1、圆锥曲线-双曲线主要知识点1、 双曲线的定义:(1) 定义：_(2) 数学符号：_(3) 应注意问题：2、 双曲线的标准方程：图像标准方程不同点相同点注意：如何根据双曲线的标准方程判断出它的焦点在哪个轴上？进一步，如何求出焦点坐标？3、双曲线的几何性质标准方程焦点 焦距范围顶点实轴虚轴对称性离心率性质渐近线注意：（1）如何比较标准地在直角坐标系中画出双曲线的图像？（2）双曲线的离心率的取值范围是什么？离心率有什么作用？（3）当 ，双曲线有什么特点？时ba4双曲线的方程的求法（1 ）双曲线的方程与双曲线渐近线的关系已知双曲线段的标准方程是 （或 ） ，21xyab(0,)b21(0,)xyab则
2、渐近线方程为_；已知渐近线方程为 ，则双曲线的方程可表示为0bxy_。（2 ）待定系数法求双曲线的方程与双曲线 有共同渐近线的双曲线的方程可表示为21xyab_；若双曲线的渐近线方程是 ，则双曲线的方程可表示为byxa_；与双曲线 共焦点的双曲线方程可表示为21xab_；过两个已知点的双曲线的标准方程可表示为_；与椭圆 有共同焦点的双曲线的方程可表示为21xyab(0)_。5双曲线离心率的有关问题（1 ） ， ，它决定双曲线的开口大小， 越大，开口越大。cea1e（2 ）等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率 。2（3 ）双曲线离心率及其范围的求法。双曲线离心率的求解，一般可采用定义法、直接法等
3、方法求解。双曲线离心率范围的求解，一般可以从以下几个方面考虑： 与已知范围联系，通过a求值域或解不等式来完成； 通过判别式 ； 利用点在曲线内部形成的不等式关系；bc利用解析式的结构特点。d6、直线与双曲线的位置关系的判定及相关计算（1 ）直线与双曲线的位置关系有：_、_ 、_注意:如何来判断位置关系？（2 ）若斜率为 k 的直线被双曲线所截得的弦为 AB， A、B 两点分别为 A(x1，y 1)、B(x 2,y2)，则相交弦长 _AB二、典型例题：考点一：双曲线的定义例 1 已知动圆 M 与圆 C1：(x+4) 2+y2=2 外切，与圆 C2：(x-4) 2+y2=2 内切，求动圆圆心 M
4、的轨迹方程.变式训练：由双曲线 =1 上的一点 P 与左、右两焦点 F1、F 2构492yx成PF 1F2，求PF 1F2的内切圆与边 F1F2的切点坐标.巩固训练：(1). F1、F 2 是双曲线 =1 的焦点，点 P 在双曲线上.若点 P 到焦点 F1 的162x0y距离等于 9，求点 P 到焦点 F2 的距离.(2).过双曲线 x2-y2=8 的左焦点 F1有一条弦 PQ 在左支上，若|PQ|=7，F 2是双曲线的右焦点，则PF 2Q 的周长是 .(3).一动圆与两定圆 和 都外切，则动圆圆心轨迹为01282xyA.椭圆 B. 双曲线 C.双曲线的一支 D.抛物线考点二：双曲线的方程例
5、2 根据下列条件，求双曲线的标准方程.（1）与双曲线 =1 有共同的渐近线，且过点（-3，2 ） ；1692yx 3（2）与双曲线 =1 有公共焦点，且过点（3 ，2）.42yx变式训练：已知双曲线的渐近线的方程为 2x3y=0,（1）若双曲线经过 P（ ，2） ，求双曲线方程；6（2）若双曲线的焦距是 2 ，求双曲线方程；13（3）若双曲线顶点间的距离是 6，求双曲线方程.巩固训练：(1)求与椭圆 共焦点且过点 的双曲线的方程； 215xy(32,)(2)中心在原点，一个顶点的坐标为 ,且焦距与虚轴长之比为 ，求双曲线的标准方(30)5:4程；(3)已知双曲线的离心率 ，经过点 ，求双曲线的
6、方程；2e(5,3)M(4)与双曲线 有共同渐近线，且过点 的双曲线方程;142yx )2,(5)已知双曲线 (a0,b0)的两条渐近线方程为 ，若顶点到渐近线的2y xy3距离为 1，则双曲线方程为_.(6).已知方程 表示双曲线，则 的取值范围是_.221xymm(7).经过两点 的双曲线的标准方程为_.)3,7(),6,7(BA考点三：双曲线的几何性质例 3 双曲线 C： =1 (a0,b0)的右顶点为 A，x 轴上有一点 Q（2a，0） ，若 C 上2byax存在一点 P，使 =0，求此双曲线离心率的取值范围 .AQ变式训练：已知双曲线的中心在原点，焦点 F1、F 2在坐标轴上，离心率
7、为 ,且过点2P（4，- ）.（1）求双曲线方程；（2）若点 M（3，m）在双曲线上，求证： 0 1MF=0；（3）求F 1MF2的面积.2M巩固训练：（1）已知双曲线 (a0,b0)的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为 6012yx的直线与双曲线的一条渐近线平行，则此双曲线的离心率是：A.1 B. 2 C.3 D.4(2)已 知 双 曲 线 的 两 条 渐 近 线 的 夹 角 为 ， 则 双 曲 线 的 离 心 率 为 :1()xya3A.2 B. C. D.3263 233(3)设双曲线的 个焦点为 F；虚轴的个端点为 B，如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率
