1、高中数学.复数 Page 1 of 16复数一、复数的概念1 虚数单位 i:（1）它的平方等于 ，即 ；12i（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立（3）i 与1 的关系:i 就是 的一个平方根，即方程 的一个根，方程 的另一个根是-i 21x21x（4）i 的周期性：， ， ， 1ni421n43nii4n2 数系的扩充：复数(0)i i(0)iabba实 数 纯 虚 数虚 数 非 纯 虚 数3 复数的定义：形如 的数叫复数， 叫复数的实部， 叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做i()abR， a复数集，用字母 表示C4 复数的代数形式: 通常用字母 表示，即
2、 ，把复数表示成 的形式，叫做复数的代数形式z()zabiR， abi5 复数与实数、虚数、纯虚数及 的关系：0对于复数 ，当且仅当 时，复数 是实数 ；当 时，复数()abiR， ()iR， a0b叫做虚数；当 且 时， 叫做纯虚数；当且仅当 时， 就是实数zabzbiz06 复数集与其它数集之间的关系： NZQRC7 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等这就是说，如果 ，a， ， ，那么 ， abd， ， cRiiabcdacbd高中数学.复数 Page 2 of 16二、复数的几何意义1 复平面、实轴、虚轴：复数 与有序实数对 是一一对应关系建
3、立一一对应的关系点 的横i()zabR， ab， Z坐标是 ，纵坐标是 ，复数 可用点 表示，这个建立了直角坐标系来i()zR， Zab，表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面， 轴叫做实轴， 轴叫做虚轴实轴上的点都表xy示实数2 对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为 ，它所确定的复数是0，表示是实数0iz除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数3复数 复平面内的点zabi 一 一 对 应 ()Zab，这就是复数的一种几何意义也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法三、复数的四则运算1 复数 与 的和的定义：1z2iiabcdiacbd2 复数 与 的差的定义：12ziii3 复数
4、的加法运算满足交换律: 121zz4 复数的加法运算满足结合律: 323()()z5 乘法运算规则：设 ， ( 、 、 、 )是任意两个复数，1izab2izcdabcdR那么它们的积 1i ibcad其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把 换成 ，并且把实部与2i1虚部分别合并两个复数的积仍然是一个复数6 乘法运算律：（1） 23123zz（2） 1()()（3） 23123zz7 复数除法定义：满足 的复数 ( 、 )叫复数 除以复数 的商，记为：iiicdxyabxyiRabicdi或者()abcdi高中数学.复数 Page 3 of 168 除法运算规则：设复数
5、( 、 )，除以 ( ， )，其商为 （ 、 )，iabRicdRixyR即 ()icdxycxdyc xyab由复数相等定义可知 解这个方程组，得cxdy， 2acbdxy，于是有: (i)iab22abcadi利用 于是将 的分母有理化得：iicdcdi原式 2()i()iiabacbdca222iicdc( i)iababda点评:是常规方法，是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数 与复数 ，相当于我们初中学习的 的对偶式 ，它们之积icdic3232为 是有理数，而 是正实数所以可以分母实数化 把这种方法叫做分12d母实数化法9 共轭复数：当两个复数的
6、实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不等于 的0两个共轭复数也叫做共轭虚数高中数学.复数 Page 4 of 16例题精讲1 复数的概念【例 1】 已知 为虚数单位） ，那么实数 a， b 的值分别为（ ）2(aibiA2，5 B-3，1 C-11 D 2， 3【答案】D【例 2】 计算： （ 表示虚数单位）0!12!10!i+ii i【答案】 95【解析】 ，而 （ ） ，故4i|!k40!12!10!i+iii(1)9752i【例 3】 设 ， ，则下列命题中一定正确的是（ ）22(53)()iztttRA 的对应点 在第一象限 B 的对应点 在第四象限ZzZC 不
