1、离散数学试题及答案第 1 页 共 13 页一、填空题 1 设集合 A,B，其中 A1,2,3, B= 1,2, 则 A - B 3 ; (A) - (B) 3,1,3,2,3,1,2,3 .2. 设有限集合 A, |A| = n, 则 |(AA)| = .2n3. 设集合 A = a, b, B = 1, 2, 则从 A 到 B 的所有映射是 1= (a,1), (b,1), 2= (a,2), (b,2),3= (a,1), (b,2), 4= (a,2), (b,1), 其中双射的是 3, 4 .4. 已知命题公式 G(PQ)R，则 G 的主析取范式是 (PQ R) 5.设 G 是完全二叉
2、树，G 有 7 个点，其中 4 个叶点，则 G 的总度数为 12 ，分枝点数为 3 .6 设 A、B 为两个集合, A= 1,2,4, B = 3,4, 则从 AB 4 ; AB1,2,3,4;AB 1,2 .7. 设 R 是集合 A 上的等价关系，则 R 所具有的关系的三个特性是 自反性 , 对称性 传递性 .8. 设命题公式 G(P(QR)，则使公式 G 为真的解释有 (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0)9. 设集合 A1,2,3,4, A 上的关系 R1 = (1,4),(2,3),(3,2), R2 = (2,1),(3,2),(4,3), 则R1R2 = (
3、1,3),(2,2),(3,1) , R2R1 = (2,4),(3,3),(4,2) _ R12 = (2,2),(3,3).10. 设有限集 A, B，|A| = m, |B| = n, 则| |(AB)| = .nm11 设 A,B,R 是三个集合，其中 R 是实数集，A = x | -1x1, xR, B = x | 0x 6 (D)下午有会吗？5 设 I 是如下一个解释：Da,b, 0 1 0 1b)P(,a,b)P(,a则在解释 I 下取真值为 1 的公式是 ( D ).(A)xyP(x,y) (B)xyP(x,y) (C)xP(x,x) (D)xyP(x,y).6. 若供选择答案
4、中的数值表示一个简单图中各个顶点的度，能画出图的是( C ).(A)(1,2,2,3,4,5) (B)(1,2,3,4,5,5) (C)(1,1,1,2,3) (D)(2,3,3,4,5,6).7. 设 G、H 是一阶逻辑公式， P 是一个谓词，G xP(x), H xP(x),则一阶逻辑公式GH 是( C ).(A)恒真的 (B)恒假的 (C)可满足的 (D)前束范式.8 设命题公式 G(PQ)，H P (QP)，则 G 与 H 的关系是( A )。(A)GH (B)HG (C)GH (D)以上都不是.9 设 A, B 为集合，当( D )时 AB B.(A)AB (B)AB (C)BA (
5、D)AB.10 设集合 A = 1,2,3,4, A 上的关系 R(1,1),(2,3),(2,4),(3,4), 则 R 具有( B )。(A)自反性 (B)传递性 (C)对称性 (D)以上答案都不对11 下列关于集合的表示中正确的为( B )。(A)aa,b,c (B)aa,b,c (C)a,b,c (D)a,ba,b,c12 命题xG(x) 取真值 1 的充分必要条件是( A ).(A) 对任意 x，G(x)都取真值 1. (B)有一个 x0，使 G(x0)取真值 1. (C)有某些 x，使 G(x0)取真值 1. (D)以上答案都不对.13. 设 G 是连通平面图，有 5 个顶点，6
6、个面，则 G 的边数是 ( A ).(A) 9 条 (B) 5 条 (C) 6 条 (D) 11 条.14. 设 G 是 5 个顶点的完全图，则从 G 中删去( A )条边可以得到树 .(A)6 (B)5 (C)10 (D)4.15. 设图 G 的相邻矩阵为 ，则 G 的顶点数与边数分别为( D ).01123 456离散数学试题及答案第 3 页 共 13 页(A)4, 5 (B)5, 6 (C)4, 10 (D)5, 8.三、计算证明题1.设集合 A1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12，R 为整除关系。(1) 画出半序集(A,R)的哈斯图；(2) 写出 A 的子集 B = 3,6,
7、9,12的上界，下界，最小上界，最大下界；(3) 写出 A 的最大元，最小元，极大元，极小元。解：（1） 124836129（2） B 无上界，也无最小上界。下界 1, 3; 最大下界是 3（3） A 无最大元，最小元是 1，极大元 8, 12, 9; 极小元是 12. 设集合 A1, 2, 3, 4，A 上的关系 R(x,y) | x, yA 且 x y, 求 (1) 画出 R 的关系图；(2) 写出 R 的关系矩阵.解：（1） （2）1 2 3 4 10RM3. 设 R 是实数集合，,是 R 上的三个映射， (x) = x+3, (x) = 2x, (x) x/4,试求复合映射 ， , ,
