带宽曲线的影响。c) 假定激光器工作环境温度可以采用某些措施让它固定在 20（例如，通信设备商通常的做法是将激光器放到精密的恒温箱中进行测试。若将激光器放在室内环境测试，随着测试时间的变成，激光器本身会发热导致激光器表面及其周边环境温度升高，而恒温箱则可以保证其表面和周边环境温度恒定不变） ，偏置电流固定在 7.5mA，那么
9、，如果要获得更宽带宽的激光器设计方案，还可以通过什么手段实现？d) 改变激光器的某些参数可以发现一些有趣的问题，比如激光器在 3dB 范围内的部分频率处幅度可能会高于 0 频位置。请问，改变哪些参数会有这种现象？在实际应用中，我们希望这部分带宽曲线越平坦越好，那么如何设计这些参数可以实现我们的目的？附录 2 给出了一种基于速率方程的建模方法，你们可以在确认其推导正确的基础上提出参数估计方法并根据题目提供的数据确定合适的参数以完善模型。你第 4 页，共 18 页们还可以对推导过程进行完善或者改进，以得到更为精确的模型。0 5 10 15 20 25-16-14-12-10-8-6-4-20Fre
10、quency (GHz)Amplitude (dB) 图 1 某激光器 S21 曲线对于 S21 曲线的一些基本说明：假定图 1 是实验室在不同条件下（不同测试环境温度，不同偏置电流）测试到某型号激光器的三条 S21 曲线（幅频响应曲线）。图中横坐标为频率，纵坐标为不同频率对应的幅度，-10dB 幅度位置的虚线表示所关注的对应的频率大小（带宽） 。从图中可以看到，号曲线对应的横坐标频率（带宽）约 13GHz， 号曲线对应的横坐标频率（带宽）约 22GHz，号曲线对应的横坐标频率（带宽）大于 25GHz。即三条 S21 曲线中，号曲线的-10dB 带宽最大。4 问题 4：VCSEL 带宽模型的改
11、进开放性探索问题：是否有更好的带宽模型建模方式，使得模型运算速度更快？或者在相同的温度和偏置电流下，可以获得更宽的 3dB（或 10dB）带宽?如果有，请给出建模方案，包括可能的数学公式，不同温度和偏置电流下的第 5 页，共 18 页带宽响应曲线，并与问题 3 的模型进行比较。1 附录 1：激光器 L-I 模型一般认为，VCSEL 的各参数间满足如下规律：（1）0,thTIPN其中：激光器输出的光功率，在 L-I 中光功率也用 L 来表示，即 L-I 也可0P以写成 P-I：注入到激光器的外部驱动电流，包含外部加载的偏置电流 Ib 和信号I电流，在无信号时为偏置电流 Ib：L-I 曲线的斜率，
12、从能量转换角度看，斜率对应于转换效率(L-I 曲T线横坐标是电流 I，纵坐标是出光功率 P，斜率越高，相同电流 I 对应的输出光功率越高，相同电能转换为的光能越多，即转换效率越高)；与温度相关：阈值电流；激光器电流超过该值则激光发光；与载流子数和,thINT温度相关：载流子数假设：1. 转换效率 受温度影响较小，即 近似于常数 ；TT2. 0,ththofINI其中 为常数， 是与温度相关的经验热偏置电流（即激光器内部的t f偏置电流，随激光器温度的变化而变化，有别于外部人为加载的激光器偏置电流Ib） 。这样（1）式可以简化为（2）00thofPIT将 表示为：ofIT第 6 页，共 18 页
13、（3）0nofITa式* MERGEFORMAT (4)中的温度 受外界环境温度 和自身的温度影响，0自身的温度与器件产生的瞬时功率 相关，即受 V-I 特性（电压-电流特性）影VI响：（5）00thtdTIPRT：VCSEL 热阻抗thR：热时间常数|t：环境温度0T：偏置电流 Ib （输入电流）I：输入电压V式（2）-（5）就是 VCSEL 的一种经验模型，其中的参数需要根据实验数据确定，表 1 给出的仅是一组（并非最佳）参考初值：表 1 L-I 模型初值设置即模型参数提取参数 参考初值 单位0.5 -0thI0.3E-3 AtR2.6E3 /W0a1.246E-3 A1-2.545E-5
14、 A/K22.908E-7 A/K23a-2.531E-10 A/K341.022E-12 A/K4第 7 页，共 18 页2 附录 2：基于速率方程的带宽模型推导将偏置电流和注入激光器的外部驱动电流代入激光器速率方程，得到：（6）0000011ithofnpnGdNNITStqSSt VCSEL 输出的光功率与光子数成正比，假定比例因子为 k（7）0PkSVCSEL 的小信号响应建模的思路为：1. 求出稳态下的电流 、载流子数 、光子数 ；稳态，即无驱动信号情sIsNsS况下，激光器中的电流为直流信号，此时电流是稳定的，载流子数、光子数也都是稳定的；2. 加载小信号（小信号为信号幅度非常小的
