1、1第一章 热力学的基本规律1.1 试求理想气体的体胀系数 ，压强系数 和等温压缩系数 。解： 理想气体的物态方程为 ,由此可算得：RTpVPVkPTVTP 1)(;1)(,1)( 1.2 证明任何一种具有两个独立参量 T，P 的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数 及等温压缩系数 ，根据下述积分求得：，如果 ，试求物态方程。)(lnkdPaTVka1,证明：dpVTpdTP)()(,两边除以 V,得dVT11积分后得 如果)(lnka,1,pT代入上式，得 CPTdVlnl)(ln所以物态方程为： CP与 1mol 理想气体得物态方程 PV=RT 相比较，可知所要求的物态方程即为理想气体物态
2、方程。1.3 在 00C 和 1atm 下，测得一块铜的体胀系数和压缩系数为2a=4.18510-5K-1，k=7.8 10-7atm-1。a 和 k 可以近似看作常数。今使铜加热至 100C，问（1）压力要增加多少大气压才能使铜块的体积维持不变？（2）若压力增加 100atm，铜块的体积改变多少？解：（a）由上题dpTpVdTVdTP)(1)(1体积不变，即 0所以 即dTkaP atmka62108.7547(b) 475121212 10.4)()( pV可见，体积增加万分之 4.07。1.4 描述金属丝的几何参量是长度 L,力学参量是张力 F,物态方程是f(F,L,T)=0。实验通常在
3、 1pn下进行，其体积变化可以忽略。线胀系数定义为 ，等温杨氏模量定义为 ，FTLa)(1 TLFAY)(其中 A 是金属丝的截面积。一般来说， 和 Y 是 T 的函数，对 F 仅有微弱的依赖关系。如果温度变化范围不大，可以看作常量。假设金属丝两端固定。试证明，当温度由 T1 降至 T2 时，其张力的增加为 2()FY证明：（a）设 ,FL，则LTdddLT（1）由于1LFT3所以 LTFFLT（2）将（2）式代入（1）式，并利用线胀系数 和等温杨氏模量的定义式，得 TFTLAYdFddLTdL（3）（b）当金属丝两端固定时，dL0，由（3）式得 aAY当温度由 T1 降至 T2 时，积分上式
4、得 21()FT（4）1.5 一理想弹性物质的物态方程为 20()LFb，其中 L 是长度，L 0 是张力 F 为零时的 L 值，它只是温度 T 的函数，b 是常数。试证明：（a） 等温杨氏模量为 )2(0LAbTY30.（b） 在张力为零时， 线膨胀系数 2/1300LT其中 .10dLT(c) 上述物态方程适用于橡皮带，设 ，121033.1,300 . KNbKT.15,104026mA试计算当 0分别为 0.5，1.0，1.54和 2.0 时的 F,Y,对 0L的曲线。证明：（a）由弹性物质得物态方程，可得 20301TFbLL（1）将上式代入等温杨氏模量的定义式 220031T Lb
5、TYbALLA（2）当 F0 时， LL 0，由（2）式得1bA（3）（b）在 F 不变下，将物态方程对 T 求导，得 22000202 40F FFFLLL TT 由上式解出 F,可得 222300000322001111(4)2FLLLTTTT 其中 01dLT1.6 1mol 理想气体，在 27oC 的恒温下体积发生膨胀，其压强由 20pn准静态地降到 1pn，求气体所作的功和所吸收取的热量。 5解：(a) 在恒温准静态膨胀过程中，理想气体所作的功为21 21 ,ln12VVVRTdRTpdW因为 ,21 故有 ,21p.046.7ln30.8ln32 molJpRT(b) 理想气体在恒
6、温膨胀过程中，内能不变，根据热力学第一定律，求得 .146.713molJWQ1.7 在 25oC 下，压强在 0 至 1000pn 之间，测得水的体积为13263)14.175.06.18( olcppV如果保持温度不变，将 1mol 的水从 1pn 加压至 1000pn ,求外界所作的功。解：写出 ,2cpbaV则 dV= (b+2cp)dp = dp)1046.21075.(3所要求的功 2110 231032613()()(.75)0.4(268/.(10.1)VnWpdbcpdbcpcmolJol 1.8 承前 1.5 题，使弹性体在准静态等温过程中长度由 L0 压缩为,20L试计算
