1、1等腰三角形典型例题练习一选择题（共 2 小题）1如图，C=90，AD 平分BAC 交 BC 于 D，若 BC=5cm，BD=3cm，则点 D 到 AB 的距离为（ ）A5cm B3cm C2cm D不能确定2如图，已知 C 是线段 AB 上的任意一点（端点除外） ，分别以 AC、BC 为边并且在 AB 的同一侧作等边ACD和等边BCE ，连接 AE 交 CD 于 M，连接 BD 交 CE 于 N给出以下三个结论：AE=BDCN=CMMNAB其中正确结论的个数是（ ）A0 B1 C2 D3二填空题（共 1 小题）3如图，在正三角形 ABC 中，D，E，F 分别是 BC，AC ，AB 上的点，D
2、EAC，EFAB，FDBC，则 DEF 的面积与ABC 的面积之比等于 _ 三解答题（共 15 小题）4在ABC 中，AD 是BAC 的平分线，E、F 分别为 AB、AC 上的点，且 EDF+EAF=180，求证 DE=DF5在ABC 中， ABC、 ACB 的平分线相交于点 O，过点 O 作 DEBC，分别交 AB、AC 于点 D、E请说明DE=BD+EC26已知：如图，D 是ABC 的 BC 边上的中点，DEAB，DFAC，垂足分别为 E，F，且 DE=DF请判断ABC 是什么三角形？并说明理由7如图，ABC 是等边三角形，BD 是 AC 边上的高，延长 BC 至 E，使 CE=CD连接
3、DE（1）E 等于多少度？（2）DBE 是什么三角形？为什么？8如图，在ABC 中， ACB=90，CD 是 AB 边上的高，A=30 求证：AB=4BD 9如图，ABC 中，AB=AC ，点 D、E 分别在 AB、AC 的延长线上，且 BD=CE，DE 与 BC 相交于点 F求证：DF=EF10已知等腰直角三角形 ABC，BC 是斜边B 的角平分线交 AC 于 D，过 C 作 CE 与 BD 垂直且交 BD 延长线于 E，求证：BD=2CE311 （2012牡丹江）如图 ，ABC 中AB=AC，P 为底边 BC 上一点，PEAB，PFAC，CHAB，垂足分别为 E、F 、H易证 PE+PF=
4、CH证明过程如下：如图，连接 APPEAB，PFAC，CH AB，SABP= ABPE，S ACP= ACPF，S ABC= ABCH又 SABP+SACP=SABC， ABPE+ ACPF= ABCHAB=AC，PE+PF=CH（1）如图，P 为 BC 延长线上的点时，其它条件不变，PE 、PF、CH 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：（2）填空：若A=30，ABC 的面积为 49，点 P 在直线 BC 上，且 P 到直线 AC 的距离为 PF，当 PF=3 时，则AB 边上的高 CH= _ 点 P 到 AB 边的距离 PE= _ 12数学课上，李老师出示了如下的题目：“在等边
5、三角形 ABC 中，点 E 在 AB 上，点 D 在 CB 的延长线上，且 ED=EC，如图，试确定线段 AE 与 DB 的大小关系，并说明理由”小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况，探索结论当点 E 为 AB 的中点时，如图 1，确定线段 AE 与 DB 的大小关系，请你直接写出结论：AE _ DB（填“”， “”或“=” ） （2）特例启发，解答题目解：题目中，AE 与 DB 的大小关系是： AE _ DB（填“”， “”或“ =”） 理由如下：如图 2，过点 E作 EFBC，交 AC 于点 F （请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题4在等边三角形 ABC 中，点
6、 E 在直线 AB 上，点 D 在直线 BC 上，且 ED=EC若ABC 的边长为 1，AE=2，求CD 的长（请你直接写出结果） 13已知：如图，AF 平分BAC，BC AF 于点 E，点 D 在 AF 上，ED=EA，点 P 在 CF 上，连接 PB 交 AF 于点M若BAC=2 MPC，请你判断 F 与MCD 的数量关系，并说明理由14如图，已知ABC 是等边三角形，点 D、E 分别在 BC、AC 边上，且 AE=CD，AD 与 BE 相交于点 F（1）线段 AD 与 BE 有什么关系？试证明你的结论（2）求BFD 的度数15如图，在ABC 中，AB=BC，ABC=90，F 为 AB 延