8、 ， .解：(1)( (x)(x)+3 2x+32x+3.(2)( (x)(x)+3(x+3)+3x+6,(3)( (x)(x)+3x/4+3, (4)( (x)(x)/4 2x/4 = x/2,(5)( ) +32x/4+3x/2+3.4. 设 I 是如下一个解释：D = 2, 3, a b f (2) f (3) P(2, 2) P(2, 3) P(3, 2) P(3, 3)离散数学试题及答案第 4 页 共 13 页3 2 3 2 0 0 1 1试求 (1) P(a, f (a)P(b, f (b);(2) xy P (y, x).解：(1) P(a, f (a) P(b, f (b) =
9、 P(3, f (3)P(2, f (2)= P(3, 2)P(2, 3)= 10= 0.(2) xy P (y, x) = x (P (2, x)P (3, x) = (P (2, 2)P (3, 2)( P (2, 3)P (3, 3)= (01)(01)= 11= 1.5. 设集合 A1, 2, 4, 6, 8, 12，R 为 A 上整除关系。(1) 画出半序集(A,R)的哈斯图；(2) 写出 A 的最大元，最小元，极大元，极小元；(3) 写出 A 的子集 B = 4, 6, 8, 12的上界，下界，最小上界，最大下界.解：(1) (2)无最大元，最小元 1，极大元 8, 12; 极小元
10、是 1.(3) B 无上界，无最小上界。下界 1, 2; 最大下界 2.6. 设命题公式 G = (PQ)(Q( PR), 求 G 的主析取范式。解：G = (PQ)(Q(PR)= (P Q)(Q(PR)= (PQ)(Q(PR)离散数学试题及答案第 5 页 共 13 页= (PQ)(QP)(QR)= (PQ R)(P Q R)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)= (PQ R)(P Q R)(PQR)(PQR)(PQR)= m3m 4m 5m 6m 7 = (3, 4, 5, 6, 7).7. (9 分) 设一阶逻辑公式：G = ( xP(x)yQ( y)xR (x)，把 G 化成前束范式
11、.解：G = (xP(x)yQ (y)xR (x)= (xP(x)yQ(y) xR(x)= (xP(x)yQ (y)xR (x)= (xP(x)y Q(y)zR( z)= xyz(P(x)Q( y)R(z )9. 设 R 是集合 A = a, b, c, d. R 是 A 上的二元关系, R = (a,b), (b,a), (b,c), (c,d),(1) 求出 r(R), s(R), t(R)；(2) 画出 r(R), s(R), t(R)的关系图.解：（1）r(R)RI A(a,b), (b,a), (b,c), (c,d), (a,a), (b,b), (c,c), (d,d),s(R)
12、RR 1 (a,b), (b,a), (b,c), (c,b) (c,d), (d,c),t(R)RR 2R 3R 4(a,a), (a,b) , (a,c), (a,d), (b,a), (b,b), (b,c), (b,d), (c,d)；(2)关系图:11. 通过求主析取范式判断下列命题公式是否等价：(1) G = (PQ)( PQR) (2) H = (P(QR)(Q (P R)解：bacdr(R) bacds(R) bacdt(R)离散数学试题及答案第 6 页 共 13 页G(PQ)( PQR)(PQR)(PQR)( PQR)m 6m 7m 3 (3, 6, 7)H = (P(QR)
13、(Q( PR)(PQ)(Q R) (PQR)(PQR)(PQR)( PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR) (PQR)m 6m 3m 7G,H 的主析取范式相同，所以 G = H.13. 设 R 和 S 是集合 A a, b, c, d上的关系，其中 R(a, a),( a, c),(b, c),(c, d), S(a, b),(b, c ),(b, d),(d, d).(1) 试写出 R 和 S 的关系矩阵；(2) 计算 RS, RS, R 1 , S1 R1 .解：(1) 01RM10SM(2)RS(a, b),(c, d),RS(a, a),(a, b),( a, c),(b,
