1、线性代数习题解答陈万勇习题一11 利用对角线法则计算下列三阶行列式. (1) 381402解： 2(4)30(1)(1)1180132(1)81(4)(1)12481644 (2) bac解： acbbaccbabbbaaaccc3abca3b3c3c(3) 221cba解： bc2ca2ab2ac2ba2cb2(ab)(bc)(ca)2c(4) yxy解： x(xy)yyx(xy)(xy)yxy3(xy)3x3xy3xy(xy)y33x2 yx3y3x32(x3y3) 1.2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各排列的逆序数.(1)1 2 3 4 解：逆序数为 0(2)4 1 3 2 解 逆
2、序数为 4 41 43 42 32(3)3 4 2 1 解：逆序数为 5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1(4)2 4 1 3 解：逆序数为 3 2 1 4 1 4 3(5)1 3 (2n1) 2 4 (2n) 解：逆序数为 (3 2 (1 个)5 2 5 4(2 个)7 2 7 4 7 6(3 个) (2n1)2 (2n1)4 (2n1)6 (2n1)(2n2) (n1 个)(6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2 解：逆序数为 n(n1) 3 2(1 个)5 2 5 4 (2 个) (2n1)2 (2n1)4 (2n1)6 (2n1)(2n2) (n1 个)4 2(1 个
3、)6 2 6 4(2 个) (2n)2 (2n)4 (2n)6 (2n)(2n2) (n1 个)1.3 写出四阶行列式中含有因子 a11a23 的项 解：含因子 a11a23 的项的一般形式为：(1) ta11a23a3ra4s其中 r、 s 是 2 和 4 构成的排列 这种排列共有两个 即 24 和 42 所以含因子 a11a23 的项分别是(1)ta11a23a32a44(1)1a11a23a32a44a11a23a32a44(1)ta11a23a34a42(1)2a11a23a34a42a11a23a34a421.4 计算下列各行列式. (1) 710254解： 710254010423
4、324 c 34)1(310204 1402 0147209321c(2) 2605解： 2605314260531424c 260531424c26053124c 041324r 0412324r 00314r(3) efcfbfddaa解： efcff ecbaf dfadfbe411(4) dc10解： dcba10dcbaar10121dcab10)1(2 01023cdabcabcdabcdad1 c)(231.5 证明:(1) (ab)3;1122a证明：22 012223 abac(ab)3 ba2)1(23 )(2) ;yxzbazyxbzyx)(3证明： bzayxazyxb
5、zayxxzybxzy zyxyaxzy22zyxbzy33yxzyxza33 yxzb)(3(3) ;0)3()2()1()()()( 2222222 ddccbbaa证明： (c4c3 c3c2 c2c1 得)2222 )()1(ddccbbaa(c4c3 c3c2 得)523122 ddccbbaa 0212dcba(4) (ab)(ac)(ad)(bc)(bd)(cd)(abcd);4422dcba证明： 442211dcba )()()(0 11122222 adacab)()()(111)()( 222ca )()(0)()( abdabcdcab (11)()( dbca =(a
6、b)(ac)(ad)(bc)(bd)(cd)(abcd) (5) xna1xn1 an1xan 221 000 1aaxxnn证明：用数学归纳法证明 当 n2 时 命题成立 21212 axxD假设对于(n 1)阶行列式命题成立 即Dn1xn1a1 xn2 an2xan1 则 Dn 按第一列展开 有1 1 0 0)(11 xxnnnxD n1anxna1xn1 an1xan 因此 对于 n 阶行列式命题成立 1.6 设 n 阶行列式 Ddet(aij), 把 D 上下翻转、或逆时针旋转 90、或依副对角线翻转 依次得 nna11 112 nna 113 ann证明 D3D )(2证明：因为 D
7、det(aij) 所以 nnnnn aa2211111 )( )(3312211nnnna Dn2)1()(2 1)( 同理可证 nnaD )1(112(2 DnTn2)1(2)1( nn)1(2)1(2)1(2)(31.7 计算下列各行列式(D k 为 k 阶行列式).(1) , 其中对角线上元素都是 a 未写出的元素都是 0 an1 解： （按第 n 行展开) aDn0 01 0 01)1(1 0 0 1)( nn aa)1(2 )1(nnaanan2an2(a21) nnn )2(1 )(2) xaxDn 解：将第一行乘(1)分别加到其余各行 得 axxaaxxDn 00 再将各列都加到
8、第一列上 得x(n1)a(xa)n1axanxDn 00 )1(3) ;1 1 )( )(111 naann n解：根据第 6 题结果 有 nnnnn aaD)( )1( )1( 112( 此行列式为范德蒙德行列式 12)(1 )()(jinn j12)( jin12 )(2)( )(jinn 1)(jin(4) ;nnnnn dcbaD 12解： (按第 1 行展开)nnn dcbaD 12 nnnn dcdba00 011111 0 0)( 1111112cdcbabn nnnn 再按最后一行展开得递推公式D2nandnD2n2bncnD2n2 即 D2n(andnbncn)D2n2 于是
9、 iii)(而 112cbdac所以 niiiD12)(5) Ddet(aij) 其中 aij|ij|;解：a ij|ij| 0 4321 4 013 32 201 13)det( nnnijn 0 4321 1 1 213 nnr 1 524321 0 0 123 nnnc(1)n1(n1)2n2 (6) , 其中 a1a2 an0 nnaD1 1 21解： nn a1 1 2 nnnaaac 10 0 10 0 132213113221 0 0 1 nn aanin aa1131221 0 0 1 )1)(21niaa1.8 用克莱姆法则解下列方程组. (1) 0123254431321xx解：因为
