1、1圆锥曲线与方程-椭圆知识点一椭圆及其标准方程1椭圆的定义：平面内与两定点 F1，F 2距离的和等于常数 的点的轨迹叫做椭21Fa圆，即点集 M=P| |PF1|+|PF2|=2a，2a|F 1F2|=2c；这里两个定点 F1，F 2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距 2c。（ 时为线段 ， 无轨迹） 。21a21a2标准方程： 2cb焦点在 x轴上： （ab0） ； 焦点 F（c，0）12ya焦点在 y轴上： （ab0） ； 焦点 F（0, c） 2x注意：在两种标准方程中，总有 ab0，并且椭圆的焦点总在长轴上；两种标准方程可用一般形式表示： 或者 mx 2+ny2=1 21xymn
2、二椭圆的简单几何性质：1.范围（1）椭圆 （ ab0） 横坐标-axa ,纵坐标-bxb12yax（2）椭圆 （ ab0） 横坐标-bxb,纵坐标-axa22.对称性椭圆关于 x轴 y轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心3.顶点（1）椭圆的顶点：A 1（-a，0） ，A 2（a，0） ，B 1（0，-b） ，B 2（0，b）（2）线段 A1A2，B 1B2 分别叫做椭圆的长轴长等于 2a，短轴长等于 2b，a 和 b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。4离心率2（1）我们把椭圆的焦距与长轴长的比 ，即 称为椭圆的离心率，2ca记作 e（ ）
3、 ， 奎 屯王 新 敞新 疆 10221()be是圆；e越接近于 0 （e 越小） ，椭圆就越接近于圆;e越接近于 1 （e 越大） ，椭圆越扁；注意：离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。小结一：基本元素（1）基本量：a、b、c、e、 （共四个量） ， 特征三角形（2）基本点：顶点、焦点、中心（共七个点）（3）基本线：对称轴（共两条线）5椭圆的的内外部（1）点 在椭圆 的内部 .0(,)Pxy21(0)xyab201xyab（2）点 在椭圆 的外部 .0(,)2()206.几何性质 （1）点 P在椭圆上， 最大角 1212max,FPBF（2）最大距离，最小距离7.直线与椭
4、圆的位置关系（1）位置关系的判定：联立方程组求根的判别式；（2）弦长公式： （3）中点弦问题：韦达定理法、点差法3例题讲解：一.椭圆定义：方程 化简的结果是 1022yxyx2若 的两个顶点 ， 的周长为 ，则顶点 的轨迹方程是 ABC4,0,ABAC18C3.已知椭圆2169xy=1上的一点 P到椭圆一个焦点的距离为 3,则 P到另一焦 点 距 离 为 二利用标准方程确定参数1.若方程 + =1（1）表示圆，则实数 k的取值是 .25xk3y（2）表示焦点在 x轴上的椭圆，则实数 k的取值范围是 .（3）表示焦点在 y型上的椭圆，则实数 k的取值范围是 .（4）表示椭圆，则实数 k的取值范围
5、是 .2.椭圆 的长轴长等于 ，短轴长等于 , 顶点坐标是 ,焦2510x点的坐标是 ,焦距是 ，离心率等于 ,3椭圆 的焦距为 ，则 = 。24ym2m4椭圆 的一个焦点是 ，那么 。52kx),0(k三待定系数法求椭圆标准方程1若椭圆经过点 ， ，则该椭圆的标准方程为 。(4,0)(,3)2焦点在坐标轴上，且 ， 的椭圆的标准方程为 21a2c3焦点在 轴上， ， 椭圆的标准方程为x:b64. 已知三点 P（5，2） 、 （6，0） 、 （6，0） ，求以 、 为焦点且过点 P的椭圆的1F2F1F2标准方程；变式：求与椭圆 共焦点，且过点 的椭圆方程。2493xy(3,)四焦点三角形41椭