7、长线上一点，点 E 在 BC 上，BE=BF，连接 AE、EF和 CF，求证：AE=CF16已知：如图，在OAB 中，AOB=90，OA=OB，在EOF 中，EOF=90，OE=OF，连接 AE、BF 问线段AE 与 BF 之间有什么关系？请说明理由517 （2006郴州）如图，在 ABC 中，AB=AC ，D 是 BC 上任意一点，过 D 分别向 AB，AC 引垂线，垂足分别为E，F， CG 是 AB 边上的高（1）DE，DF，CG 的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明；（2）若 D 在底边的延长线上， （1）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由18如图甲所示，在AB
8、C 中，AB=AC ，在底边 BC 上有任意一点 P，则 P 点到两腰的距离之和等于定长（腰上的高） ，即 PD+PE=CF，若 P 点在 BC 的延长线上，那么请你猜想 PD、PE 和 CF 之间存在怎样的等式关系？写出你的猜想并加以证明6等腰三角形典型例题练习参考答案与试题解析一选择题（共 2 小题）1如图，C=90，AD 平分BAC 交 BC 于 D，若 BC=5cm，BD=3cm，则点 D 到 AB 的距离为（ ）A5cm B3cm C2cm D不能确定考点： 角平分线的性质1418944分析： 由已知条件进行思考，结合利用角平分线的性质可得点 D 到 AB 的距离等于 D 到 AC
9、的距离即CD 的长，问题可解解答： 解：C=90， AD 平分 BAC 交 BC 于 DD 到 AB 的距离即为 CD 长 CD=53=2 故选 C2如图，已知 C 是线段 AB 上的任意一点（端点除外） ，分别以 AC、BC 为边并且在 AB 的同一侧作等边ACD和等边BCE ，连接 AE 交 CD 于 M，连接 BD 交 CE 于 N给出以下三个结论：AE=BDCN=CMMNAB 其中正确结论的个数是（ ）A0 B1 C2 D3考点： 平行线分线段成比例；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质1418944分析： 由ACD 和 BCE 是等边三角形，根据 SAS 易证得 ACEDCB，即
10、可得 正确；由 ACEDCB，可得EAC= NDC，又由 ACD=MCN=60，利用 ASA，可证得ACM DCN，即可得正确；又可证得CMN 是等边三角形，即可证得正确解答： 解：ACD 和 BCE 是等边三角形， ACD=BCE=60，AC=DC，EC=BC，ACD+DCE=DCE+ECB，即ACE= DCB，ACEDCB （SAS） ，AE=BD，故正确；EAC=NDC，ACD= BCE=60，DCE=60，ACD= MCN=60，AC=DC， ACMDCN（ASA） ，CM=CN，故 正确；又MCN=180 MCANCB=1806060=60，CMN 是等边三角形，NMC=ACD=60
11、，MNAB，故正确故选 D二填空题（共 1 小题）3如图，在正三角形 ABC 中，D，E，F 分别是 BC，AC ，AB 上的点，DEAC，EFAB，FDBC，则 DEF 的面积与ABC 的面积之比等于 1：3 7考点： 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质1418944分析： 首先根据题意求得：DFE= FED=EDF=60，即可证得DEF 是正三角形，又由直角三角形中，30所对的直角边是斜边的一半，得到边的关系，即可求得 DF：AB=1： ，又由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得结果解答： 解：ABC 是正三角形，B= C=A=60，DEAC，EFAB
12、，FD BC，AFE=CED= BDF=90，BFD=CDE=AEF=30，DFE= FED=EDF=60， ，DEF 是正三角形，BD：DF=1： ，BD：AB=1： 3， DEFABC， = ，DF ：AB=1： ，DEF 的面积与ABC 的面积之比等于 1：3故答案为：1：3三解答题（共 15 小题）4在ABC 中，AD 是BAC 的平分线，E、F 分别为 AB、AC 上的点，且 EDF+EAF=180，求证 DE=DF考点： 全等三角形的判定与性质；角平分线的定义1418944分析： 过 D 作 DMAB，于 M，DNAC 于 N，根据角平分线性质求出 DN=DM，根据四边形的内角和定
13、理和平角定义求出AED= CFD，根据全等三角形的判定 AAS 推出EMD FND 即可解答： 证明：过 D 作 DMAB，于 M，DNAC 于 N，即EMD=FND=90，AD 平分 BAC，DM AB，DNAC，DM=DN（角平分线性质） ，DME= DNF=90，EAF+EDF=180，MED+AFD=360180=180，8AFD+NFD=180，MED= NFD，在EMD 和FND 中，EMDFND，DE=DF5在ABC 中， ABC、 ACB 的平分线相交于点 O，过点 O 作 DEBC，分别交 AB、AC 于点 D、E请说明DE=BD+EC考点： 等腰三角形的判定与性质；平行线的