15、信号，不同频率处的信号幅度不同，因此小信号是与频率相关的小幅度信号） ，可以假定小信号引入了与频率相关的电流、载流子数、光子数，数学表达可以写成： ， ， ifnfsf3. 给 VCSEL 加载上小信号后，原来速率方程中的电流、载流子数、光子数：载流子数N： 时间t：注入效率；或转换效率；i：物理常量，电子电量，1.610 -19 库伦q：透明载流子数，当载流子数 N 大于透明载流子数的时候，激光器有源区发生粒0子束反转，满足产生激光的其中一个条件I：注入的外部驱动电流；Ioff(T)：与温度相关的偏置电流 ：载流子复合寿命n：光子寿命（p: Photon, 光子）p：增益系数，激光产生的阈值
16、条件，增益大于总损耗；0G：光子数S：受激辐射耦合系数：增益压缩因子第 8 页，共 18 页则表示为稳态下的值与小信号下引入信号变化的值的和。（8）22jftsjftjftsItieNStn其中， ， ， 足够小。ifnff可以根据前面所有材料提到的数学表达式（主要为等式* MERGEFORMAT (6)和等式* MERGEFORMAT (7)）推导出 VCSEL 的小信号响应模型数学表达式。【下面是小信号响应数学表达式推导的过程】当外部驱动电流保持恒定，载流子数 N 与光子数 S 将在一段时间的瞬态后达到稳定状态，此时 N 和 S 对时间求导为 0（稳态下，载流子和光子数变化为 0） ，那么
17、等式* MERGEFORMAT (6)可以写为（9）000=1ithofnGITSq（10）00pnNS现在研究在已知输出光功率 情况下激光器中载流子的浓度问题。 将0P关系式带入等式 * MERGEFORMAT (10)，此时求出的 N 为稳态下载流子oPkS浓度，记为 ，等式* MERGEFORMAT (10)中的第二个等式得到sN第 9 页，共 18 页（11）000000000000000000=1sspnsspnsn pnsn pns pPGNSPkGNkGPSk kkPNk00000/ps npsnPPNkGGk其中， 为通过仪器测量到的激光器的实测出光功率，0为参数。根据实测光功
18、率和参数值，从等式* ,pnGNkMERGEFORMAT (11)可以计算出激光器中载流子浓度 。sN根据计算出来的载流子浓度 可以进一步计算激光器中用于转换成光能的激sN光器驱动电流 和激光器中稳态下理论上可计算处的光子数 。curI sS将 和等式* MERGEFORMAT (11)计算出的载流子浓度 带入等式* oPkSMERGEFORMAT (9)中，求出的电流 即为根据速率方程从理论上所计算出的激I光器发光的驱动电流 curI（12）00000 =icrthof ssnsscur thofinITNPqkI ITGNkP根据计算出的稳态下载流子浓度 ，从等式* MERGEFORMAT
19、 (9)可以计算s稳态下理论上的光子数 sS第 10 页，共 18 页（13）000=1ithof sssnITNSqG在通常的 VCSEL 激光器中， ，根据等式* MERGEFORMAT (13)得sS=到理论计算出的激光器稳态工作时的光子数（14）00000/ithofsssnithof sns sNGITSqIqS值得考虑的问题是：此处如果不做简化，是否可以得到更准确的计算结果？根据前面介绍知道，激光器输出光功率与光子数成正比，比例因子为 ，那k么根据理论计算出的光子数 可以计算出理论上的出光功率sSodsPkS（15）至此，我们已经计算出了激光器理论的出光功率和理论上的驱动电流的值，
20、而通过仪器可以测量出激光器的出光功率，驱动电流，电压为;odcurPI。0V重新梳理一次上述信息，根据实测激光器光功率 值和参数0P，我们可以计算出载流子浓度 ；将计算出的载流子浓度0,pnGNksN带入等式* MERGEFORMAT (12)，可以得到理论上的驱动电流 ，该理论值s curI与实测驱动电流值相减可以得到第 1 个误差约束关系。再将计算出的载流子浓度带入等式* MERGEFORMAT (14)和等式* MERGEFORMAT (15)，可以得到理s论上的激光器出光功率，将该理论光功率值与实测激光器光功率 相减可以得0P到第 2 个误差约束；第 3 个误差约束将由理论计算出的小信号响应与测试的小信号响应值给出。现在进一步考虑加载小信号的情况以获得小信号响应的理论表达式。将等式* MERGEFORMAT (8)带入速率方程等式* MERGEFORMAT (6)，
