第三章直线与方讲义一.doc

1、第三章 直线与方程（1）直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线 向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与 x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为 0 度。因此，倾斜角的取值范围是 0180（2）直线的斜率定义：倾斜角不是 90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用 k 表示。即tank。斜率反映直线与轴的倾斜程度。当直线 l 与 x 轴平行或重合时, =0, k = tan0=0;当直线 l 与 x 轴垂直时, = 90, k 不存在.当 90时， ； 当 180,9时， k； 当 90时， k不存在。过两点的直线的斜率公式： )(212xxy （ P1(x1,y

2、1),P2(x2,y2),x1x2）注意下面四点：(1)当 1时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为 90；(2)k 与 P1、P 2 的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。（3）直线方程 点斜式： )(11xy直线斜率 k，且过点 1,yx注意：当直线的斜率为 0时，k=0，直线的方程是 y=y1。当直线的斜率为 90时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示但因 l 上每一点的横坐标都等于 x1，所以它的方程是 x=x1。 斜截式： bk，直线斜率为 k，直线在 y 轴上的截距为 b 两点式

3、： 2121y（ 212,）直线两点 1,yx， 2, 截矩式： xab其中直线 l与 x轴交于点 (,0)a,与 轴交于点 (0,),即 l与 x轴、 y轴的截距分别为 ,。 一般式： 0CByA（A，B 不全为 0）注意： 各式的适用范围 特殊的方程如： 1 2平行于 x 轴的直线： （b 为常数） ； 平行于 y 轴的直线： ax（a 为常数） ； （6）两直线平行与垂直当 11:kyl， 22:xkyl时，2,/； l注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。（7）两条直线的交点 0:11CyBxAl0:22CyBxAl相交交点坐标即方程组 1的一组解。方程组无解 2

4、1/l ； 方程组有无数解 1l与 2重合（8） 两点间距离公式 ：设 12(,),xy， （ ） 是平面直角坐标系中的两个点，则 22|(AB （9） 点到直线距离公式 ：一点 0,P到直线 0:1CByAxl的距离20BACyxd（10） 两平行直线距离公式已知两条平行线直线 和 的一般式方程为 ： ，1l21l01CByAx： ，则 与 的距离为2l02Cyx1l22d第三章 直线与方程 A 组一、选择题1若直线 x1 的倾斜角为 ，则( )A等于 0 B等于 C等于 D不存在22图中的直线 l1，l 2，l 3 的斜率分别为 k1，k 2，k 3，则( )Ak 1k 2k 3 Bk 3

5、k 1k 2Ck 3k 2k 1 Dk 1k 3k 23已知直线 l1 经过两点(1，2)、(1，4)，直线 l2 经过两点(2，1)、(x，6)，且 l1l 2，则x( )A2 B2 C4 D14已知直线 l 与过点 M( ， )，N ( ， )的直线垂直，则直线 l 的倾斜角是( 323)A B C D3324435如果 AC0，且 BC0，那么直线 AxBy C0 不通过( )A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限6设 A，B 是 x 轴上的两点，点 P 的横坐标为 2，且|PA|PB |，若直线 PA 的方程为xy1 0，则直线 PB 的方程是( )Ax y50 B2xy 10

6、 C2yx40 D2xy707过两直线 l1：x3y 40 和 l2：2xy50 的交点和原点的直线方程为 ( )A19x 9y0 B9x19y0 C19x3y 0 D3x19y0 8直线 l1：xa 2y60 和直线 l2 : (a2)x3ay2a0 没有公共点 ，则 a 的值是( )A3 B3 C1 D19将直线 l 沿 y 轴的负方向平移 a(a0)个单位，再沿 x 轴正方向平移 a1 个单位得直线 l，此时(第 2 题)直线 l 与 l 重合，则直线 l 的斜率为( )A B C D 1a1aa1a110点(4，0)关于直线 5x4y 21 0 的对称点是( )A(6，8) B(8，

7、6) C(6，8) D(6，8)二、填空题11已知直线 l1 的倾斜角 115，直线 l1 与 l2 的交点为 A，把直线 l2 绕着点 A 按逆时针方向旋转到和直线 l1 重合时所转的最小正角为 60，则直线 l2 的斜率 k2 的值为 12若三点 A(2，3)，B(3，2)，C ( ，m)共线，则 m 的值为 13已知长方形 ABCD 的三个顶点的坐标分别为 A(0，1)，B(1， 0)，C (3，2)，求第四个顶点 D 的坐标为 14求直线 3x ay1 的斜率 15已知点 A(2，1)，B(1，2)，直线 y2 上一点 P，使|AP|BP|，则 P 点坐标为 16与直线 2x 3y50

