1、1平面向量数量积运算题型一 平面向量数量积的基本运算例 1 (1)(2014天津)已知菱形 ABCD 的边长为 2，BAD120，点 E，F 分别在边BC，DC 上，BC3BE，DCDF.若 1，则 的值为 _.AE AF (2)已知圆 O 的半径为 1，PA ，PB 为该圆的两条切线，A，B 为切点，那么 的最小值PA PB 为( )A.4 B.32 2C.42 D.322 2变式训练 1 (2015湖北)已知向量 ，| |3，则 _.OA AB OA OA OB 题型二 利用平面向量数量积求两向量夹角例 2 (1)(2015重庆)若非零向量 a，b 满足|a| |b|，且(ab) (3a2
2、b)，则 a 与 b 的夹223角为( )A. B. C. D.4 2 34(2)若平面向量 a 与平面向量 b 的夹角等于 ，| a|2，|b| 3，则 2ab 与 a2b 的夹角的余32弦值等于( )A. B. C. D.126 126 112 112变式训练 2 (2014课标全国) 已知 A，B ，C 为圆 O 上的三点，若 ( )，则AO 12AB AC 与 的夹角为 _.AB AC 题型三 利用数量积求向量的模例 3 (1)已知平面向量 a 和 b，|a|1，| b|2，且 a 与 b 的夹角为 120，则|2ab|等于( )A.2 B.4C.2 D.65(2)已知直角梯形 ABC
3、D 中，AD BC ，ADC90，AD2，BC1，P 是腰 DC 上的动点，则| 3 |的最小值为_.PA PB 变式训练 3 (2015浙江)已知 e1，e 2 是平面单位向量，且 e1e2 .若平面向量 b 满足12be1b e21，则 |b|_.3高考题型精练1.(2015山东)已知菱形 ABCD 的边长为 a，ABC60，则 等于( )BD CD A. a2 B. a232 34C. a2 D. a2 34 322.(2014浙江)记 maxx，y Error!minx，y Error! 设 a，b 为平面向量，则( )A.min|ab|， |ab|min|a|，|b|B.min|ab
4、|，|ab|min|a|，| b|C.max|ab| 2，| ab| 2|a| 2|b| 2D.max|ab| 2，|ab| 2|a| 2| b|23.(2015湖南)已知点 A，B，C 在圆 x2y 21 上运动，且 ABBC.若点 P 的坐标为(2,0)，则| |的最大值为( )PA PB PC A.6 B.7C.8 D.94.如图，在等腰直角ABO 中，OAOB 1，C 为 AB 上靠近点 A 的四等分点，过 C 作 AB4的垂线 l，P 为垂线上任一点，设 a， b， p，则 p(ba)等于( )OA OB OP A. B.12 12C. D.32 325.在平面上， ，| | |1，
5、 .若| | ，则| |的取值范围是( )AB1 AB2 OB1 OB2 AP AB1 AB2 OP 12 OA A.(0， B.( ， 52 52 72C.( ， D.( ， 52 2 72 26.如图所示，ABC 中，ACB90 且 ACBC4，点 M 满足 3 ，则 等于( )BM MA CM CB A.2 B.3C.4 D.67.(2014安徽)设 a，b 为非零向量， |b|2|a| ，两组向量 x1，x 2，x 3，x 4 和 y1，y 2，y 3，y 4 均由2 个 a 和 2 个 b 排列而成.若 x1y1x 2y2x 3y3x 4y4 所有可能取值中的最小值为 4|a|2，则
6、a 与 b 的夹角为( )A. B. C. D.023 3 658.(2014江苏)如图，在平行四边形 ABCD 中，已知AB8，AD 5， 3 ， 2，则 的值是_.CP PD AP BP AB AD 9.设非零向量 a，b 的夹角为 ，记 f(a，b)acos bsin .若 e1，e 2 均为单位向量，且e1e2 ，则向量 f(e1，e 2)与 f(e2，e 1)的夹角为_.3210.如图，在ABC 中，O 为 BC 中点，若 AB1，AC 3， ， 60 ，则AB AC | |_.OA 11.已知向量 a(sin x， )，b(cos x，1). 当 ab 时，求 cos2xsin 2
