1、双曲线的简单几何性质练习题班级 姓名 学号 1已知双曲线的离心率为 2，焦点是(4,0) ，(4,0)，则双曲线方程为( )A. 1 B. 1 C. 1 D. 1x24 y212 x212 y24 x210 y26 x26 y2102(新课标卷)已知双曲线 C： 1( a0，b0)的离心率为 ，则 C 的渐近线x2a2 y2b2 52方程为( )Ay x By x Cy x Dyx14 13 123下列双曲线中离心率为 的是( )62A. 1 B. 1 C. 1 D. 1x22 y24 x24 y22 x24 y26 x24 y2104中心在原点，实轴在 x 轴上，一个焦点在直线 3x4y12
2、0 上的等轴双曲线方程是( )Ax 2y 28 Bx 2y 24 Cy 2x 28 Dy 2x 245已知双曲线 1 的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为( )x2a2 y2b2A. B. C. D.3 252 226双曲线 1 的离心率 e(1,2) ，则 k 的取值范围是( )x24 y2kA(10,0) B(12,0) C( 3,0) D( 60，12)7已知双曲线 E 的中心为原点，F(3,0)是 E 的焦点，过 F 的直线 l 与 E 相交于 A，B两点，且 AB 的中点为 N(12，15)，则 E 的方程为( )A. 1 B. 1 C. 1 D. 1x23 y26 x24 y2
3、5 x26 y23 x25 y248(江苏高考)双曲线 1 的两条渐近线的方程为_x216 y299已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标是(3,0)且焦距与虚轴长之比为 54，则双曲线的标准方程为 10过双曲线 x2 1 的左焦点 F1，作倾斜角为 的直线 AB，其中 A，B 分别为直线y23 6与双曲线的交点，则|AB|的长为_11过双曲线 1(a0，b0)的左焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线相交于x2a2 y2b2M，N 两点，以 MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为_12双曲线 1 的右顶点为 A，右焦点为 F，过点 F 平行于双曲线的一条渐近线x29 y216的直
4、线与双曲线交于点 B，则AFB 的面积为_13求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)过点(3 ， )，离心率 e ；252(2)已知双曲线的中心在原点，焦点 F1，F 2 在坐标轴上，实轴长和虚轴长相等，且过点P(4， )1014已知双曲线 C： 1(a0，b0)的离心率为 ，且 .x2a2 y2b2 3 a2c 33(1)求双曲线 C 的方程；(2)已知直线 xym0 与双曲线 C 交于不同的两点 A，B，且线段 AB 的中点在圆 x2y 25 上，求 m 的值参考答案1已知双曲线的离心率为 2，焦点是(4,0) ，(4,0)，则双曲线方程为( )A. 1 B. 1x24 y212 x21
5、2 y24C. 1 D. 1x210 y26 x26 y210解析：选 A 由题意知 c4，焦点在 x 轴上， 所以 21e 24，所以 ，又(ba) ba 3由 a2b 24a 2c 216，得 a24，b 212.所以双曲线方程为 1.x24 y2122(新课标卷)已知双曲线 C： 1( a0，b0)的离心率为 ，则 C 的渐近线x2a2 y2b2 52方程为( )Ay x By x14 13Cy x Dyx12解析：选 C 因为双曲线 1 的焦点在 x 轴上，所以双曲线的渐近线方程为x2a2 y2b2y x.又离心率为 e ，所以 ，所以双曲线的渐近线方程ba ca a2 b2a 1 (
6、ba)2 52 ba 12为 y x.123下列双曲线中离心率为 的是( )62A. 1 B. 1x22 y24 x24 y22C. 1 D. 1x24 y26 x24 y210解析：选 B 由 e 得 e2 ， ，62 32 c2a2 32则 ， ，即 a22b 2.因此可知 B 正确a2 b2a2 32 b2a2 124中心在原点，实轴在 x 轴上，一个焦点在直线 3x4y120 上的等轴双曲线方程是( )Ax 2y 28 Bx 2y 24答案第 2 页，总 6 页Cy 2 x28 Dy 2x 24解析：选 A 令 y0 得，x4，等轴双曲线的一个焦点坐标为(4,0) ，c4，a 2 c2