8、 平行，且在两坐标轴上截距的和为 6 的直线方程是 17若一束光线沿着直线 x2y 50 射到 x 轴上一点，经 x 轴反射后其反射线所在直线的方程是 三、解答题18设直线 l 的方程为(m 22m3)x(2m 2m1)y 2m6(mR ，m1)，根据下列条件分别求 m 的值：l 在 x 轴上的截距是3； 斜率为 119已知ABC 的三顶点是 A(1，1)，B(3，1)，C (1，6)直线 l 平行于 AB，交 AC，BC 分别于 E，F ， CEF 的面积是CAB 面积的 求直线 l 的方程420一直线被两直线 l1：4xy 60，l 2：3x5y60 截得的线段的中点恰好是坐标原点，求该直

9、线方程21直线 l 过点(1，2)和第一、二、四象限，若直线 l 的横截距与纵截距之和为 6，求直线 l 的方程第四章 圆与方程1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。2、圆的方程（1） 标准方程 22rbyax，圆心 ba,，半径为 r；点 与圆 的位置关系：0(,)My()()当 ，点在圆外 当 = ，点在圆上220r2200()()xybr当 ，点在圆内0()()xayb（2） 一般方程 2FEyDx当 42FED时，方程表示圆，此时圆心为 2,ED，半径为 FEDr412当 0时，表示一个点； 当 2时，方程不表示任何图形。（3）求圆方程的

10、方法：一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出 a，b，r；若利用一般方程，需要求出 D，E，F ；另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：（1）设直线 0:CByAxl，圆 22:rbyax，圆心 baC,到 l 的距离为2bad，则有 相 离与lrd； 相 切与ld； 相 交与rd（2）过圆外一点的切线：k 不存在，验证是否成立k 存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解 k，得到方程【一定两解】(3)过圆上一点的切线方程：圆(x

11、-a) 2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x 0， y0)，则过此点的切线方程为 (x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差） ，与圆心距（d）之间的大小比较来确定。设圆 211:rbyaxC， 222: RbaxC两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差） ，与圆心距（d）之间的大小比较来确定。当 rRd时两圆外离，此时有公切线四条；当 时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；当 时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；当 时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；当 r时，两圆内含； 当 0d时，为同心圆。

12、注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点第四章 圆与方程 一、选择题1若圆 C 的圆心坐标为(2，3) ，且圆 C 经过点 M(5，7)，则圆 C 的半径为( )A B5 C25 D5 102过点 A(1，1)，B(1，1)且圆心在直线 xy20 上的圆的方程是( )A(x 3)2(y 1)24 B(x3) 2(y1) 24 C(x1) 2(y1) 24D(x1) 2(y 1) 243以点(3，4)为圆心，且与 x 轴相切的圆的方程是( )A(x 3)2(y 4)216 B(x3) 2(y4) 216 C(x3) 2(y

13、4) 29 D(x3) 2(y 4) 219 4若直线 xy m0 与圆 x2y 2m 相切，则 m 为( )A0 或 2 B2 C D无解25圆(x 1)2( y2) 220 在 x 轴上截得的弦长是( )A8 B6 C6 D4 36两个圆 C1：x 2y 22x2y20 与 C2：x 2y 24x2y 10 的位置关系为( )A内切 B相交 C外切 D相离7圆 x2 y22x50 与圆 x2 y22x4y40 的交点为 A，B，则线段 AB 的垂直平分线的方程是( )Ax y10 B2xy10 Cx2y10 Dxy108圆 x2 y22x0 和圆 x2y 24y0 的公切线有且仅有( )A

14、4 条 B3 条 C2 条 D1 条9在空间直角坐标系中，已知点 M(a，b，c )，有下列叙述：点 M 关于 x 轴对称点的坐标是 M1(a，b，c)； 点 M 关于 yoz 平面对称的点的坐标是M2(a， b，c) ；点 M 关于 y 轴对称的点的坐标是 M3(a，b，c)； 点 M 关于原点对称的点的坐标是M4(a， b，c )其中正确的叙述的个数是( )A3 B2 C1 D010空间直角坐标系中，点 A(3，4，0)与点 B(2，1，6)的距离是( )A2 B2 C9 D4186二、填空题11圆 x2y 22 x2y10 上的动点 Q 到直线 3x4y80 距离的最小值为 12圆心在直

