1、12017 年普通高等学校招生全国统一考试（卷）逐题解析理科数学1、 选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。【题目 1】(2017新课标全国卷理 1)1. （ ）31iA B C D2i12i2i 2i【命题意图】本题主要考查复数的四则运算及共轭复数的概念，意在考查学生的运算能力.【解析】解法一：常规解法31421ii i解法二：对十法可以拆成两组分式数 ，运算的结果应为 形式， （分子十字相乘，31i31abi231a分母为底层数字平方和） ， （分子对位之积差，分母为底层数字平方和）.21b解法三：分离常数法 1321
2、iii ii解法四：参数法，解得3331311 abiabiiabiiabi 21ab故 2i【知识拓展】复数属于新课标必考点，考复数的四则运算的年份较多，复数考点有五：1.复数的几何意义（2016 年） ；2.复数的四则运算；3.复数的相等的充要条件； 4.复数的分类及共轭复数；5.复数的模【题目 2】(2017新课标全国卷理 2)2.设集合 ， 若1,24A240xm，则 （ ）1AA B C D,31,0,31,5【命题意图】本题主要考查一元二次方程的解法及集合的基本运算，以考查考生的运算能力为目的.2【解析】解法一：常规解法 1 是方程 的一个根，即 ， AB240xm3m2430Bx
3、故 ,3解法二：韦达定理法 1 是方程 的一个根， 利用伟大定理可知： ，解得：AB240xm14x，故 13x,3解法三：排除法集合 中的元素必是方程方程 的根， ，从四个选项 ABCDB240xm124x看只有 C 选项满足题意.【知识拓展】集合属于新课标必考点，属于函数范畴，常与解方程求定义域和值域数集意义相结合，集合考点有二：1.集合间的基本关系；2.集合的基本运算.【题目 3】(2017新课标全国卷理 3)3.我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是
4、上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯（ ）A1 盏 B3 盏 C5 盏 D9 盏【命题意图】本题主要考查等比数列通向公式 及其前 项和 ，以考查考生的运算能力为主目nanS的.【解析】解法一：常规解法一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，即 ；相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，即7381S，塔的顶层为 ；由等比前 项和 可知： ，解得2q1an11nnaq17381naS.13a解法二：边界效应等比数列为递增数列，则有 ， ，解得 ， .1naS8731a12.9a13a【知识拓展】数列属于高考必考考点，一般占 10 分或 12 分，即两道小题或一道大题，其中必有一道小题属于基础题
5、，一道中档偏上题或压轴题，大题在 17 题出现，属于基础题型，高考所占分值较大，在高中教学中列为重点讲解内容，也是大部分学生的难点，主要是平时教学题型难度严重偏离高考考试难度，以及研究题型偏离命题方向，希望能引起注意；考试主线非常明晰，1.等差数列通向公式 及其前 项和 ；2. 等比数列通向公式 及其前 项和 .nanSnanS3【题目 4】(2017新课标全国卷理 4)4.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，学 科&网粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（ ）A B C D90634236【命题意图】本题主要考查简单几何体三视图及体积，以
6、考查考生的空间想象能力为主目的.【解析】解法一：常规解法从三视图可知：一个圆柱被一截面截取一部分而剩余的部分，具体图像如下：切割前圆柱 切割中 切割后几何体从上图可以清晰的可出剩余几何体形状，该几何体的体积分成两部分，部分图如下：从左图可知：剩下的体积分上下两部分阴影的体积，下面阴影的体积为 ， ， ， ；上面阴影的体积 是上VSh3r4136V2V面部分体积 的一半，即 ， 与 的比为高的比（同底） ，3231即 ， ，故总体积 .31221740263第二种体积求法： ，其余同上，故总体积35VSh.0216V【知识拓展】三视图属于高考必考点，几乎年年考三视图，题型一般有五方面，1.求体积
7、；2. 求面积（表面积，侧面积等） ；3.求棱长；4.视图本质考查（推断视图，展开图，空间直角坐标系视图） ；5.视图与球体综合联立，其中前三个方面考的较多.4【题目 5】(2017新课标全国卷理 5)5.设 ， 满足约束条件 ，则 的最小xy230xy2zxy值是（ ）A B C D1919【命题意图】本题主要考查线性规划问题，以考查考生数形结合的数学思想方法运用为目的，属于过渡中档题.【解析】解法一：常规解法根据约束条件 画出可行域（图中阴影部分） , 作直线 ，平移直线 ，230xy :20lxyl将直线平移到点 处 最小，点 的坐标为 ，将点 的坐标代到目标函数 ，AZA6,3A2Zx