7、外界所作的功。6解：外界对弹性体作的元功表达式为 dWFL（1）将物态方程代入上式，得 20bTdL（2）注意到在等温过程中 L0 不变，当弹性体在等温过程中长度由 L0 压缩为 L0/2 时，外界所作的功为 0/220058LWbTdLbT（3）1.9 在 0oC 和 1pn 下，空气的密度为 1.29 1mkg.空气的定压比热容.41,961KkgJcp今有 27m3 的空气，试计算：（i）若维持体积不变，将空气由 0oC 加热至 20oC 所需的热量。（ii）若维持压强不变，将空气由 0oC 加热至 20oC 所需的热量。（iii ）若容器有裂缝，外界压强为 1pn,使空气由 0oC 缓
8、慢地加热至 20oC所需的热量。解：1cal=4.2J 所以 11238.96KgcalKkgJcp(i)这是定容加热过程，定容热容量可以从定压热容量算出，.de/1.04./238.0clCpV27m3 的空气，其质量可由它的密度算得： gM46.719. 考虑到热容量为常数，使温度由 0oC 升至 20oC 所需得热量20169.8.3)(41221 TdTCQVTVV7即得 JcalQV 551092.41076. (ii) 在定压加热过程中， ).(937.6)(68.3.8.3)( 5412 JcalTMCp (iii) 因为加热过程使缓慢得，所以假定容器内的压力保持 1pn. 本问
9、题，空气的质量是改变的。在保持压力 p 和容积 V 不变的条件下加热时，在温度 T 下的质量 M(T)可由物态方程 )(为 空 气 的 平 均 分 子 量其 中 RpV确定之。设 T1 时，容器内的空气质量之为 M1,则由1)(M算得 T)(, 所以 2 21 1 2111() ln()TPppdQCdC将 T1=273K, T2=293K, M1Cp= Kcal/09.83代入（1）式，即得 J553 0678.6.7ln09.8 1.10 抽成真空的小匣带有活门，打开活门让气体冲入。当压强达到外界压强 0p时将活门关上。试证明：小匣内的空气在没有与外界交换热量之前，它的内能 U 与原来在大
10、气中的内能 U0 之差为 0Vp，其中 V0 是它原来在大气中的体积。若气体是理想气体，求它的温度与体积。解： (a) 求解这个问题，首先要明确我们所讨论的热力学系统是什么。为此，可以设想：使一个装有不漏空气的无摩擦活塞之绝热小气缸与绝热小匣相连。假定气缸所容空气的量，恰好为活门打开时进入该小匣内的那一部分空气的量。这样，原来在小气缸中，后来处于小匣内的那一部分空8气（为了方便，设恰为 1mol 空气） ，就是我们所讨论的热力学系统。系统的初态( 00;,UpTV)和终态 );,(UpTV如图所示： P0. .初态（V 0,T0,p0;U0）终态（V,T,p;U） 当打开活门，有少量空气进入原
11、来抽为真空的小匣，小气缸内的气压就降为比大气压小一点，外界空气就迫使活塞向匣内推进。根据热力学第一定律，在此绝热过程中，有dVpdWU0积分之，0000 VpVV(1)(b) 由 00000 )()(, TCRTCpUVpV得 到即 TVp从上式，得 00TVp(2)(c) 由于初态和终态的压力相等，故有000pRpVR和从以上两式，得到 00TV (3)由(2)式知， (3)式可化为900VTV(4)1.11 满足 Cpn的过程称为多方过程，其中常数 n 名为多方指数。试证明：理想气体在多方过程中的热容量 Cn 为vn1证明：根据热力学第一定律，有pdVTCdVn (1)利用理想气体的物态方
12、程，可将 Cn化为11Tn将上式微分，得pnRdTnVd)()(2)将(2)代入(1) 式，得.11VVVnCnC1.12 试证明：在某一过程中理想气体的热容量 Cn 如果是常数，该过程一定是多方过程，多方指数.pnC假设气体的定压热容量和定容热容量是常数。证明：根据热力学第一定律pdVTdCVn由 代 入 上 式 ， 得将有 TRpRTpV,100)1( VdpRCpdVRCnVn两边除以 Pv，再经整理，得到.0PDVdn n， 经 积 分 即 得1.13 声波在气体中的传播速度为 sp假设气体是理想气体，其定压和定容热容量是常量。试证明气体单位质量的内能 u 和焓 h 可由声速及 给出： )1(2u常量， 12h常量证明：理想气体在准静态的绝热过程中，0VdpCpV， 经 积 分 ， 得,从而得到 S)(1)因为 VM,所以MRTpVppSS 22)()()(MRTS)(， 故 Ra(2)对于理想气体，内能和焓分别为常 数VCU ， 常 数pCH (3)把(2)中的 T 代入(3) 式，并注意到 /VPVRC和得单位质量的内能 u 和焓 h 为