15、线 yx 上且与 x 轴相切于点(1，0)的圆的方程为 13以点 C(2，3)为圆心且与 y 轴相切的圆的方程是 14两圆 x2y 2 1 和(x4) 2(ya) 225 相切，试确定常数 a 的值 15圆心为 C(3，5)，并且与直线 x7y20 相切的圆的方程为 16设圆 x2y 2 4x50 的弦 AB 的中点为 P(3，1)，则直线 AB 的方程是 三、解答题17求圆心在原点，且圆周被直线 3x4y 150 分成 12 两部分的圆的方程18求过原点，在 x 轴，y 轴上截距分别为 a，b 的圆的方程(ab0)19求经过 A(4，2)， B(1，3)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和是

16、2 的圆的方程20求经过点(8，3)，并且和直线 x6 与 x10 都相切的圆的方程期末测试题考试时间：90 分钟 试卷满分：100 分一、选择题：本大题共 14 小题，每小题 4 分，共 56 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的1在直角坐标系中，已知 A(1，2)，B(3，0)，那么线段 AB 中点的坐标为( )A(2，2) B(1，1) C(2，2) D(1，1)2右面三视图所表示的几何体是( )A三棱锥B四棱锥C五棱锥D六棱锥3如果直线 x 2y10 和 ykx 互相平行，则实数 k 的值为( )A2 B C2 D 214一个球的体积和表面积在数值上相等，则该球半径的数值为

17、( )A1 B2 C3 D45下面图形中是正方体展开图的是( )A B C D(第 5 题)6圆 x2 y22x4y40 的圆心坐标是 ( )A(2，4) B(2 ，4) C(1，2) D(1，2)正视图 侧视图俯视图(第 2 题)7直线 y2x 1 关于 y 轴对称的直线方程为( ) Ay 2x1 By2x1 Cy2x1 Dyx18已知两条相交直线 a，b，a平面，则 b 与 的位置关系是( )Ab 平面 Bb 平面Cb平面 Db 与平面相交，或 b平面在空间中，a，b 是不重合的直线， 是不重合的平面，则下列条件中可推出 ab 的是( )Aa ，b ， Ba，b Ca，b Da，b 10

18、圆 x2y 2 1 和圆 x2y 26 y50 的位置关系是( )A外切 B内切 C外离 D内含11如图，正方体 ABCDABCD中，直线 DA 与 DB 所成的角可以表示为( )ADDB BAD CCADB DDBC12 圆(x1) 2 (y1) 22 被 轴截得的弦长等于( )xA 1 B C 2 D 3313如图，三棱柱 A1B1C1ABC 中，侧棱 AA1底面 A1B1C1，底面三角形 A1B1C1是正三角形，E 是 BC 中点，则下列叙述正确的是( )ACC 1 与 B1E 是异面直线BAC平面 A1B1BACAE ，B 1C1 为异面直线，且 AEB 1C1DA 1C1平面 AB1

19、E14有一种圆柱体形状的笔筒，底面半径为 4 cm，高为 12 cm现要为 100 个这种相同规格的笔筒涂色(笔筒内外均要涂色，笔筒厚度忽略不计) 如果每 0.5 kg 涂料可以涂 1 m2，那么为这批笔筒涂色约需涂料A1.23 kg B1.76 kg C2.46 kg D3.52 kg二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分把答案填在题中横线上15坐标原点到直线 4x3y 12 0 的距离为 CBA(第 11 题)A1B1C1ABEC(第 13 题)16以点 A(2，0)为圆心，且经过点 B(1，1)的圆的方程是 17如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，棱锥 A

20、1ABCD 的体积与长方体的体积之比为_18在平面几何中，有如下结论：三边相等的三角形内任意一点到三边的距离之和为定值拓展到空间，类比平面几何的上述结论，可得：四个面均为等边三角形的四面体内任意一点_三、解答题：本大题共 3 小题，共 28 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤19已知直线 l 经过点(0，2)，其倾斜角是 60(1)求直线 l 的方程；(2)求直线 l 与两坐标轴围成三角形的面积20如图，在三棱锥 PABC 中，PC底面 ABC，AB BC， D，E 分别是 AB，PB 的中点(1)求证：DE平面 PAC；(2)求证：ABPB；(3)若 PCBC，求二面角 PABC 的大小21已知半径为 5 的圆 C 的圆心在 x 轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线 4x3y290 相切(1)求圆 C 的方程；(2)设直线 axy50 与圆 C 相交于 A，B 两点，求实数 a 的取值范围；(3) 在(2)的条件下，是否存在实数 a，使得过点 P(2，4)的直线 l 垂直平分弦 AB？若存在，求出实数 a 的值；若不存在，请说明理由A BCDD1 C1B1A1(第 17 题)ACPBDE(第 20 题)