1、1相似三角形添加辅助线的方法举例例 1： 已知：如图，ABC 中，ABAC，BDAC 于 D求证： BC22CDAC例 2已知梯形 中， ， ， 是腰 上的一点，连结ABCD/ADBC3EBCE（1 ）如果 ， ， ，求 的度数；EE（2 ）设 和四边形 的面积分别为 和 ，且 ，试求 的值1S2213SA例 3如图 4-1，已知平行四边 ABCD 中，E 是 AB 的中点，ADF31，连 E、F 交 AC 于 G求 AG：AC的值AB CD2例 4、如图 45，B 为 AC 的中点，E 为 BD 的中点，则 AF：AE=_.例 5、如图 4-7，已知平行四边形 ABCD 中，对角线 AC、B
2、D 交于 O 点，E 为 AB 延长线上一点，OE 交 BC于 F，若 AB=a， BC=b，BE=c ，求 BF 的长例 6、已知在ABC 中，AD 是BAC 的平分线求证： CDBA3相似三角形添加辅助线的方法举例答案例 1： 已知：如图，ABC 中，ABAC，BDAC 于 D求证： BC22CDAC分析：欲证 BC22CDAC，只需证 但因为结论中有 “2”，无BCA2法直接找到它们所在的相似三角形，因此需要结合图形特点及结论形式，通过添加辅助线，对其中某一线段进行倍、分变形，构造出单一线段后，再证明三角形相似由“2 ”所放的位置不同，证法也不同证法一（构造 2CD）：如图，在 AC 截
3、取 DEDC ，BD AC 于 D，BD 是线段 CE 的垂直平分线，BC=BE，C=BEC ，又 ABAC，C=ABC BCEACB ， BCAEBCAD2BC 22CDAC证法二（构造 2AC）：如图，在 CA 的延长线上截取 AEAC ，连结 BE， ABAC， ABAC=AEEBC=90，又BD ACEBC=BDC=EDB=90，E= DBC，EBCBDC 即BCEDA2BC 22CDAC证法三（构造 ） ：如图，取 BC 的中点 E，连结 AE，则 EC= 1 BC21又AB=AC ，AEBC，ACE=CAEC=BDC=90 ACE BCD 即 BADE21BC 22CDAC证法四（
4、构造 ）：如图，取 BC 中点 E，连结 DE，则 CE= CBC21BD AC，BE=EC=EB，EDC=C又AB=AC ，ABC=C，ABC EDCAB CDEAB CDEAB CDEAB CDEAB CD4 J 即 ECADBB21BC 22CDAC说明：此题充分展示了添加辅助线，构造相似形的方法和技巧在解题中方法要灵活，思路要开阔例 2已知梯形 中， ， ， 是腰 上的一点，连结ACD/AD3EBCE（1 ）如果 ， ， ，求 的度数；ABCECDAEB3B（2 ）设 和四边形 的面积分别为 和 ，且 ，试求 的值1S2213SAEB（1 ）设 ，则kk3解法 1 如图，延长 、 交于
5、点 F， ， ， 为 的中点BCAD/AD3AFB3k2EBF又 ，又 为等边三角形 故FECC60解法 2 如图作 分别交 、 于点 、ABDF/CEBGF则 ，得平行四边形EAD同解法 1 可证得 为等边三角形故 60解法 3 如图作 交 于 ，交 的延长线于ECAF/DGBCF作 ，分别交 、 于点 、BI HI则 ，得矩形A5，CEAF/3AEB又 ，故 为 、 的中点DB3FGCDAF以下同解法 1 可得 是等边三角形I故 60解法 4 如图，作 ，交 于 ，作 ，交 于 ，得平行四边形 ，且CDAF/BFCEG/ABAFCDABG读者可自行证得 是等边三角形，故60解法 5 如图延
6、长 、 交于点 ，作 ，分别交 、 于点 、 ，得平行四边形CEDAFCDG/BCEGHAGCD可证得 为 的中点，则 ，故kH2601得 为等边三角形，故BGB解法 6 如图（补形法） ，读者可自行证明 是等边三角形，CDF得 60B（注：此外可用三角形相似、等腰三角形三线合和一、等积法等）（2 ）设 ，则SCE3SAECD2四 边 形解法 1（补形法）如图补成平行四边形 ，连结 ，则ABCFADF2设 ，则 ，xSACDxSE2xC由 得， ，FBs3s456sxSACE43243sSAEBC解法 2 （补形法）如图，延长 、 交于点 ，DF91ABCDSsSFADABCF581梯 形，