7、x 的值；3412.在ABC 中，AC10，过顶点 C 作 AB 的垂线，垂足为 D，AD5，且满足 .AD 511DB (1)求| |；AB AC (2)存在实数 t1，使得向量 x t ，y t ，令 kxy，求 k 的最小值.AB AC AB AC 6平面向量数量积运算题型一 平面向量数量积的基本运算例 1 (1)(2014天津)已知菱形 ABCD 的边长为 2，BAD120，点 E，F 分别在边BC，DC 上，BC3BE，DCDF.若 1，则 的值为 _.AE AF (2)已知圆 O 的半径为 1，PA ，PB 为该圆的两条切线，A，B 为切点，那么 的最小值PA PB 为( )A.4
8、 B.32 2C.42 D.322 2答案 (1)2 (2)D解析 (1)如图， ( )( )( )( ) AE AF AB BE AD DF AB 13BC AD 1DC AB AD 1AB DC 13BC AD 13BC 7DC 22cos 120 22 22 22cos 1202 ，1 13 13 4 43 23 103 23又 1，AE AF 1，2.103 23(2)方法一 设| | |x ， APB，PA PB 则 tan ，2 1x从而 cos .1 tan221 tan22 x2 1x2 1 | | |cos PA PB PA PB x 2 x2 1x2 1 x4 x2x2 1
9、x2 12 3x2 1 2x2 1x 21 32 3，2x2 1 2当且仅当 x21 ，2即 x2 1 时取等号，故 的最小值为 2 3.2 PA PB 2方法二 设APB ，0，则| | | | .PA PB 1tan 28 | | |cos PA PB PA PB ( )2cos 1tan 2 (12sin 2 )cos22sin22 .1 sin221 2sin22sin22令 xsin 2 ，0x 1，则 PA PB 1 x1 2xx2x 32 3，1x 2当且仅当 2x ，即 x 时取等号.1x 22故 的最小值为 2 3.PA PB 2方法三 以 O 为坐标原点，建立平面直角坐标系
10、 xOy，则圆 O 的方程为 x2y 21，设 A(x1，y 1)，B(x 1，y 1)，P( x0,0)，则 (x 1x 0，y 1)(x1x 0，y 1)x 2x 1x0x y .PA PB 21 20 21由 OAPA ( x1，y 1)(x1x 0，y 1)0OA PA 9x x 1x0y 0，21 21又 x y 1，21 21所以 x1x01.从而 x 2x 1x0x yPA PB 21 20 21x 2x (1x )21 20 212x x 32 3.21 20 2故 的最小值为 2 3.PA PB 2点评 (1)平面向量数量积的运算有两种形式：一是依据长度和夹角，二是利用坐标运
11、算，具体应用哪种形式由已知条件的特征来选择.注意两向量 a，b 的数量积 ab 与代数中 a，b的乘积写法不同，不应该漏掉其中的“”.(2)向量的数量积运算需要注意的问题：ab0 时得不到 a0 或 b0，根据平面向量数量积的性质有|a| 2 a2，但|ab| a|b|.变式训练 1 (2015湖北)已知向量 ，| |3，则 _.OA AB OA OA OB 答案 9解析 因为 ，所以 0.所以 ( )OA AB OA AB OA OB OA OA AB 2 | |203 29.OA OA AB OA 题型二 利用平面向量数量积求两向量夹角例 2 (1)(2015重庆)若非零向量 a，b 满足
12、|a| |b|，且(ab) (3a2b)，则 a 与 b 的夹223角为( )A. B.4 210C. D.34(2)若平面向量 a 与平面向量 b 的夹角等于 ，| a|2，|b| 3，则 2ab 与 a2b 的夹角的余3弦值等于( )A. B.126 126C. D.112 112答案 (1)A (2)B解析 (1)由(a b)(3a2b)得(ab)(3a2b)0，即 3a2ab2b 20.又|a| |b|，设223a，b，即 3|a|2 |a|b|cos 2|b| 2 0， |b|2 |b|2cos 2| b|20.83 223cos .又 0 ， .22 4(2)记向量 2ab 与 a2b 的夹角为 ，又(2ab) 242 23 2423cos 13，3(a2b) 22 243 2423cos 52，3(2ab)(a2b)2a 22b 2 3ab81891，故 cos ，2a ba 2b|2a b|a 2b| 126
