1、1991年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(每小题 3分,满分 15分.把答案填在题中横线上.)(1) 设 ,则 .ln(1)xydy(2) 曲线 的上凸区间是.2e(3) .21lx(4) 质点以速度 米每秒作直线运动,则从时刻 秒到 秒内质点所经2sin()t 12tt过的路程等于米.(5) .10limxxe二、选择题(每小题 3分,满分 15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 若曲线 和 在点 处相切,其中 是常数,则 ( )2yxab31yx(1)ab(A) (B) 0,3a(C) (D) 31,1(2) 设函数
2、 记 ,则 ( )2,()xf0()(),2xFftdx(A) (B) 32 , 01()1,xFx 32 , 01()7,6xx(C) (D) 322 , 01(),xx 32 , 01(),xFx(3) 设函数 在 内有定义, 是函数 的极大点,则 ( )()f)0x()f(A) 必是 的驻点 (B) 必是 的极小点0x 0xfx(C) 必是 的极小点 (D) 对一切 都有0x()f x0()fx(4) 曲线 ( )21xey(A) 没有渐近线 (B) 仅有水平渐近线(C) 仅有铅直渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线(5) 如图, 轴上有一线密度为常数 ,长度为 的细杆,有一质量
3、为 的质点到杆右端的距xlm离为 ,已知引力系数为 ,则质点和细杆之间引力的大小为 ( )ak(A) (B) 02()lkmdxa 20()lkdxa(C) (D) 022()lx220()lmx三、(每小题 5分,满分 25分.)(1) 设 ,求 .cosinxty2dyx(2) 计算 .41()(3) 求 .20sinlim()xxe(4) 求 .id(5) 求微分方程 满足 的特解.xye(1)y四、(本题满分 9分)利用导数证明：当 时,有不等式 成立.xln()1x五、(本题满分 9分)求微分方程 的通解.cosyx六、(本题满分 9分)曲线 和 轴围成一平面图形,求此平面图形绕 轴
4、旋转一周所成的旋(12yxx yOl转体的体积.七、(本题满分 9分)如图, 和 分别是曲线 和 上的点, 和 均垂直 轴,且ADxye2xABDCx, ,求点 和 的横坐标,使梯形 的面积最大.:2:1BCBC八、(本题满分 9分)设函数 在 内满足 ,且 ,(fx,)()sinfxx(),0)fx计算 .3)d xBOC1xye2xyeDA1991年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(每小题 3分,满分 15分.把答案填在题中横线上.)(1)【答案】 ln1xd【解析】由复合函数求导法则,即 的微分为 ,有()yfx()dyfxd.ln33ln1xx(2)【答案】 1(,)
5、2【解析】求函数 的凹凸区间,只需求出 ,若 ,则函数图形为上凹,若(yfxy0,则函数图形为上凸,由题可知0y2 2(),xxyee.2221()4()xe因为 ,所以当 时 ,函数图像上凸,即 时, 240xe210xy 22,x函数图像上凸.故曲线上凸区间为 .1(,)2(3)【答案】 1【解析】用极限法求广义积分.22111lnlnimlin()bbxxddxd1llibb分 部.1lnln1i im()bb bx(4)【答案】 12【解析】这是定积分的应用.设在 时刻的速度为 ,则在 时间内的路程为 ,所以tdt2sin()tdt 2sin()dtt从时刻 秒到 秒内质点所经过的路程
6、为12tt21sin()tdt22/ /1sin()t td.2/ 1cos()co(0)2t(5)【答案】 1【解析】这是一个 型未定式,分子分母同乘以 ,得1xe.1100limlixxxe为简化计算,令 ,则 ,原式可化为1tt.1010lilitxtxee二、选择题(每小题 3分,满分 15分.)(1)【答案】(D)【解析】两函数在某点处相切,则在该点处的切线的斜率相等,即在该点处的导数相等,对两函数分别对 求导,得x,则该曲线在点 处的导数为 ,2ya(1,)12xya,即 ,则曲线在点 处的导数为32xy32yx(,),321()1x两导数相等,有 ,即 .2a又因为曲线 过点 ,
7、所以有 .yxb() ,1abb所以选项(D)正确.(2)【答案】(B)【解析】这是分段函数求定积分.当 时, ,所以 .01x2()fx2330001()()xxxFftdtt当 时, , 所以2f12001()()()xxFftdttd32201 1)()3xtt x.276x所以 ,应选(B).32,01()7,6xFx(3)【答案】(B)【解析】方法一：用排除法.由于不可导点也可取极值,如 ,在 处取极大值,但是 不是()1fx0x01x的驻点,所以(A)不正确；()1fx注意到极值的局部性,即极值不是最值,所以(D)也不正确；对于 ,在 处取极大值,但 并非是 的极小()|fx010
