1、1基本初等函数知识点1.指数(1)n 次方根的定义：若 ，则称 x 为 a 的 n 次方根， “ ”是方根的记号。xn在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0 的奇次方根是 0；正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数，0 的偶次方根是 0，负数没有偶次方根。(2)方根的性质： na当 是奇数时， ；当 是偶数时，ann)0(|aan(3)分数指数幂的意义：，)1,0(*Nmanm )1,1* nNmanmn(4)实数指数幂的运算性质：(1)_(,)rs rsR (2_(0,)rsarsR30aa4bb2.对数(1)对数的定义：一般地，如果 ，那么数 叫做以 为底
2、 的对数，记作：Nx)1,(xaN（ 底数， 真数， 对数式）xalogalog常用对数：以 10 为底的对数_；自然对数：以无理数 为底的对数_782.e(2)指数式与对数式的关系：（ ，且 ， ）_xaN0a10N(3)对数的运算性质：如果 ，且 ， ， ，那么：01M _；a(log) _；N _ lna )(Rn注意：换底公式（ ，且 ； ，且 ； ） bcalogl 0a10c10b(4)几个小结论： ； ；l_nalog_naM ；ognmblb2(5)对数的性质：负数没有对数； .log1_;log_aa3.指数函数及其性质(1)指数函数的概念：一般地，函数 叫做指数函数，其中
3、x 是自变量，函数的定义域为),0(yx且R(2)指数函数的图像和性质a1 00 时，y1当 x0 时，014.对数函数(1)对数函数的概念：函数 ，且 叫做对数函数，其中 是自变量，函数的定义域是0(logay)1（0，+） (2)对数函数的图像和性质：a1 01 时，y0当 01 时，y 05.幂函数(1)幂函数定义：一般地，形如 的函数称为幂函数，其中 为常数()R(2)幂函数性质归纳：所有的幂函数在（0，+）都有定义，并且图像都过点（1，1） ，不过第四象限； 时，幂函数的图像通过原点，并且在区间 上是增函数；(0,) 时，幂函数的图像在区间 上是减函数与 x 轴、y 轴没有交点；),
4、0(3当 为奇数时， 为奇函数；当 为偶数时， 为偶函数。xyxy习题1. （ ）36aA. B. C. D.aaa2.若函数 （ ，且 ）的图像经过二、三、四象限，则一定有（ 1xyb01）A. 且 B. 且 C. 且 D. 且0aab01a0b1a0b3.函数 的图像是（ ）2()logfxA B C D4.下列所给出的函数中，是幂函数的是（ ）A. B. C. D.3yx3yx32yx31yx5.在 R 上是增函数的幂函数为（ ）A. B. C. D.1221326.化简 的结果是_.1423(0,)abb7.方程 的解 x =_.lg(3)x8. ，则 .3128y1_y9.若 ， ，
5、则 _.0x420xy10.已知函数 ，若 ，则 .log,()xf1()2fa_11.用“ ”连结下列各式：.0.60.5.0.5.40432_;32_;8612.函数 是幂函数，且在 上是减函数，则 m=_.23()1)mfxx,xyx011yx011-1yx011yx011413.幂函数 的图像经过点 ，则 的值为_.()fx12,42f14.函数 的递增区间是_.21xy15.计算：；230.52077197481244839(log3l)(og2l)log316.设 a0， 是 R 上的偶函数.xeaf)(（1） 求 a 的值；（2） 证明： 在 上是增函数)(f,017.设函数 且
6、)(log)(2xbaxf12log)(,1ff（1） 求 a,b 的值；（2） 当 时，求 最大值,1)(f5指数函数、对数函数测试题答案一、1、A;2、D；3、D；4、A；5、A；6、C；7、B；8、C；9、D；10、C；11、D ；12、D；13、A。二、14、abc；15、a=0；16、x0;17、log1.1 log0.1 ；18、1/4。19、44；20、1.1.01.三、21、解：由题意得：x +3x-40 2X+50 x-|x|0 由得 x-4 或 x1，由得 x-5，由得 x0.所以函数 f(x)的定义域x| x-4, x-522、解：（1）f(x)= 12_)(+=xff(
7、-x)= = = =-2x1xxf(-x)=-f(x),即 f(x)是奇函数。（2）设 x x12则 f(x )= ,f(x )=11x212xf(x )-f(x )= - = 0121x2x )1(21xx所以，f(x)在定义域内是增函数。23 解：（1）函数 f(x)+g(x)= f(x)=loga +loga =loga)1(x)(x21x则 1-x 0，函数的定义域为x|-1x12(2) 函数 f(-x)+g(-x)= f(x)=loga =f(x)+g(x)21x6所以函数 f(x)+g(x)为偶函数。(3) f(x)+g(x) =loga 0，21x则 01-x 1,x 的集合为x
8、|-1x1224、解：方程 =3-2a 有负根， 1)3(x)31(3-2a1，即 a1A 的取值范围（-，1）25、解：（1）f(x)= （a0 且 a1）)1_(logxaa -10，即 a ax当 a1 时，x 的定义域（0，+）当 0a1 时，x 的定义域（-，0）（2）当 a1 时，y=a -1 是增函数，f(x)= 是单调增。)1_(logxa当 0a1 时，y=a -1 是减函数，f(x)= 是单调减x（3）f(x)= （a0 且 a1）)1_(loga f(2x)=loga ,)(2xf (x)=loga1)1(xa即 loga = loga)(2x)(xa -1=a +1，a
9、 -a -2=0，xa =-1，(无解) a =2，x=logax226、解:（1）设 x=a=0,f(x+a)=f(x)+f(a)f(0)=f(0)+f(0),即 f(0)=0(2)设 x=-af(x+a)=f(x)+f(a)f(0)=f(-a)+f(a),即 f(-a)=-f(a)f(x)为奇函数.27 略28、解：（1）由题意可知，用甲车离开 A 地时间 th 表示离开 A 地路程 Skm 的函数为：75t (0t2)150 (2t4)150+100t (4t5.5)S=（2）由题意可知，若两车在途中恰好相遇两次，那么第一次相遇应该在甲车到达中点 C 处停留的两个小时内的第 t 小时的时候发生，2ht4h,则 150/4U150/2,即 37.5km/hU75km.7而第二次相遇则是甲车到达中点 C 处停留两小时后，重新上路的第 t 小时赶上乙车的，4ht5.5h,则 150/4U300/5.5，即 37.5km/hU54.55km/h所以，综合以上情况，乙车行驶速度 U 的取值范围是：37.5km/hU54.55km/h。
