1、1直线与圆锥曲线测试题一 选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 直线 l1: y=x+1, l2: y=x+2 与椭圆 C: 3x2+6y2=8 的位置关系是A l1, l2 与 C 均相交 B l1 与 C 相切，l 2 与 C 相交C l1 与 C 相交， l2 与 C 相切 D l1, l2 与均相离2 （原创题）直线 y=x+1 被椭圆 x2+2y2=4 所截的弦的中点 M,则 M 与原点连线的斜率等于（ ）A B C D 1333 过椭圆 x2+2y2=4 的左焦点作倾斜角为 的弦 AB，则弦 AB 的长为A
2、 76 B C D 67614 已知椭圆21(0)xyab的左焦点为 F，右顶点为 A，点 B在椭圆上，且BF轴，直线 交 轴于点 P若 2AB，则椭圆的离心率是（ ）A. 32B. 2 C. 13D. 15 若直线 y=-x+m 与曲线 只有一个公共点，则 m 的取值范围是( )2y5x4（A）-2m 2 （B）-2 m2 5（C）-2m2 或 m=5 （D ）-2 m2 或 m=56 过点 P(3,2) 和抛物线 只有一个公共点的直线有（ ）条.32xyA4 B3 C2 D17 （改编题） 过原点的直线 与曲线 C: 相交,若直线 被曲线 C 所截得的线段l12yl长不大于 ,则直线 的倾
3、斜角 的最大值是 ( )6lA B C D. 52348 若椭圆 和圆 为椭圆的半焦距),有四个)0(1bayax cbyx(,)2(2不同的交点,则椭圆的离心率 的取值范围是 ( )eA B C D )53,()5,()53,()5,0(9 椭圆 内有一点 P（3，2）过点 P 的弦恰好以 P 为中点，那么这弦所14942yx在直线的方程为 （ 2）A B0123yx 0123yxC D 49 4910 经过椭圆 的一个焦点作倾斜角为 的直线 ,交椭圆于 、 两点.设 为21xy45lABO坐标原点，则 等于( ).OABA. B. C. 或 D.313131311 （改编题） 已知椭圆 （
4、 0）与双曲线 有公共的21:xyCaba22:4yCx焦点， 的一条渐近线与以 的长轴为直径的圆相交于 两点，若 恰好将线21 ,AB1段 三等分，则（ ）AB（A）长轴长 （B ） 长轴长 （C） 短轴长 （D）短轴长6232212 （改编题）已知两点 M（1， ） ，N（4，- ） ，给出下列曲线方程： 4x+2y-1=0 554x 2+y2=3 =1 =1. 在曲线上存在点 P 满足|MP|=|NP| 的所有曲线方2xy2xy程是（ ）A. B. C. D.二 填空题（共 4 小题，每小题 3 分共 12 分，把答案填在相应的位置上）13 （改编题） 已知 F1 为椭圆 C： y 21
5、 的左焦点，直线 l：yx1 与椭圆 C 交于x22A、B 两点，那么|F 1A| |F1B|的值为_14 如图，已知抛物线 y2=2px(p0)的焦点 F 恰好是椭圆 (ab0)的右焦点，且2ab两曲线的公共点连线 AB 过 F，则椭圆的离心率是_.15 已知抛物线 y=-x2+3 上存在关于直线 x+y=0 对称的相异两点 A,B，则|AB| 等于_316 设 分别为椭圆 的左、右焦点，点 在椭圆上，若 ;则12,F213xy,AB125FAB点 的坐标是 .A三 解答题（本大题五个小题，共 52 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17 （原创题） （本小题 10 分）当过点（0
6、,2 的直线和椭圆 有两个公共点有213xy一个公共点没有公共点时，求 k的取值范围18 （本小题 10 分）已知椭圆 ，过点 P（2，1）引一弦，使弦在这点被平分，2164xy求此弦所在直线 的方程.l19 （原创题） （本小题 10 分）已知平面上任意一点 M（x,y）满足方程 22(3)(3)4xyxy（1）判断点 P 的轨迹，并说明原因；（2）设过(0，-2) 的直线 l与上述曲线交于 C、D 两点，且以 CD 为直径的圆过原点求直线 l的方程20 （本小题 10 分）已知动点 P 与平面上两定点 连线的斜率的积为定(2,0)(,)AB值 .12（）试求动点 P 的轨迹方程 C.（）设
7、直线 与曲线 C 交于 M、 N 两点，当|MN|= 时，求直线 l 的方程. 1:kxyl 32421（本小题 12 分） 已知椭圆 )0(1:2bayx过点 ),1(，且离心率 21e.（）求椭圆方程；（）若直线 )0(:kmyl与椭圆交于不同的两点 、 N，且线段 M的垂直平分线过定点 )0,81(G，求 的取值范围.4【挑战能力】1 （改编题）已知直线 l 过抛物线 C 的焦点，且与 C 的对称轴垂直，l 与 C 交于 A，B 两点，|AB|=12， P 为 C 的准线上的一点，则ABP 的面积为 ( )A 18 B 24 C 36 D 482 （改编题） 设双曲线 )0,(12bay
