1、 13.4 课题学习 最短路径问题（一）知识点：1最短路径问题(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求2.运用轴对称解决距离最短问题运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点 到直线上某点的距离和最小 这个核心，所有作法都相同3利用平移确定最短路径选址解决连接河两岸 的两个点的最短路径问
2、题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题同步练习：1.如图所示，点 A， B 分别是直线 l 异侧的 两个点，在 l 上找一个点 C，使 CA CB 最短，这时点 C 是直线 l 与 AB 的交点2.如图所示，点 A， B 分别是直线 l 同侧的两个点，在 l 上找一个点 C，使CA CB 最短，3.在图中直线 l 上找到一点 M，使它到 A， B 两点的距离和最小4. 如图，小河边有两个村庄 A， B，要在河边建一自来水厂向 A 村与 B 村供水ABl(1)若要使厂部到 A， B 村的距离相等，则应选择在哪建厂？(2)若要使厂部到
3、 A， B 两村的水管最短，应建在什么地方？5. 如图，从 A 地到 B 地经过一条小河(河岸平行)，今欲在河上建一座与两岸垂直的桥，应如何选择桥的位置才能使从 A 地到 B 地的路程最短？6.(实际应用题)茅坪民族中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图 a 所示两直排(图中的 AO， BO)， AO 桌面上摆满了橘子， OB 桌面上摆满了糖果，站在C 处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到 D 处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？7.如图所示， A， B 两点在直线 l 的两侧，在 l 上找一点 C，使点 C 到点A、 B 的距离之差最大参考答案：1.2.这时先作点
4、B 关于直线 l 的对称点 B，则点 C 是直线 l 与 AB的交点为了证明点 C 的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点 C，连接 AC， BC， B C，证明 AC CB AC C B.如下：证明：由作图可知，点 B 和 B关于直线 l 对称，所以直线 l 是线段 BB的垂直平分线因为点 C 与 C在直线 l 上，所以 BC B C， BC B C.在 AB C中， AB AC B C，所以 AC B C AC B C，所以 AC BC AC C B.3. 解：如图所示：(1)作点 B 关于直线 l 的对称点 B；(2)连接 AB交直线 l 于点 M.(3)则点 M 即为所求的点4.
5、解：(1)如图 1，取线段 AB 的中点 G，过中点 G 画 AB 的垂线，交 EF 于P，则 P 到 A， B 的距离相等也可分别以 A、 B 为圆心，以大于 AB 为半径画弧，12两弧交于两点，过这两点作直线，与 EF 的交点 P 即为所求(2)如图 2，画出点 A 关于河岸 EF 的对称点 A，连接 A B 交 EF 于 P，则P 到 A， B 的距离和最短5.解：(1)如图 2，过点 A 作 AC 垂直于河岸，且使 AC 等于河宽(2)连接 BC 与河岸的一边交于点 N.(3)过点 N 作河岸的垂线交另一条河岸于点 M.则 MN 为所建的桥的位置6.解：如图 b.(1)作 C 点关于
6、OA 的 对称点 C1，作 D 点关于 OB 的对称点 D1，(2)连接C1D1，分别交 OA， OB 于 P， Q，那么小明沿 C P Q D 的路线行走，所走的总路程最短7.解：如图所示，以直线 l 为对称轴，作点 A 关于直线 l 的对称点A， A B 的连线交 l 于点 C，则点 C 即为所求理由：在直线 l 上任找一点C(异于点 C)，连接 CA， C A， C A， C B.因为点 A， A关于直线 l 对称，所以 l 为线段 AA的垂直平分线，则有 CA CA，所以CA CB CA CB A B.又因为点 C在 l 上，所以 C A C A.在A BC中， C A C B C A C B A B，所以 C A C B CA CB.点拨：根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法