8、为_.(4)双 曲 线 的 一 个 焦 点 为 F(4， 0)， 过 双 曲 线 的 右 顶 点 作 垂 直 于 x 轴 的21(0,)xyab垂 线 交 双 曲 线 的 渐 近 线 于 A， B 两 点 ， O 为 为 坐 标 原 点 ， 则 AOB 面 积 的 最 大 值 为 :A. 8 B. 16 C. 20 D. 24考点四：双曲线的离心率例 1、已知 F1、 F2 分别是双曲线 的左、右焦点，过 F1 作垂直于21(0,)xyabX 轴的直线与双曲线交于 A、B 两点，若AF 2B 是直角三角形，求双曲线的离心率。变式训练：1、若AF 2B 是等边三角形，则双曲线的离心率为_。2、若
9、AF 2B 是锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围为_。3、若AF 2B 是钝角三角形，则双曲线的离心率的取值范围为_。巩固训练：1、已知 F1、F 2 分别是双曲线 的左、右焦点，过 F2 作倾斜角为21(0,)xyab的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，求双曲线的离心率的取值范围。602、已知 F1、F 2 分别是双曲线 的左、右焦点，过 F2 作垂直于渐21(0,)xyab近线的直线与双曲线的两支都相交，求双曲线的离心率的取值范围。3、直线 与双曲线 没有公共点，则 的取值范围为_,有两个公1kxy42yxk共点，则 的取值范围为 _,有一个公共点，则 的取值范围为 _,与左支有两个
10、公共点，则 的取值范围为 _。考点五：双曲线中的焦点三角形例、设 F1 和 F2 为双曲线 的两个焦点，P 是双曲线上一点，已知F 1PF2=600 求2xy169F 1PF2 的面积变式训练：设 F1 和 F2 为双曲线 的两个焦点， P 是双曲线上一点，2xy169已知PF 1PF 2=32,求F 1PF2 的余弦值与三角形 F1PF2 面积巩固训练：1. 双曲线 左焦点 的弦 长为 6，则 （ 为右焦点）的周长是2169xy1FAB2ABF_2、已知定点 ，且 ，动点 满足 ，则 的最小值是 AB， 6P4P3、 设 F1 和 F2 为双曲线 的两个焦点，P 为双曲线上一点，若F 1PF
11、2=900, 则三2xy14角形 F1PF2 面积是 4、设 F1 和 F2 为双曲线 的两个焦点，P 是双曲线上一点，已知F 1PF2=600 则 P2xy169点到 F1 和 F2 两点的距离之和为_5、已知双曲线 C （a0,b0 ）的两个焦点为 F1(-2,0) ,F2(2,0),点 P（3， ）2ab 7在双曲线 C 上（1）求双曲线 C 的方程（2 ）记 O 在坐标原点，过 Q（0，2）的直线 L 与双曲线 C 相交于不同的两点 E,F，若OEF 的面积 2 ，求直线 L 的方程考点六：直线和双曲线的位置关系例 4. 已知曲线 的离心率 ，直线 l 过 A(a，0)、B21(0,)
12、xyab23e两点，原点 O 到 l 的距离是 。(1) 求双曲线的方程；(2)过点 B 作直线 m 交双曲(0,)b32线于 M、N 两点，若 ，求直线 m 的方程。N变式训练：直线 的右支交于不同的两点12:1: 2yxCkxyl与 双 曲 线A、B.（）求实数 k 的取值范围；（）是否存在实数 k，使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F？若存在，求出 k 的值；若不存在，说明理由.巩固训练：1、已知双曲线 2xy的左、右两个焦点为 1F, 2，动点 P 满足|PF|+| P 2 |=4.求动点 P 的轨迹 E 的方程；设过 2且不垂直于坐标轴的动直线 l交轨迹 E 于 A、B 两点，问：终段 O 2F上是否存在一点 D，使得以 DA、DB 为邻边的平行四边形为菱形?作出判断并证明.2、已知双曲线 C： - =1（0 1）的右焦点为 B，过点 B 作直线交双曲线 C 的右12xy支于 M、N 两点，试确定 的范围，使 =0，其中点 O 为坐标原点.OMN3、已知中心在原点的双曲线 C 的一个焦点是 F1(-3,0),一条渐近线的方程是 x-2y=0.5(1)求双曲线 C 的方程;(2)若以 k(k0)为斜率的直线 l 与双曲线 C 相交于两个不同的点 M,N 且线段 MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为 ,求 k 的取值范围.281