8、y可得 ，即 .15Zmin15解法二：直接求法对于封闭的可行域，我们可以直接求三条直线的交点，代入目标函数中，三个数种选其最小的为最小值即可，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，所求值分A6,3B6,3C0,1别为 ，故 ， .159min15Zmax9解法三：隔板法首先 看约束条件方程的斜率约束条件方程的斜率分别为 ；230其次 排序按照坐标系位置排序 ；再次 看目标函数的斜率和 前的系数ylAy = -32x+3y-3=0 2x-3y+3=0 xOyCB5看目标函数的斜率和 前的系数分别为 ；y21最后 画初始位置，跳格，找到最小值点目标函数的斜率在 之间，即为初始位置， 前
9、的系数为正，则按逆时针旋转，第一格为2,03y最大值点，即 ，第二个格为最小值点，即 ，只需解斜率为 和 这两条线的交点, 20,3023即可，其实就是点 ，点 的坐标为 ，将点 的坐标代到目标函数 ，A6,AZxy可得 ，即 .15Zmin15【知识拓展】线性规划属于不等式范围，是高考必考考点，常考查数学的数形结合能力，一般变化只在两个方向变化，1.约束条件的变化；2.目标函数的变化；约束条件变化从封闭程度方面变化，目标函数则从方程的几何意义上变化，但此题型属于高考热点题型（已知封闭的约束条件，求已知的二元一次方程目标函数） ，此题型属于过渡中档题，只需多积累各题型解决的方法即可.【题目 6
10、】(2017新课标全国卷理 6)6.安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安排方式共有（ ）A12 种 B18 种 C24 种 D36 种【命题意图】本题主要考查基本计数原理的应用，以考查考生的逻辑分析能力和运算求解能力为主.【解析】解法一：分组分配之分人首先 分组将三人分成两组，一组为三个人，有 种可能，另外一组从三人在选调一人，有 种可36A 13C能；其次 排序两组前后在排序，在对位找工作即可，有 种可能；共计有 36 种可能.2A解法二：分组分配之分工作工作分成三份有 种可能，在把三组工作分给 3 个人有 可能，共计有 36 种可能.
11、246C 36A解法三：分组分配之人与工作互动先让先个人个完成一项工作，有 种可能，剩下的一项工作在有 3 人中一人完成有342A 13C种可能，但由两项工作人数相同，所以要除以 ，共计有 36 种可能.2解法四：占位法其中必有一个完成两项工作，选出此人，让其先占位，即有 中可能；剩下的两项工作12348C6由剩下的两个人去完成，即有 种可能，按分步计数原理求得结果为 36 种可能.2A解法五：隔板法和环桌排列首先让其环桌排列，在插两个隔板，有 种可能，在分配给 3 人工作有 种可能，按分246C36A步计数原理求得结果为 36 种可能.【知识拓展】计数原理属于必考考点，常考题型有 1.排列组
12、合；2. 二项式定理，几乎二者是隔一年或隔两年交互出题，排列组合这种排序问题常考，已经属于高考常态，利用二项式定理求某一项的系数或求奇偶项和也已经属于高考常态，尤其是利用二项式定理求某一项的系数更为突出.【题目 7】(2017新课标全国卷理 7)7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩老师说：你们四人中有 2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，学 科&网给丁看甲的成绩看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩根据以上信息，则（ ）A乙可以知道四人的成绩 B丁可以知道四人的成绩C乙、丁可以知道对方的成绩 D乙、丁可以知道自己的成绩【命题意图】本题考查推理与证
13、明的有关知识，考查考生推理论证能力.【解析】解法一：假设法甲看乙丙成绩，甲不知道自己的成绩，那么乙丙成绩中有一人为优，一人为良；乙已经知道自己的成绩要么良，要么优，丙同样也是，当乙看到丙的成绩，一定知道自己的成绩，但是丙一定不知道自己的成绩；而丁同学也知道自己的成绩要么良，要么优，只有看到甲的成绩，才能判断自己的成绩，丁同学也一定知道自己的成绩，故只有乙丁两位同学知道自己的成绩.解法二：选项代入法当我们不知道如何下手,则从选项入手，一一假定成立，来验证我们的假设是否成立，略【知识拓展】推理与证明近两年属于热点考题，2016 年的第 15 题（理）第 16 题（文） ，今年的理（7）文（9） ，
14、属于创新题，突出新颖，但题的难度不大，需要考生冷静的思考，抓住主要知识要点，从而能够快速做题，属于中档题.【题目 8】(2017新课标全国卷理 8)8.执行右面的程序框图，如果输入的 ，则输出的 （ 1aS）A2 B3 C4 D5【命题意图】本题考查程序框图的知识，意在考查考生对循环结构的理解与应用.【解析】解法一：常规解法 ， ， ， ， ， 执行第一次循环：0S01K0aSaKa 11a；执行第二次循环： ；执行第三次循环： 221S2a2332S731a；执行第四次循环： ；执行第五次循环： 4K42S41a45K53S51a；执行第五次循环： ；当 时，终止循环，输出 ，5663667
