1、 1高二数列专题1 与 的关系： ，已知 求 ，应分 时 ； 时，nSa1()nnSnSa1a2n= 两步，最后考虑 是否满足后面的 .n 1an2.等差等比数列等差数列 等比数列定义 （ ）1nad2n *1()naqN通项 ，n)(1(),()nmadn ， 中项如果 成等差数列，那么 叫做 与 的等差中,AbAab项 。2等差中项的设法： 如果 成等比数列，那么 叫做 与,aGbGa的等比中项 等比中项的设法： ， ，qa前项n和，)(21nnaSdnaS2)1( 若*(,)mnpqNmpq，则 2若 ，则 qpnm2*2,(,)mpqanN若 则 有性质、 、 为等差数列nS2n32n
2、S、 、 为等比数列nS2n32nS函数看数列122()nadABs11(1)nnnaqAsq判定方法（1 ）定义法：证明 为一个常数；)(*1Nnan（2 ）等差中项：证明 ，*1(2)n（3 ）通项公式: 为常数)( )(,nakb*Nn（1）定义法：证明 为一个常数)(*1Nan（2）中项：证明 21*1(,)na（3）通项公式： 均是不为 0(,nacq23.数列通项公式求法。 （1）定义法（利用等差、等比数列的定义） ；（2）累加法（3 ）累乘法（ 型） ；(4)利用公式 ；(5)构造法（ 型）(6) nca 1()nnSa bkan1倒数法 等4.数列求和（1 ）公式法；（2）分组
3、求和法；（3）错位相减法；（4）裂项求和法；（5）倒序相加法。5. 的最值问题 ：在等差数列 中,有关 的最值问题常用邻项变号法求解： nSnanS(1)当 时，满足 的项数 m 使得 取最大值.0,1da01mS(2)当 时，满足 的项数 m 使得 取最小值。a也可以直接表示 ，利用二次函数配方求最值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想nS的应用。6.数列的实际应用现实生活中涉及到银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、工作效率、图形面积、等实际问题，常考虑用数列的知识来解决.训练题一、选择题1.已知等差数列 的前三项依次为 、 、 ，则 2011 是这个数列的 ( B )na1a2
4、3aA.第 1006 项 B.第 1007 项 C. 第 1008 项 D. 第 1009 项2.在等比数列 中， ，则 等于 （A ）n 48575610SA1023 B1024 C511 D5123若 an为等差数列，且 a72a 41，a 30，则公差 d ( )A2 B C. D212 12由等差中项的定义结合已知条件可知 2a4a 5a 3，2da 7a 51，即 d .故选 B.124.已知等差数列a n的公差为正数，且 a3a7=12,a 4+a6=4, 则 S20 为( A )A.180 B.180C.90 D.905.（ 2010 青岛市） 已知 为等差数列,若 ,则 的值为
5、（ A ）n 951 28cos()a（4 ） 为常数)( )2nsAB(,*nN常数）（4） 为常数，nsAq(,0,）3A B C D212321236在等比数列a n中，若 a3a5a7a9a11243，则 的值为 ( )a29a11A9 B1 C2 D3解析 由等比数列性质可知 a3a5a7a9a11a 243，所以得 a73，又 a 7，故选57a29a11 a7a11a11D.7已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn，a 1a 5 S5，且 a920，则 S11( )12A260 B220C130 D110解析 S 5 5，又a1 a52 S5a 1a 5，a 1a 50.a 3
6、0，S 11 11 11 11110，12 a1 a112 a3 a92 0 202故选 D.8 各项均不为零的等差数列a n中，若 a a n1 an1 0(nN *，n2)，则 S2 009 等于 ( )2nA0 B2C2 009 D4 018解析 各项均不为零的等差数列a n，由于 a a n1 a n1 0(nN *，n2)，则2na 2a n0，a n2，S 2 0094 018，故选 D.2n9数列 an是等比数列且 an0，a 2a42a 3a5a 4a625，那么 a3a 5 的值等于 ( )A5 B10C15 D20解析 由于 a2a4a ，a 4a6a ，所以 a2a42a