7、是纯虚数 D 是虚数【答案】D【解析】 22(1)0tt【例 4】 在下列命题中，正确命题的个数为（ ）两个复数不能比较大小；若 是纯虚数，则实数 ；22(1)(3)ixx1x 是虚数的一个充要条件是 ；zzR若 是两个相等的实数，则 是纯虚数；ab， ()()iab 的一个充要条件是 zRz 的充要条件是 11A1 B2 C3 D4【答案】B【解析】 复数为实数时，可以比较大小，错； 时， ，错； 为实数1x22(1)(3)0xxiz时，也有 ，错； 时， ，错；正确zR0ab()0abi2 复数的几何意义【例 5】 复数 （ ， 为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（ ）2i1mzi高
8、中数学.复数 Page 5 of 16A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】A【解析】 由已知 在复平面对应点如果在第一象限，则2()12(4)2(1)15miiz mi，而此不等式组无解即在复平面上对应的点不可能位于第一象限40【例 6】 若 ，复数 在复平面内所对应的点在（ ）354， (cosin)(sico)iA第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】B【解析】 结合正、余弦函数的图象知，当 时， 354， cosin0sico0，【例 7】 如果复数 满足 ，那么 的最小值是（ ）zii2zi1zA1 B C2 D 5【答案】A【解析】 设复数 在复平面的
9、对应点为 ，因为 ，zZiiz所以点 的集合是 轴上以 、 为端点的线段Zy1(0)， 2(1)，表示线段 上的点到点 的距离此距离的最小值为点 到点i1z12， 2(01)Z，的距离，其距离为 ()，【例 8】 满足 及 的复数 的集合是（ ）z32zzA B1ii， 1ii2，C D22ii， 3ii2，【答案】D【解析】 复数 表示的点在单位圆与直线 上（ 表示 到点 与点 的距离z 12x32zz102， 3，相等，故轨迹为直线 ） ，故选 Dx【例 9】 已知复数 的模为 ，则 的最大值为_(2)i()xyR， 3yx【答案】 3 COyx高中数学.复数 Page 6 of 16【解
10、析】 ，2i3xy，故 在以 为圆心， 为半径的圆上， 表示圆上的点 与() ()xy， (20)C， 3yx()xy，原点连线的斜率如图，由平面几何知识，易知 的最大值为 x【例 10】 复数 满足条件： ，那么 对应的点的轨迹是（ ）z21izzA圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线【答案】A【解析】 A；设 ，则有 ， ，izxy(21)i(1)ixyx222(1)(1)xyx化简得： ，故为圆2539【点评】 的几何意义为点 到点 的距离；0zz0 中 所对应的点为以复数 所对应的点为圆心，半径为 的圆上的点()r0z r【例 11】 复数 ， 满足 ， ，证明： 1z2120z1212zz
11、210z【解析】 设复数 ， 在复平面上对应的点为 ， ，由 知，以 ， 为邻边的12 1Z212121OZ2平行四边形为矩形， ，故可设 ，所以 12O2(0)zkiR， 2i0zk也可设 ，则由向量 与向量 垂直知 ，12iizabzcd， ()ab， cd， acbd，故 222()()i0i cdcd2210z【例 12】 已知复数 ， 满足 ， ，且 ，求 与 的值1z217z27z124z12z2z【答案】 ；47i3【解析】 设复数 ， 在复平面上对应的点为 ， ，由于 ，1z2 1Z222(71)()4故 ，221z故以 ， 为邻边的平行四边形是矩形，从而 ，则 ；1OZ2 1
12、2OZ1277ii3z24zz【例 13】 已知 ， ， ，求 12， C12z123z12z高中数学.复数 Page 7 of 16【解析】 设复数 ， 在复平面上对应的点为 ，由 知，以 ， 为邻12z， 12z123Z， ， 12z1OZ2边的平行四边形是菱形，记 所对应的顶点为 ，OP由 知， （可由余弦定理得到） ，故 ，123z10PZ 1260Z从而 【例 14】 已知复数 满足 ，求 的最大值与最小值z(23i)(23i)4zdz【答案】 ，max213dmind【解析】设 ，则 满足方程 zy()xy， 2()14yx，2222841()3dx 又 ，故当 时， ；当 时，有