6、圆 的焦点为 、 ， 是椭圆过焦点 的弦，则 的周长是 。2195xy1F2AB1F2ABF2设 ， 为椭圆 的焦点， 为椭圆上的任一点，则 的周长是F240562yxP1P多少？ 的面积的最大值是多少？1P3设点 是椭圆 上的一点， 是焦点，若 是直角，则 的面积2156xy12,F12F12F为 。变式：已知椭圆 ，焦点为 、 ， 是椭圆上一点 若 ，14692yx1F2P6021PF求 的面积21FP五离心率的有关问题1.椭圆 142myx的离心率为 21，则 m 2.从椭圆短轴的一个端点看长轴两端点的视角为 ，则此椭圆的离心率 为 012e3椭圆的一焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形，
7、则椭圆的离心率为 4.设椭圆的两个焦点分别为 F1、 、 F2，过 F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若 F1PF2为等腰直角三角形，求椭圆的离心率。5.在 ABC 中， 3,|,30ABCS若以 AB， 为焦点的椭圆经过点 C，则该椭圆的离心率 e 六、最值问题：1、已知椭圆 ，A(1，0)，P 为椭圆上任意一点，求|PA|的最大值 最小值 214xy。2.椭圆 两焦点为 F1、F 2，点 P在椭圆上，则|PF 1|PF2|的最大值为_，2y5七、弦长、中点弦问题1、已知椭圆 及直 线142yxmx（1）当 为何值时，直线与椭圆有公共点？m（2）若直线被椭圆截得的弦长为 ，求直线的方程51
8、022已知椭圆 ，12yx(1)求过点（1,0）且被椭圆截得的弦长为 的弦所在直线的方程2（2）求过点 且被 平分的弦所在直线的方程；21，P同步测试1已知 F1(-8，0)，F 2(8，0)，动点 P满足|PF 1|+|PF2|=16，则点 P的轨迹为( )A 圆 B 椭圆 C 线段 D 直线2、椭圆 左右焦点为 F1、F 2，CD 为过 F1的弦，则 CDF1的周长为_269xy 3已知方程 表示椭圆，则 k的取值范围是( )21kA -10 C k0 D k1 或 kb0) 的左、右焦点 F1、F 2作两条互相垂直的直线 l1、l 2，它x2a2 y2b2们的交点在椭圆的内部，则椭圆的离
9、心率的取值范围是( )A(0,1) B. C. D.(0，22) ( 22，1) (0，222椭圆 1 的焦点为 F1、F 2，椭圆上的点 P 满足F 1PF260 ，则F 1PF2的x2100 y264面积是( )A. B. C. D.6433 9133 1633 6433已知椭圆 E 的短轴长为 6，焦点 F 到长轴的一个端点的距离等于 9，则椭圆 E 的离心率等于( )4 已知点 F，A 分别是椭圆 1(a b0)的左焦点、右顶点，B (0，b)满x2a2 y2b2足 0，则椭圆的离心率等于 ( ) FB AB A. B. C. D.3 12 5 12 3 12 5 125已知椭圆 1
10、的左右焦点分别为 F1、F 2，过 F2且倾角为 45的直线 l 交椭圆于x24 y22A、B 两点，以下结论中：ABF 1的周长为 8；原点到 l 的距离为 1；| AB| ；正确83结论的个数为( )A3 B2 C1 D06已知圆(x2) 2y 236 的圆心为 M，设 A 为圆上任一点，N(2,0)，线段 AN 的垂直平分线交 MA 于点 P，则动点 P 的轨迹是( )A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线87过椭圆 C： 1(ab0) 的一个顶点作圆 x2y 2b 2的两条切线，切点分别为x2a2 y2b2A，B，若AOB90(O 为坐标原点) ，则椭圆 C 的离心率为_8 若椭圆 1(ab0)与曲线 x2y 2a 2b 2无公共点，则椭圆的离心率 e 的取值范x2a2 y2b2围是_9已知ABC 顶点 A( 4,0)和 C(4,0)，顶点 B 在椭圆 1 上，则x225 y29 _.sinA sinCsinB10已知椭圆 C： 1(ab0) 的长轴长为 4.x2a2 y2b2(1)若以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线 yx 2 相切，求椭圆 C 的焦点坐标；.11椭圆 E 经过点 A(2,3)，对称轴为坐标轴，焦点 F1，F 2在 x 轴上，离心率 e . (1)12求椭圆 E 的方程；