14、 c),(b, d),(c, d),(d, d), R1 (a, a),(c, a),( c, b),(d, c),S1 R1 (b, a),(d, c ).四、证明题1. 利用形式演绎法证明：PQ , RS, PR蕴涵 QS。解：(1) PR P(2) RP Q(1)(3) PQ P离散数学试题及答案第 7 页 共 13 页(4) RQ Q(2)(3)(5) QR Q(4)(6) RS P(7) QS Q(5)(6)(8) QS Q(7)2. 设 A,B 为任意集合，证明：(A-B)-C = A-(BC).解： (A-B)-C = CBA)()(3. (本题 10 分)利用形式演绎法证明：A
15、 B, CB, CD蕴涵 AD 。解：(1) A D(附加)(2) AB P(3) B Q(1)(2)(4) C B P(5) B C Q(4)(6) C Q(3)(5)(7) C D P(8) D Q(6)(7)(9) AD D(1)(8)所以 AB, CB, CD蕴涵 AD.4. (本题 10 分)A, B 为两个任意集合，求证：A(A B) = (AB)B .解：4. A(A B) = A(AB)A(A B)离散数学试题及答案第 8 页 共 13 页(A A)(AB) (AB)(A B)AB而 (A B)B= (AB)B= (AB)(BB)= (AB)= AB所以：A(A B) = (A
16、B)B.参考答案一、填空题1. 3; 3,1,3,2,3,1,2,3. 2. .2n3. 1= (a,1), (b,1), 2= (a,2), (b,2),3= (a,1), (b,2), 4= (a,2), (b,1); 3, 4.4. (PQR).5. 12, 3. 6. 4, 1, 2, 3, 4, 1, 2. 7. 自反性；对称性；传递性.8. (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0).9. (1,3),(2,2),(3,1); (2,4),(3,3),(4,2); (2,2),(3,3).离散数学试题及答案第 9 页 共 13 页10. 2mn.11. x |
17、-1x 0, xR; x | 1 x 2, xR; x | 0x1, xR.12. 12; 6.13. (2, 2),(2, 4),(2, 6),(3, 3),(3, 6),(4, 4),(5, 5),(6, 6).14. x(P(x)Q(x).15. 21.16. (R(a)R(b)(S(a)S(b).17. (1, 3),(2, 2); (1, 1),(1, 2),(1, 3). 二、选择题 1. C. 2. D. 3. B. 4. B.5. D. 6. C. 7. C.8. A. 9. D. 10. B. 11. B.13. A. 14. A. 15. D三、计算证明题1. (1)(2)
18、 B 无上界，也无最小上界。下界 1, 3; 最大下界是 3.(3) A 无最大元，最小元是 1，极大元 8, 12, 90+; 极小元是 1.2.R = (1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4).(1) (2)10RM3. (1)( (x)(x)+3 2x+32x+3.(2)( (x)(x)+3(x+3)+3x+6,(3)( (x)(x)+3x/4+3, 1248361291 2 3 4 离散数学试题及答案第 10 页 共 13 页(4)( (x)(x)/4 2x/4 = x/2,(5)( ) +32x/4+3x/
19、2+3.4. (1) P(a, f (a)P(b, f (b) = P(3, f (3)P(2, f (2)= P(3, 2)P(2, 3)= 10= 0.(2) xy P (y, x) = x (P (2, x)P (3, x) = (P (2, 2)P (3, 2)( P (2, 3)P (3, 3)= (01)(01)= 11= 1.5. (1)(2) 无最大元， 最小元 1，极大元 8, 12; 极小元是 1.(3) B 无上 界，无最小上界。下界 1, 2; 最大下界 2.6. G = (P Q)(Q(PR)= (P Q)(Q(PR)= (PQ)(Q(PR)= (PQ)(QP)(QR)= (PQ R)(P Q R)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)= (PQ R)(P Q R)(PQR)(PQR)(PQR)= m3m 4m 5m 6m 7 = (3, 4, 5, 6, 7).7. G = (xP(x)yQ (y)xR (x)= (xP(x)yQ(y) xR(x)= (xP(x)yQ (y)xR (x)= (xP(x)y Q(y)zR( z)= xyz(P(x)Q( y)R(z )2416812
