1、 1 / 102018 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答案卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合 ， ，则|10Ax 12B， ， ABA B C D0 ， 012， ，2 iA B C D33i3i3i3中国古建筑借助榫卯将木构
2、件连接起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是棒头若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是4若 ，则1sin3cos2A B C D897979895 的展开式中 的系数为52x4xA10 B20 C40 D806直线 分别与 轴， 轴交于 ， 两点，点 在圆 上，则 面积20xyxyABP2xyABP的取值范围是A B C D， 48， 23， 3，7函数 的图像大致为42yx2 / 108某群体中的每位成品使用移动支付的概率都为 ，各成员的支付方式相互独立，设 为该群体的pX10 位成员中使用移动支付的人数， ，
3、 ，则2.4DX6PXpA07 B06 C04 D039 的内角 的对边分别为 ， ， ，若 的面积为 ，则BCAC， ， abcAB224abcCA B C D234610设 是同一个半径为 4 的球的球面上四点， 为等边三角形且其面积为 ，则D， ， ， C93三棱锥 体积的最大值为CA B C D 12318324354311设 是双曲线 （ ）的左，右焦点， 是坐标原点过 作 的一F，2xyab： 0ab， O2FC条渐近线的垂线，垂足为 若 ，则 的离心率为P16FOPA B2 C D 5 3212设 ， ，则0.2log3alog0.3bA B 0abC D二、填空题：本题共 4
4、小题，每小题 5 分，共 20 分。13已知向量 ， ， 若 ，则 _=1,2a,b=1,c2c+14曲线 在点 处的切线的斜率为 ，则 _xye0， a15函数 在 的零点个数为_cos36f，16已知点 和抛物线 ，过 的焦点且斜率为 的直线与 交于 ， 两点若1M， 24Cyx： kCAB，则 _90AB k三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 为选考题。考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17 （12 分）3 / 10等比数列 中， na1534a，（1）求 的通项公式；（2）记 为
5、 的前 项和若 ，求 nSan63mS18 （12 分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式为比较两种生产方式的效率，选取 40 名工人，将他们随机分成两组，每组 20 人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min ）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求 40 名工人完成生产任务所需时间的中位数 ，并将完成生产任务所需时间超过 和不mm超过 的工人数填入下面的列联表：m超过 不超过第一种生产方式第二种生产方式（3）根据（2）中的列表，能否有 99%
6、的把握认为两种生产方式的效率有差异？附： ， 2nadbcKd20.51.0384682PKk19 （12 分）如图，边长为 2 的正方形 所在平面与半圆弧 所在平面ABCDACD垂直， 是 上异于 ， 的点MACD（1）证明：平面 平面 ； M（2）当三棱锥 体积最大时，求面 与面 所BABMCD成二面角的正弦值20 （12 分）已知斜率为 的直线 与椭圆 交于 ， 两点线段 的中点kl214xyC： ABAB4 / 10为 10Mm，（1）证明： ；12k（2）设 为 的右焦点， 为 上一点，且 证明： ， ， 成等FCPC0FPABFAPB差数列，并求该数列的公差21 （12 分）已知函
7、数 2ln1fxaxx（1）若 ，证明：当 时， ；当 时， ；0a00fx0fx（2）若 是 的极大值点，求 xf a（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 44：坐标系与参数方程 （10 分）在平面直角坐标系 中， 的参数方程为 （ 为参数） ，过点 且倾斜角xOy cosinxy， 02，为 的直线 与 交于 两点l AB，（1）求 的 取值 范围；（2）求 中点 的轨迹的参数方程P23选修 45：不等式选讲 （10 分）设函数 21fxx（1）画出 的图像；yf（2）当 ， ，求 的最小0x ， fxab值绝密启用
8、前2018 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案一、选择题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 125 / 10C D A B C A D B C B C B二、填空题13 1214 315 16217解：（1）设 na的公比为 q，由题设得 1naq由已知得 42，解得 0（舍去） ， 2或 故 1()nn或 1n（2）若 12nna，则 ()3nnS由 63mS得 (2)18m，此方程没有正整数解若 1n，则 n由 m得 24，解得 综上， 6m18解：（1）第二种生产方式的效率更高理由如下：（i）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有 75%的工人完成生产任务