15、66S故输出值为 3.解法二：数列法， ，裂项相消可得 ；执行第一次循环： 1nnS1nK12niniS1S ，当 时， 即可终止， ，即 ，故输出a26n6345663值为 3.【题目 9】(2017新课标全国卷理 9)9.若双曲线 （ ， ）的一条渐近线被圆C:21xyab0ab所截得的弦长为 2，则 的离心率为（ ）24xyA2 B C D3 23【命题意图】主要考查双曲线的性质及直线与圆的位置关系，意在考查考生的转化与化归思想.【解析】解法一：常规解法根据双曲线的标准方程可求得渐近线方程为 ，根据直线与圆的位置关系可求得圆心到byxa渐进线的距离为 ， 圆心到渐近线的距离为 ，即 ，解
16、得 .3 21ba231ba2e解法二：待定系数法设渐进线的方程为 ，根据直线与圆的位置关系可求得圆心到渐进线的距离为 ，ykx 3 圆心到渐近线的距离为 ，即 ，解得 ；由于渐近线的斜率与离心率21231k23k关系为 ，解得 .21kee解法三：几何法从题意可知： ， 为12OA1OA等边三角形，所以一条渐近线的倾斜较为 ，38由于 ，可得 ，tank3k渐近线的斜率与离心率关系为 ，解得 .21e2e解法四：坐标系转化法根据圆的直角坐标系方程： ，可得极坐标方程 ，由 可得极24xy4coscs2角 ，从上图可知：渐近线的倾斜角与圆的极坐标方程中的极角相等，所以 ，3 3k渐近线的斜率与
17、离心率关系为 ，解得 .21ke2e解法五：参数法之直线参数方程如上图，根据双曲线的标准方程可求得渐近线方程为 ，可以表示点 的坐标为 ， byxaA2cos,in， 点 的坐标为 ，代入圆方程中，cosainbcA2,abc解得 .2e【知识拓展】双曲线已成为高考必考的圆锥曲线内容（理科） ，一般与三角形直线与圆向量相结合，属于中档偏上的题，但随着二卷回归基础的趋势，圆锥曲线小题虽然处于中档题偏上位置，但难度逐年下降.【题目 10】(2017 新课标全国 卷理 10)10.已知直三棱柱 中，1CA， ， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）C120A 1CA B C D35053【命题意
18、图】本题考查立体几何中的异面直线角度的求解，意在考查考生的空间想象能力【解析】解法一：常规解法在边 上分别取中点 1BC1ABE ，并相互连接.FGH由三角形中位线定理和平行线平移功能，异面直线 和 所成的夹角为 或其补角，1ABCFEG通过几何关系求得 ， ，25，利用余弦定理可求得异面直线2FH和 所成的夹角余弦值为 .1ABC105解法二：补形9通过补形之后可知： 或其补角为异面1BCD直线 和 所成的角，通过几何关系可知：1AB， ， ，由勾股定理2C53或余弦定理可得异面直线 和 所成的1ABC夹角余弦值为 .105解法三：建系建立如左图的空间直角坐标系， ，0,21A， ，10,B
19、,013,C ，13,2C10,2BA 1cos 52解法四：投影平移-三垂线定理设异面直线 和 所成的夹角为1ABC3利用三垂线定理可知： 312coscos320cos5异面直线 和 所成的夹角余弦值为 .1ABC105【知识拓展】立体几何位置关系中角度问题一直是理科的热点问题，也是高频考点，证明的方法大体有两个方向：1.几何法；2.建系；几何法步骤简洁，但不易想到；建系容易想到，但计算量偏大，平时复习应注意各方法优势和不足，做到胸有成竹，方能事半功倍.【题目 11】(2017 新课标全国 卷理 11)11.若 是函数 的极值点，则2x21()xfxae的极小值为（ ）()fxA. B.
20、C. D.1132e 35e10【命题意图】本题主要考查导数的极值概念及其极大值与极小值判定条件，意在考查考生的运算求解能力.【解析】解法一：常规解法 导函数21xfxae21xfxae 0f 导函数 21xfxe令 ， ，0f11当 变化时， ， 随变化情况如下表：xfxf,22,11,fx+ 0 - 0 +f极大值 极小值从上表可知：极小值为 .1f【知识拓展】导数是高考重点考查的对象，极值点的问题是非常重要考点之一，大题小题都会考查，属于压轴题，但难度在逐年降低.【题目 12】(2017 新课标全国 卷理 12)12.已知 是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 ABC 内一点，ABC则 的最小值是（ ）()PABCA. B. C. D.232431【命题意图】本题主要考查等边三角形的性质及平面向量的线性运算数量积，意在考查考生转化与化归思想和运算求解能力【解析】解法一：建系法连接 ， ， ， .OP0,3A1,0OB1,0C，2CB ,3Pxyy22234PAxy ， 4O32PCBPOA最小值为 32
