1、高考总复习含详解答案年 级 高二 学科 数学内容标题 定积分的计算编稿老师 马利军一、教学目标：1. 理解定积分的基本概念并能利用定积分的几何意义解决一些简单的积分计算问题.2. 理解微积分的基本定理，并会用定积分公式解决简单函数的定积分问题.二、知识要点分析1. 定积分的概念：函数 在区间a，b上的定积分表示为：)(xf badxf)(2. 定积分的几何意义：（1）当函数 f（x）在区间a，b上恒为正时，定积分 的几何意义是：baxf)(y=f（ x）与 x=a，x=b 及 x 轴围成的曲边梯形面积，在一般情形下. 的几何意义badf是介于 x 轴、函数 f（x）的图象、以及直线 x=a，x
2、=b 之间的各部分的面积代数和，在 x轴上方的面积取正号，x 轴下方的面积取负号.在图（1）中： ，在图（2）中： ，在图（3）中：0sdx)(fba 0sdx)(fba表示函数 y=f（x）图象及直线 x=a，x=b、x 轴围成的面积的代数和.dx)(fba注：函数 y=f（x）图象与 x 轴及直线 x=a，x=b 围成的面积不一定等于 ，仅badxf)(当在区间a ，b上 f（x）恒正时，其面积才等于 .badxf)(3. 定积分的性质， （设函数 f（x） ，g（x）在区间a，b 上可积）（1） baba )(d)()(gf（2） ， （k 为常数）fkdx（3） bcbacaxff )
3、()()(（4）若在区间a，b上， badf0)(,0则高考总复习含详解答案推论：（1）若在区间a，b上， babadxgxfxgf )()(),(则（2） badxfdxf|)(|)(|（3）若 f（x）是偶函数，则 ，若 f（x）是奇函数，则aadff0)(20)(af4. 微积分基本定理：一般地，若 )()(,)(,)( aFbdxfbaxffxFba上 可 积 ， 则在且注：（1）若 则 F（x）叫函数 f（x）在区间a，b上的一个原函数，根据导数定义知：F（x）+C 也是 f（x）的原函数，求定积分 的关键是求 f（x）baf)(的原函数，可以利用基本初等函数的求导公式和导数的四则运
4、算法则从反方向求 F（x）.（2）求导运算与求原函数的运算互为逆运算.【典型例题】知识点一：定积分的几何意义例 1根据 推断：求直线 x=0，x= ，y=0 和正弦曲线 y=sinx 所围成20sinxd2的曲边梯形面积下列结论正确的是（ ）A面积为 0B曲边梯形在 x 轴上方的面积大于在 x 轴下方的面积C曲边梯形在 x 轴上方的面积小于在 x 轴下方的面积D曲边梯形在 x 轴上方的面积等于在 x 轴下方的面积题意分析：本题考查定积分的几何意义，注意 与 y=sinx 及直线 x=a，x=b 和 xdx20sin轴围成的面积的区别.思路分析：作出函数 y=sinx 在区间0， 内的图象及积分
5、的几何意义及函数的对称性可判断.解：对于（A）：由于直线 x=0，x= ，y=0 和正弦曲线 y=sinx 所围成的曲边梯形面积为2正可判断 A 错.对于（B） ， （C）根据 y=sinx 在0， 内关于（ 对称知两个答案都是错误的.)0,根据函数 y=sinx 的图象及定积分的几何意义可知：答案（D）是正确的.解题后的思考：本题主要考查定积分的几何意义，体现了数与形结合的思想的应用，易错高考总复习含详解答案点是混淆函数 y=sinx 与 x 轴、直线 x=0，x= 围成的面积等于 .220)(dxf例 2利用定积分的几何意义，说明下列等式的合理性（1） 10xd（2） .24题意分析：本题
6、主要考查定积分的几何意义：在区间0，1 上函数 y=2x，及 y= 恒21x为正时，定积分 表示函数 y=2x 图象与 x=0，x=1 围成的图形的面积，10xd表示函数 y= 图象与 x=0，x=1 围成的图形的面积.1022思路分析：分别作出函数 y=2x 及 y= 的图象，求此图象与直线 x=0，x=1 围成的面21x积.解：（1）在同一坐标系中画出函数 y=2x 的图象及直线 x=0，x=1（如图） ，它们围成的图形是直角三角形.其面积 = .由于在区间0，1 内 f（x）恒为正，故S2.210xd（2）由 ，故函数 y （ 的图象如1,0122xyxy 21x1,0图所示，所以函数
7、y 与直线 x=0，x=1 围成的图形面积是圆 面积的2y四分之一，又 y 在区间0，1上恒为正. 2x1024dx解题后的思考：本题主要考查利用定积分的几何意义来验证函数 y=2x 及函数 y=在区间0，1上的定积分的值，体现了数与形结合的思想的应用，易错点是画2x函数图象的不准确造成错误的结果.高考总复习含详解答案例 3利用定积分的几何意义求 的值.40|)3|1(| dxx题意分析：本题考查定积分的几何意义， 的值是函数|的图象与直线 x=0，x=4 所围成图形的面积.|1|xy思路分析：首先把区间0，4分割为0，1 ， 1，3 ， 3，4 ，在每个区间上讨论x1，x3 的符号，把函数
8、化为分段函数，再根据定积分的几何意义|xy求 的值.0|)3|(| dx解：函数 化为|1|y4,3(,21,0,xy由于函数 在区间0，1 ， 1，3 ， 3，4都恒为正.4,3(,2,xy设函数 y=2x+4 的图象与直线 x=0，x=1 围成的面积为 S1函数 y=2 的图象与直线 x=1，x=3 围成的面积是 S2函数 y=2x4 的图象与直线 x=3，x=4 围成的面积是 S3由图知：S 1=S3= S2=,31)(24由定积分的几何意义知： =40|)|(| dxx10231解题后的思考：本题考查的知识点是定积分的几何意义，利用其几何意义求定积分的值，体现了等价转化的数学思想（把区
9、间0，4分割，把函数40|)3|1(| dxy=|x1|+|x3|化成分段函数） 、数与形结合的思想的应用.易错点是：区间0，4分割不当及画函数图象不准确，造成错误的结果.当被积函数含有绝对值时，常采用分割区间把函数化为分段函数的方法求定积分的值.小结：本题主要考查定积分的几何意义，要分清在区间a，b上 f（x）恒为正时，f（x）在区间a，b上定积分值才等于函数图象与直线 x=a，x=b 围成的面积.在画函数图象时注意 x 的取值区间.当被积函数含有绝对值时，恰当的分割区间把函数画为分段函数再求定积分的值.高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解一、选择题高考总复习含详解答案1(2010山东日照模考)a xdx，b exdx，c sinxdx，则 a、b、c 的大小关系是( )202020Aa0)与直线 x1 围成的封闭图形的面积为 ，43若直线 l 与抛物线相切且平行于直线 2xy60，则 l 的方程为_17(2010福建福州市)已知函数 f(x)x 3ax 2bx(a，bR)的图象如图所示，它与高考总复习含详解答案x 轴在原点处相切，且 x 轴与函数图象所围成区域(图中阴影部分 )的面积为 ，则 a 的值为112_三、解答题18如图所示，在区间0,1上给定曲线 yx 2，试在此区间内确定 t 的值，使图中阴影部分的面积 S1S 2 最小