9、所需时间至少 80分钟，用第二种生产方式的工人中，有 75%的工人完成生产任务所需时间至多 79 分钟因此第二种生产方式的效率更高（ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为 855 分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为 735 分钟因此第二种生产方式的效率更高（iii ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于 80 分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于 80 分钟，因此第二种生产方式的效率更高（iv）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎 8 上的最多，关于茎 8 大致
10、呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎 7 上的最多，关于茎 7 大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高以上给出了 4 种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分6 / 10（2）由茎叶图知 798102m列联表如下：超过 m不超过 m第一种生产方式 15 5第二种生产方式 5 15（3）由于2240(15)106.3K，所以有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异19解：（1）由题设知，平面 CMD
11、平面 ABCD，交线为 CD因为 BCCD，BC 平面 ABCD，所以BC平面 CMD，故 BCDM因为 M 为 ACD上异于 C，D 的点，且 DC 为直径，所以 DMCM又 BCCM=C，所以 DM平面 BMC而 DM平面 AMD，故平面 AMD平面 BMC（2）以 D 为坐标原点， A的方向为 x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz当三棱锥 MABC 体积最大时，M 为 ACD的中点由题设得 (0,)(2,0)(,)(0,2)(,1)DBM，,1,A设 ()xyzn是平面 MAB 的法向量 ，则0,.MAB即 20,.xyz可取 (1,)n7 / 10DA是平面 MCD 的
12、法向量，因此 5cos,|An，2in,5，所以面 MAB 与面 MCD 所成二面角的正弦值是 2520解：（1）设 12(,)(,)AyxB，则221,143yxy两式相减，并由 12k得 1122043yxk由题设知 1212,xym，于是 k由题设得 302，故 k（2）由题意得 (1,)F，设 3(,)Pxy，则 12,)(1,)(0,xy由（1）及题设得 3321()yxxm又点 P 在 C 上，所以 4m，从而 (,)P， 3|2F于是 22211111|()()3()4xFAxxy同理 2|B所以 12|4()3x故 2|FPA，即 |,|FAPB成等差数列8 / 10设该数列的
13、公差为 d，则 1 122122|()4FBAxxx将 34m代入得 1k所以 l 的方程为 74yx，代入 C 的方程，并整理得 2704x故 1212,8x，代入解得 31|8d所以该数列的公差为 3或 221解：（1）当 0a时， ()2)ln(12fxx， ()ln1)xfx设 函数 ()lgf，则 2()g当 10x时， ()0x；当 时， )0x故当 1x时， ()0gx，且仅当 时， ()g，从而 f，且仅当 时， ()f所以 fx在 ,单调递增 又 (0)，故当 10x时， ()0fx；当 时， ()0fx（2） （i）若 a，由（1）知，当 时， ()2ln12(0)f f，
14、这与x是 ()f的极大值点矛盾（ii）若 0，设函数 22()()ln(1)fxxhaa由于当 1|min,|xa时， 0，故 h与 ()f符号相同又 (0)hf，故 0x是 ()f的极大值点当且仅当 0x是 h的极大值点22221(1(461)1)axax如果 60a，则当 64x，且 |min,|时， ()0hx，故 不是9 / 10()hx的极大值点如果 610a，则 24610xa存在根 1x，故当 1(,0)x，且|min,|x时， ()h，所以 x不是 ()h的极大值点如果 610a，则322(4()16)x则当 (1,0)x时， ()0hx；当(,)x时， ()h所以 0是 (h
15、x的极大值点，从而 是 f的极大值点综上， 6a22解：（1） OA的直角坐标方程为21xy当 2时， l与 交于两点当时，记 tank，则 l的方程为 2ykx l与 OA交于两点当且仅当2|1k，解得 1或 ，即(,)4或(,)4综上， 的取值范围是(,)4（2） l的参数方程为cos,(2inxtty为参数， 4)设 A， B， P对应的参数分别为 At， B， Pt，则 2ABt，且 At， B满足2sin10tt于是 2siABt， 2sinPt又点 P的坐标 (,)xy满足cos,2in.Pt所以点 P的轨迹的参数方程是i,cos2xy(为参数， 4)10 / 1023解：（1）13,2(),1.xfx()yfx的图像如图所示（2）由（1）知， ()yfx的图像与 y轴交点的纵坐标为 2，且各部分所在直线斜率的最大值为 3，故当且仅当 3a且 2b时， ()faxb在 0,)成立，因此 ab的最小值为 5