13、 13 0xy， min1d253xy， max213d3 复数的四则运算【例 15】 已知 ，若 ，则 等于（ ）mR6(i)4iA B C D4222【答案】B【解析】 6366(i)(i)8i4i8m【例 16】 计算： 12109()(3)3ii【答案】 51【解析】 原式 12 101269109999(i)(i2)(i)251(i)3【例 17】 已知复数 ， ，则 的最大值为（ ）1cosiz2sinz12zA B C D332 6【答案】A【解析】 12(cosi)(ni)(cosin1)(cosin)z22(cosin1)(cosin)，2214故当 时， 有最大值 sin1
14、2z 324高中数学.复数 Page 8 of 16【例 18】 对任意一个非零复数 ，定义集合 z|nzMwzN，（）设 是方程 的一个根，试用列举法表示集合 若在 中任取两个数，求其z10xzMz和为零的概率 ；P（2）若集合 中只有 个元素，试写出满足条件的一个 值，并说明理由zM3z【答案】 （1） ；（2） 31i2【解析】 （1） 是方程 的根，z0x 或 ，不论 或 ， ，iiizi234ii1izM， ， ， ， ， ，于是 241C3P（2）取 ，则 及 iz23iz1z于是 或取 （说明：只需写出一个正确答案） 23zM， ， i2【例 19】 解关于 的方程 x256()
15、i0x【答案】 123ix，【解析】 错解：由复数相等的定义得 22320xxx或分析：“ ，且 成立”的前提条件是 ，但本题并未告诉iiabcdacbdabcdR， ， ，是否为实数x法一：原方程变形为 ， 2(5i)62i0x2 2(5i)4(6i)(1i)由一元二次方程求根公式得 ， 1()3x25x原方程的解为 ， 13ix2法二：设 ，则有 ，i()xabR， 2(i)5(i)6()i0abab，2(56i0256由得： ，代入中解得： 或 ，21ba31ab故方程的根为 23ix，【例 20】 已知 ， ，对于任意 ，均有 成立，试求实数 的211zi2()izxaxR12za取值
16、范围高中数学.复数 Page 9 of 16【答案】 12a，【解析】 ， ，1z 4221()xxa对 恒成立()()0a R当 ，即 时，不等式恒成立；20当 时， 1a21124()0aa综上， 2，【例 21】 关于 的方程 有实根，求实数 的取值范围x2()i10axa【答案】 1a【解析】 误： 方程有实根， 22()4()50iai解得 或 52 5a析：判别式只能用来判定实系数一元二次方程 根的情况，而该方程中20()axbca与 并非实数ia1i正：设 是其实根，代入原方程变形为 ，由复数相等的定义，得0x 20001()ix，解得 20a1a【例 22】 设方程 的根分别为
17、 ， ，且 ，求实数 的值20xk2k【答案】 或 1k3【解析】 若 ， 为实数，则 且 ，4 222 2()()4()解得 若 ， 为虚数，则 且 ， 共轭，0k，解得 222 2()()4()k3k综上， 或 1k3【例 23】 用数学归纳法证明： (cosin)cos()in()N，并证明 ，从而 1(cosin)cos()in()【解析】 时，结论显然成立；1n若对 时，有结论成立，即 ，k(cosin)cos()in()kk则对 ，1(cosin)k由归纳假设知，上式 is()is()k高中数学.复数 Page 10 of 16(cossin)icosin()sicokkkk，1)
18、(1从而知对 ，命题成立综上知，对任意 ，有 nN(cosin)cos()in()N，易直接推导知：(cosi)(cosi)()i()is)cos0in1故有 1nisn(si)()(co)isn()coscsi【例 24】 若 是方程 （ ）的解，in1210nnnxaxax 12naR， ， ，求证： 12ssi0a【解析】 将解代入原方程得：，11(cosin)(cosin)na将此式两边同除以 ，则有：，1212(i)(is)(cosin)0naa 即 ，cosncoa，12 12( )i(isi)n na 由复数相等的定义得 12si s0na【例 25】 设 、 为实数，且 ，则 =_xy513xyiiixy【答案】4【解析】 由 知， ，51213iii()(2)()250xyiii即 ，(5)(40xyy故 ，解得 ，故 04115x4xy【例 26】 已知 是纯虚数，求 在复平面内对应点的轨迹1zz【答案】以 为圆心， 为半径的圆，并去掉点 和点 02， 2(0)， (10)，【解析】 法一：设 （ ） ，izxyR，则 是纯虚数，2(1)i1ixy