8、1x()|1|fx值点,所以(C)也不成立；故选(B).方法二：证明(B)是正确的,因为 ,不妨设 ,则 为极大值,则在 的某个000()f0领域内有 ；00()fxfx函数 与函数 关于原点对称,所以必有 ,即y(yf00()()fxfx在 的某个领域内 为极小值,故(B)是正确的.0x0)x(4)【答案】(D)【解析】函数的定义域为 ,所以函数的间断点为 ,0x,所以 为铅直渐近线,220011limlilimxxxxey,所以 为水平渐近线.22lilili11xxxxe1y所以选(D).【相关知识点】铅直渐近线：如函数 在其间断点 处有 ,则()yfx0x0lim()xf是函数的一条铅
9、直渐近线；0x水平渐近线：当 ,则 为函数的水平渐近线.lim(),xfa为 常 数 ） ya(5)【答案】(A)【解析】如图建立坐标系,则 中, 长度的细杆的质量为 ,与质点的距xdxdx离为 ,故两点间的引力为 ,积分得 ,故选(A).ax2()kmFa02()lkmFa同理应用微元法可知,若以 的中点为原点,则质点的坐标为 ,故l ；22()lkFdxa若以 的左端点为原点,则质点的坐标为 ,故 .l (0)l 20()lkmFdxa故(B)、(C)、(D)均不正确,应选(A).三、(每小题 5分,满分 25分.)(1)【解析】这是个函数的参数方程,/sincoidyttx21s1()(
10、)cincosindttxt tt2(2cosin)(osi)(i)(sico)1cs sinttttt 223(i)(i)iniottttt.23(cosin)t【相关知识点】参数方程所确定函数的微分法：如果 ,则 .()xty()dytx(2)【解析】用换元法求定积分.令 ,则 ,则tx2,tt422111()()()dxtddttt.2114ln(ln)2l33t(3)【解析】利用等价无穷小和洛必达法则.当 时,有 ,所以0xsin,xe:.2223200000sinii1cos 1limlilmllim(1) 336xxxxxxe洛(4)【解析】用分部积分法求不定积分. 2cssin(
11、cs)2ddd 211o(in2)4xxx2sinsi4.c28xxC(5)【解析】所给方程是一阶线性方程,其标准形式为 .通解为1xye11()()dxdxxyed.1()xx xCeCeC代入初始条件 得 ,所以特解为 .(1)y1xy【相关知识点】一阶线性非齐次微分方程 的通解为()pq,其中 为常数.()()pxdxdyeqeC四、(本题满分 9分)【解析】首先应简化不等式,从中发现规律.当 时,原不等式即 ,即 .1x(1)lnlxx(1)lnl0xx证法一：令 ,则只需证明在 时 即可,()lf()f可利用函数的单调性证明,对于 有()fx.1ln1lln()x因 ,故 ,即 ,所
12、以在 上 是严格递增函数,所以1x()0fx(1,)(fx,2ln0f故 ,所以当 时,有不等式 成立.()lnlxxx(1)lx证法二：当 时,原不等式即 ,不等式左右两端形式一致,故令1(1)lx,则 ,所以 在 时严格单调递增,()lfx()ln0fxx()lnf1故 ，即 .()ln所以当 时,有不等式 成立.1xl1x五、(本题满分 9分)【解析】微分方程 对应的齐次方程 的特征方程为 ,cosy0y210r特征根为 ,故对应齐次通解为 .1,2ri12sinCx方程 必有特解为 ,代入方程可得 .yxYab1,ab方程 的右端 , 为特征根,必有特解coscosxexi,代入方程可
13、得 .2inYxAB 02AB由叠加原理,原方程必有特解 .12sinYx所以原方程的通解为 .1cosinyCx【相关知识点】关于微分方程特解的求法:如果 ,则二阶常系数非齐次线性微分方程()xmfxPe具有形如 的特解,其中 与 同次()ypqyf*()kxmyQe()mQxP次)的多项式,而 按 不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次k取为 、 或 .012如果 ,则二阶常系数非齐次线性微分方程()()cos()sinxlfePxx的特解可设为ypqyf,*(1)(2)cossinkxmmeRxx 其中 与 是 次多项式, ,而 按 (或 )不是特征(1)mRx(2)
14、alki方程的根、或是特征方程的单根依次取为 或 .01六、(本题满分 9分)【解析】利用定积分求旋转体的体积,用微元法,曲线为一抛物线,与 轴的交点是x1,x,顶点坐标为 .2x31(,)24方法一：考虑对 积分,如图中阴影部分绕 轴旋转一周,xy环柱体的体积为 22 2()dVyxdx其中 为 的高阶无穷小,故可省略,且 为负的,2x0y故 ,即 .y2(1)2dxyxx把 从 积分得12 231 1()()Vdd.23410)4x方法二：考虑对 的积分,如图中阴影部分绕 轴旋转一周的体积为抛物线两半曲线分别yy绕 轴旋转一周后的体积差,即y221dVxdy其中, 为 与抛物线的交点,且 ,12,Y21x把 代入抛物线方程 ,解得y()y,123434,yxx故旋转体体积为 .把 的值代入化简,得0114()Vd12x.030 21 14 433()42yy七、(本题满分 9分)【解析】可以利用函数的极值求解.设 、 的横坐标分别为 ,因为 ,所以 .依题设BC1x|1AB10,x,所以有 ,两边同时取自然对数,得:2:1AD2eln2,x