7、，又SFD sFE821 sSEBC387BEC设 ，则 ， ，mm15BAF，2A4A解法 3（补形法）如图连结 ，作 交 延长线于点ACDF/BAF连结则 ，故 （1）3，ACFDSFECADS四 边 形2AEBFEB四 边 形故 （2）3)(32由（1） 、 （2 ）两式得 即44解法 4（割补法）如图7连结 与 的中点 并延长交 延长线于点 ，如图，过 、 分别作高 、 ，则ACDFBCGEA1h2且 ，GAEGES四 边 形四 边 形 sSABCDA5梯 形，又2153hBSAGC43， ，故421h5EA说明 本题综合考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解题关键是作辅助
8、线，构造相似三角形. 例 3如图 4-1，已知平行四边 ABCD 中，E 是 AB 的中点，ADF31，连 E、F 交 AC 于 G求 AG：AC的值解法 1： 延长 FE 交 CB 的延长线于 H， 四边形 ABCD 是平行四边形， BCAD/， H=AFE，DAB= HBE又 AE=EB， AEFBEH，即 AF=BH， ADF31， F31，即F41 ADCH， AGF=CGH，AFG=BHE ， AFG CGH AG：GC=AF：CH ， AG：GC=1：4， AG：AC=1 ：5解法 2： 如图 42，延长 EF 与 CD 的延长线交于 M，由平行四边形 ABCD 可知， DCAB/
9、，即AB MC，8 AF：FD=AE：MD ，AG：GC=AE：MC ADF31， AF：FD=1 ：2， AE：MD=1：2 DCABE1 AE：MC=1：4，即 AG：GC=1：4 ， AG：AC=1：5例 4、如图 45，B 为 AC 的中点，E 为 BD 的中点，则 AF：AE=_.解析：取 CF 的中点 G，连接 BG B 为 AC 的中点， BG：AF=1 ：2，且 BGAF，又 E 为 BD 的中点， F 为 DG 的中点 EF：BG=1：2 故 EF：AF=1：4， AF：AE=4：3 例 5、如图 4-7，已知平行四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于 O 点，E 为
10、 AB 延长线上一点，OE 交 BC于 F，若 AB=a， BC=b，BE=c ，求 BF 的长解法 1： 过 O 点作 OMCB 交 AB 于 M， O 是 AC 中点，OMCB， M 是 AB 的中点，即aB21， OM 是ABC 的中位线，bCO，且 OMBC ，EFB=EOM，EBF=EMO9 BEF MOE， EMBOF，即cabBF21， cab2.解法 2： 如图 4-8，延长 EO 与 AD 交于点 G，则可得AOGCOF， AG=FC=b-BF， BFAG， AEBGF即 caFb， cabBF2 cab2.解法 3： 延长 EO 与 CD 的延长线相交于 N，则BEF 与C
11、NF 的对应边成比例，即 CNBEF解得 cabBF2.例 6、已知在ABC 中，AD 是BAC 的平分线求证： CDBA分析 1 比例线段常由平行线而产生，因而研究比例线段问题，常应注意平行线的作用，在没有平行线时，可以添加平行线而促成比例线段的产生此题中 AD 为ABC 内角 A 的平分线，这里不存在平行线，于是可考虑过定点作某定直线的平行线，添加了这样的辅助线后，就可以利用平行关系找出相应的比例线段，再比较所证的比例式与这个比例式的关系，去探求问题的解决证法 1： 如图 49，过 C 点作 CEAD ，交 BA 的延长线于 E10在BCE 中， DACE， AEBDC又 CEAD， 1=
12、 3，2=4，且 AD 平分BAC， 1=2 ，于是3=4， AC=AE代入式得分析 2 由于 BD、CD 是点 D 分 BC 而得，故可过分点 D 作平行线证法 2： 如图 410，过 D 作 DEAC 交 AB 于 E，则 2=3 1=2 ， 1=3于是 EA=ED又 DCBEA， EABD， CD.分析 3 欲证式子左边为 AB：AC ，而 AB、AC 不在同一直线上，又不平行，故考虑将 AB 转移到与 AC 平行的位置证法 3： 如图 411，过 B 作 BEAC ，交 AD 的延长线于 E，则2=E 1=2 ， 1=E，AB=BE 又 ACBD， DB.分析 4 由于 AD 是BAC 的平分线，故可过 D 分别作 AB、AC 的平行线，构造相似三角形求证证法 4 如图 412，过 D 点作 DEAC 交 AB 于 E，DF AB 交 AC 于 F