7、 3a5a 4a6a 2a 3a5a (a 3a 5)23 25 23 25225.所以 a3a 55.又 an0，所以 a3a 55.所以选 A.10. 首项为 1，公差不为 0 的等差数列a n中，a 3，a 4，a 6 是一个等比数列的前三项，则这个等比数列的第四项是 ( )A8 B8C 6 D不确定4答案 B解析 a a 3a6(1 3d) 2(1 2d)(15d)24d(d 1)0 d1，a 31，a 42，q2.a 6a 4q4，第四项为 a6q8.11.在ABC 中，tan A 是以-4 为第三项，4 为第七项的等差数列的公差，tanB 是以 为第三项，9 为第六31项的等比数列
8、的公比，则这个三角形是(B )A.钝角三角形 B.锐角三角形C.等腰三角形 D.非等腰的直角三角形12、 （ 2009 澄海）记等差数列 的前项和为 ，若 ，且公差不为 0，则当 取最大值时，nans103snsn（ )CA4 或 5 B5 或 6 C6 或 7 D7 或 813在等差数列a n中，前 n 项和为 Sn，且 S2 011 2 011，a 1 0073，则 S2 012 的值为 ( )A1 006 B2 012C2 012 D1 006答案 C 解析 方法一 设等差数列的首项为 a1，公差为 d，根据题意可得，Error!即Error!解得 Error!所以，S 2 0122 0
9、12a 1 d2 0122 012 122 012(4 021) 2 0122 01122 012(4 0224 021)2012.方法二 由 S2 011 2 011a 1 0062 011， 解得 a1 0061，则2 011a1 a2 0112S2 012 2 012.2 012a1 a2 0122 2 012a1 006 a1 0072 2 012 1 3214设函数 f(x)满足 f(n1) (nN *)，且 f(1)2，则 f(20)( B )2fn n2A95 B97C105 D192 5解析 f( n1) f (n) ， Error!n2累加，得 f(20)f (1)( )f(
10、1) 97.12 22 192 1920415.已知数列 的前 项和 满足 ，则通项公式为（B ）nanSlognn（A. B. )(2*Nn)2(13anC. D. 以上都不正确*1an16.一种细胞每 3 分钟分裂一次，一个分裂成两个，如果把一个这种细胞放入某个容器内，恰好一小时充满该容器，如果开始把 2 个这种细胞放入该容器内，则细胞充满该容器的时间为 （ D ）A15 分钟 B30 分钟 C45 分钟 D57 分钟 二、填空题1、等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 a2=1,a3=3,则 S4= 8.2.（2008广东理，2）记等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 a1= ，
11、S 4=20，则 S6= . 4823.（ 2010 广州一模） 在等比数列 中， ，公比 ，若 ，则 的值为 71qn4.（2008海南、宁夏理，4）设等比数列a n的公比 q=2,前 n 项和为 Sn,则 = . 24a2155.等差数列 an，b n的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn，若 ，则 _.SnTn 2n3n 1 a100b100答案 解析 199299 a100b100a1 a1992b1 b1992 S199T199 1992996、数列 的前 项和记为 则 的通项公式 na ,nnSna解：（）由 可得 ，两式相减得11a 112,32nna又 故 是首项为 ，公比为 得
12、等比数列 2321n37已知各项都为正数的等比数列a n中，a 2a44，a 1a 2a 314，则满足 anan1 an2 的最大正整数 n 的值为_答案 419解析 设等比数列a n的公比为 q，其中 q0，依题意得 a a 2a44.又 a30，因此236a3a 1q22，a 1a 2a 1a 1q12，由此解得 q ，a 18，a n8( )12 12n1 2 4n ，a nan1 an2 2 93n .由于 23 ，因此要使 293n ，只要 93n3，即1819 19n4，于是满足 anan1 an2 的最大正整数 n 的值为 4.198等比数列a n的首项为 a11，前 n 项和
13、为 Sn，若 ，则公比 q 等于_S10S5 3132答案 解析 因为 ，所以 ，即 q5( )5，所以 q .12 S10S5 3132 S10 S5S5 31 3232 132 12 12三、解答题1（2010 山东理数） （18） （本小题满分 12 分）已知等差数列 满足： ， ， 的前 n 项和为 na375726aanS（）求 及 ； （）令 bn= (n N*)，求数列 的前 n 项和 nS21bT1【 解析】 （）设等差数列 的公差为 d，因为 ， ，所以有na37a5726，解得 ，12706ad13,2所以 ； = = 。3)n+n（ nS(-1)2n+（）由（）知 ，所以