14、性质1418944分析： 根据 OB 和 OC 分别平分ABC 和ACB，和 DEBC，利用两直线平行，内错角相等和等量代换，求证出 DB=DO，OE=EC 然后即可得出答案解答： 解： 在 ABC 中，OB 和 OC 分别平分ABC 和ACB，DBO=OBC， ECO=OCB，DEBC，DOB= OBC=DBO，EOC=OCB=ECO，DB=DO，OE=EC，DE=DO+OE，DE=BD+EC6已知：如图，D 是ABC 的 BC 边上的中点，DEAB，DFAC，垂足分别为 E，F，且 DE=DF请判断ABC 是什么三角形？并说明理由考点： 等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质141894
15、4分析： 用（HL）证明EBDFCD，从而得出EBD= FCD，即可证明ABC 是等腰三角形解答： ABC 是等腰三角形证明：连接 AD，DEAB ， DFAC，BED=CFD=90，且 DE=DF，D 是ABC 的 BC 边上的中点，BD=DC，RtEBDRtFCD（HL ） ，EBD= FCD，ABC 是等腰三角形97如图，ABC 是等边三角形，BD 是 AC 边上的高，延长 BC 至 E，使 CE=CD连接 DE（1）E 等于多少度？（2）DBE 是什么三角形？为什么？考点： 等边三角形的性质；等腰三角形的判定1418944分析： （1）由题意可推出ACB=60， E=CDE，然后根据三
16、角形外角的性质可知：ACB=E+CDE，即可推出 E 的度数；（2）根据等边三角形的性质可知，BD 不但为 AC 边上的高，也是ABC 的角平分线，即得：DBC=30，然后再结合（ 1）中求得的结论，即可推出 DBE 是等腰三角形解答： 解：（1）ABC 是等边三角形，ACB=60，CD=CE，E=CDE，ACB=E+CDE， ，（2）ABC 是等边三角形，BDAC，ABC=60， ，E=30， DBC=E， DBE 是等腰三角形8如图，在ABC 中， ACB=90，CD 是 AB 边上的高，A=30 求证：AB=4BD 考点： 含 30 度角的直角三角形1418944分析： 由ABC 中，A
17、CB=90，A=30 可以推出 AB=2BC，同理可得 BC=2BD，则结论即可证明解答： 解：ACB=90，A=30，AB=2BC， B=60又 CDAB，DCB=30， BC=2BDAB=2BC=4BD9如图，ABC 中，AB=AC ，点 D、E 分别在 AB、AC 的延长线上，且 BD=CE，DE 与 BC 相交于点 F求证：DF=EF考点： 全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质1418944分析： 过 D 点作 DGAE 交 BC 于 G 点，由平行线的性质得1= 2，4=3，再根据等腰三角形的性质可得B= 2，则 B=1，于是有 DB=DG，根据全等三角形的判定易得 DFGEFC
18、，即可得到结论解答： 证明：过 D 点作 DGAE 交 BC 于 G 点，如图，1=2，4=3，10AB=AC，B= 2，B=1，DB=DG，而 BD=CE，DG=CE，在DFG 和EFC 中，DFG EFC，DF=EF10已知等腰直角三角形 ABC，BC 是斜边B 的角平分线交 AC 于 D，过 C 作 CE 与 BD 垂直且交 BD 延长线于 E，求证：BD=2CE考点： 全等三角形的判定与性质1418944分析： 延长 CE，BA 交于一点 F，由已知条件可证得 BFE 全 BEC，所以 FE=EC，即 CF=2CE，再通过证明ADBFAC 可得 FC=BD，所以 BD=2CE解答： 证
19、明：如图，分别延长 CE， BA 交于一点 FBEEC，FEB=CEB=90， BE 平分ABC ， FBE=CBE，又 BE=BE，BFEBCE （ASA） FE=CE CF=2CEAB=AC，BAC=90， ABD+ADB=90，ADB=EDC，ABD+EDC=90又DEC=90， EDC+ECD=90，FCA= DBC=ABDADBAFCFC=DB，BD=2EC11 （2012牡丹江）如图 ，ABC 中AB=AC，P 为底边 BC 上一点，PEAB，PFAC，CHAB，垂足分别为 E、F 、H易证 PE+PF=CH证明过程如下：如图，连接 APPEAB，PFAC，CH AB，S ABP= ABPE，S ACP= ACPF，S ABC= ABCH又 SABP+SACP=SABC， ABPE+ ACPF= ABCH