7、 168，故选 A.12 125已知双曲线 1 的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为( )x2a2 y2b2A. B.3 2C. D.52 22解析：选 B 由题意可知，此双曲线为等轴双曲线等轴双曲线的实轴与虚轴相等，则 ab，c a，于是 e .a2 b2 2ca 26双曲线 1 的离心率 e(1,2) ，则 k 的取值范围是( )x24 y2kA(10,0) B(12,0)C(3,0) D( 60，12)解析：选 B 由题意知 k0，b0)，由题意知x2a2 y2b2c3，a 2b 2 9，设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)则有Error!两式作差得 ，y1 y2x1 x2
8、b2x1 x2a2y1 y1 12b2 15a2 4b25a2又 AB 的斜率是 1， 15 0 12 3所以 4b25a 2，代入 a2b 29 得 a24，b 25，所以双曲线标准方程是 1.x24 y258(江苏高考)双曲线 1 的两条渐近线的方程为_x216 y29解析：令 0，解得 y x.x216 y29 34答案：y x349已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标是(3,0)且焦距与虚轴长之比为 54，则双曲线的标准方程为_解析：由题意得双曲线的焦点在 x 轴上，且 a3，焦距与虚轴长之比为 54，即cb54，解得 c5，b4，双曲线的标准方程为 1.x29 y216答案： 1x2
9、9 y21610过双曲线 x2 1 的左焦点 F1，作倾斜角为 的直线 AB，其中 A，B 分别为直y23 6线与双曲线的交点，则|AB|的长为_解析：双曲线的左焦点为 F1(2,0) ，将直线 AB 方程：y (x2)代入双曲线方程，33得 8x24x130.显然 0，设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，x1 x2 ，x 1x2 ，12 138|AB| 1 k2 x1 x22 4x1x2答案第 4 页，总 6 页 3.1 13 (12)2 4( 138)答案：311过双曲线 1(a0，b0)的左焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线相交于x2a2 y2b2M，N 两点，以 MN 为直径
10、的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为_解析：由题意知，ac ，b2a即 a2acc 2a 2，c 2ac 2a 20， e2e20，解得 e2 或 e1(舍去)答案：212双曲线 1 的右顶点为 A，右焦点为 F，过点 F 平行于双曲线的一条渐近线x29 y216的直线与双曲线交于点 B，则AFB 的面积为_解析：双曲线 1 的右顶点 A(3,0)，右焦点 F(5,0)，渐近线方程为 y x.x29 y216 43不妨设直线 FB 的方程为 y (x5)，代入双曲线方程整理，得 x2(x5) 29，解得43x ，y ，所以 B .175 3215 (175， 3215)所以 SAFB
11、|AF|yB| (ca)|y B| (53) .12 12 12 3215 3215答案： .321513求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)过点(3 ， )，离心率 e ；252(2)已知双曲线的中心在原点，焦点 F1，F 2 在坐标轴上，实轴长和虚轴长相等，且过点P(4， )10解：(1)若双曲线的焦点在 x 轴上，设其标准方程为 1( a0，b0)x2a2 y2b2因为双曲线过点(3， )，则 1.29a2 2b2又 e ，故 a24b 2.ca a2 b2a2 52由得 a21，b 2 ，故所求双曲线的标准方程为 x2 1.14 y214若双曲线的焦点在 y 轴上，设其标准方程为
12、1(a0，b0)同理可得y2a2 x2b2b2 ，不符合题意172综上可知，所求双曲线的标准方程为 x2 1.y214(2)由 2a2b 得 ab，e ，1 b2a2 2所以可设双曲线方程为 x2y 2 (0) 双曲线过点 P(4， )，101610，即 6.双曲线方程为 x2y 26.双曲线的标准方程为 1.x26 y2614已知双曲线 C： 1(a0，b0)的离心率为 ，且 .x2a2 y2b2 3 a2c 33(1)求双曲线 C 的方程；(2)已知直线 xym0 与双曲线 C 交于不同的两点 A，B，且线段 AB 的中点在圆x2y 25 上，求 m 的值解：(1)由题意得Error!解得Error!所以 b2c 2a 22.所以双曲线 C 的方程为 x2 1.y22(2)设 A， B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，( x2，y 2)，线段 AB 的中点为 M(x0，y 0)答案第 6 页，总 6 页由Error!得 x22mxm 220(判别式 0)所以 x0 m，y 0x 0m 2m .x1 x22因为点 M(x0，y 0)在圆 x2y 25 上，所以 m2(2m )25.故 m1.