14、 bn= = = ，21na2a2)1（ 4n(+)1(-)n所以 = = ，nT1(-+-)43+ 1(-4()即数列 的前 n 项和 = 。bT4()2 （全国新课标理 17） 已知等比数列 na的各项均为正数，且21362,9aa（I）求数列 n的通项公式 （II）设 31323logllogn nb ，求数列1nb的前 n 项和72 解：（）设数列an的公比为 q，由2369a得324a所以19q由条件可知 c0，故13q由 123a得 123a，所以 1 故数列an的通项式为 an= 3n（ ） 31323nlogl.lognba(2.)n故12()()nn12112.2()().(
15、)31n nb n所以数列nb的前 n 项和为3. (本小题满分 12 分) 已知a n是各项均为正数的等比数列，且 a1a 22( )，a 3a 4a 564( )1a1 1a2 1a3 1a4 1a5(1)求a n的通项公式； (2)设 bn(a n )2，求数列b n的前 n 项和 Tn.1an解析 (1)设a n的公比为 q，则 ana 1qn1 . 由已知，有Error!化简，得 Error!又 a10，故 q2，a 11. 所以 an2 n1 .(2)由(1)知，b n 2a 24 n1 2.(an 1an) 2n 1a2n 14n 1因此，T n(144 n1 )(1 )2n 2
16、n (4n4 1n )14 14n 1 1 4n1 41 14n1 14 132n1.4.（山东省济南市 2011）已知 为等比数列， ； 为等差数列 的前 n 项和， .na256,1anSb,21b85S（1） 求 和 的通项公式；（ 2） 设 ，求 .nbTaa21nT8解：（1） 设a n的公比为 q，由 a5=a1q4 得 q=4所以 an=4n-1.设 b n 的公差为 d，由 5S5=2 S8得 5(5 b1+10d)=2(8 b1+28d)，,3231d所以 bn=b1+(n-1)d=3n-1.（2） T n=12+45+428+4n-1(3n-1),4Tn=42+425+43
17、8+4n(3n-1),-得：3T n=-2-3(4+42+4n)+4n(3n-1) = -2+4(1-4n-1)+4n(3n-1)=2+(3n-2)4nT n=（n- ）4 n+5（2013 广东理） 设数列 的前 项和为 .已知 , , .nanS1a2123nSan*N() 求 的值； () 求数列 的通项公式；2an() 证明:对一切正整数 ,有 .1274naa【解析】() 依题意, ,又 ,所以 ；123S1S2() 当 时, ,2n2n321 1nSan两式相减得 212 3na整理得 ,即 ,又1 1na21a故数列 是首项为 ,公差为 的等差数列,n所以 ,所以 .1an2na
18、() 当 时, ；当 时, ；n17412574a当 时, ,此时32nan2212 1143434n n 7149综上,对一切正整数 ,有 .n1274naa6 （本小题满分 14 分）设各项均为正数的数列 的前 项和为 ，满足 且nS214,nanN构成等比数列2514,a(1) 证明： ； (2) 求数列 的通项公式；215ana(3) 证明：对一切正整数 ，有 n12312n1.【解析】 （1）当 时， ， 45,4aa21045na（2）当 时， ，n21nS 21nS,21a10nn当 时， 是公差 的等差数列.na2d构成等比数列， ， ，解得 ,2514,514a2284a23
19、a由（1）可知， 2=,是首项 ,公差 的等差数列 .213an1d数列 的通项公式为 .n2a（3） 1231 13572na n 15721.22n 7.（本题满分 14 分） a, 5是方程 2x01的两根, 数列 na是公差为正的等差数列，数列nb的前 项和为 nT,且 nbN.(1)求数列 ,的通项公式 ; (2)记 nc=ab,求数列 nc的前 项和 nS.2.解：(1)由 271552aa.且 0d得 352 2 分10235ad, 1Nnan12 4 分 在 nnbT1中,令 ,得 .31b当 时,T n= ,21nb112nbT,两式相减得 nn21, 1 6 分Nbnn32. 8 分(2) nnc241, 9 分nnS315322, 13232nnS , 10 分1321nn=2 1139nn= 11343312nn, 13 分nnS2 14 分 8.（全国大纲理 20） 设数列 na满足 10且 1.nna（）求 na的通项公式； （）设 1,1.nnknbbS记 S证 明 ：解： （I）由题设 1,nna即1na是公差为 1 的等差数列。又 1,.na故所以.n（II）由（I）得