8、x的右顶点为 A， P为双曲线上的一个动点（不是顶点） ，从点 A引双曲线的两条渐近线的平行线，与直线 O分别交于,QR两点，其中 O为坐标原点，则 2|P与 |OQR的大小关系为（ ）A 2|PR B 2|C | D不确定3 椭圆 与直线 交于 、 两点，且 ，其12byax01yxPOQP中 为坐标原点.O（1）求 的值；2（2）若椭圆的离心率 满足 ，求椭圆长轴的取值范围e32直线与圆锥曲线测试题答案一 选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 【答案】C【解析】因为 ，得 ，所以 l1 与 C 相交；21368yx
9、2910x因为 ，得 ， l2 与 C 相切2xy2462 【答案】B【解析】由 ，得 中点坐标214xy212430,3xx，所以 ，答案为 B100,3xOMk3 【答案】5【解析】AB 的直线方程为 ，联立方程 ，得3(2)yx2364yx，所以2121287180,7xx2112122()()343()716AByxxx4 【答案】D 【解析】：对于椭圆，因为 2APB，则12,2OAFace5 【答案】D【解析】将曲线方程化为 (y0)2xy105则该曲线表示椭圆 位于 x 轴的上半部分2将方程 y=-x+m 与 联立得：2xy1055x2-8mx+4m2-20=0.令 =64m2-
10、20（4m 2-20）=0,解得 m=5，于是得如图所示直线 l1：y=-x+5又可求得直线 l2：y=-x-2 ，l 3：y=-x+2 .5依题意，直线 y=-x+m 应介于直线 l2 与 l3 之间或就为直线 l1，-2 m2 或 m=5.566 【答案】D【解析】：抛物线 如图，点 P（3，2）在抛物线的内部，232xy根据过抛物线内一点和抛物线的对称轴平行或重合的直线和抛物线只有一个交点，可知过点 P(3,2) 和抛物线 只有一个公共点的直线有一条.故选择 D232xy7 【答案】 D【解析】设直线 的方程为 ，由 得 ，所以弦长等lk213xyk2(3)0kx于 ，即 ，222121
11、6,kxtan1ta或所以 ，所以答案为 D.438 【答案:】 A【解析】由题意，圆的半径应满足： ,变形两边平方.，得acb253(,)e9 【答案】B【解析】设直线与椭圆的交点坐标为 ，代入椭圆方程12(,)(,)AxyB， ，1442yx2194得 221112121212()9()0()9()0yxxyy,所以直线的方程 433ABABk(3x即 2yx10 【答案】B【解析】不妨设直线 的方程为 ,则 , , ,故选 B.l1yx(0)A413)B130OAB11 【答案】 C.【解析】由双曲线 1 知渐近线方程为 ，又椭圆与双曲线有公共焦42xxy27点，椭圆方程可化为 ，联立直
12、线 与椭圆2xb25y2bxy2方程消 得， ，又 将线段 AB 三等分，y0521C，解之得 .，所以短轴长为3212ab2b212 【答案】D【解析】：P 满足|MP|=|NP|即 P 是 MN 的中垂线上的点， P 点存在即中垂线与曲线有交点.MN 的中垂线方程为 2x+y+3=0，与中垂线有交点的曲线才存在点 P 满足|MP|=|NP|，直线 4x+2y-1=0 与 2x+y+3=0 平行，故排除 A、C，又由 =0，有唯一交点 P 满足|MP|=|NP|，故选 D.2301xy二 填空题（共 4 小题，每小题 3 分共 12 分，把答案填在相应的位置上）13 【答案】：823【解析】
13、：设点 A(x1，y 1)，B( x2，y 2)，则由Error!消去 y 整理得 3x24x0，解 得 x10，x 2 ，易得点 A(0，1)、43B( ， )又点 F1(1,0)，因此 |F1A| F1B| .43 13 12 12 732 132 82314 【答案】： -12【解析】由题意可知，AB 即是抛物线的通径，|AB|=2p，A( ,p)，又p2=c，A(c,2c), 将 A 点代入椭圆方程中得 ，4a 2c2=b2(a2-c2)p22c41ab=b4，b 2=2ac，而 2ac=a2-c2，即 c2+2ac-a2=0， e 2+2e-1=0，解得 e= -1(e=- -1 舍
14、去).215 【答案】 3【解析】.设 AB 直线的方程为 y=x+b，与 y=-x2+3 联立，得 x2+x+b-3=0.=1-4(b-3)0,x 1+x2=-1,x1x2=b-3.AB 的中点 C（- ,b- ）在 x+y=0 上，8即- +b- =0,解得 b=1 符合 0,12弦长|AB|= .1423g（16 【答案】 (0,)或 （ ， -）【解析】设直线 的反向延长线与椭圆交于点 ，又 ，由椭圆的对AF1 BBFA215称性可得 ，设 ， ，5B1,yx2,yx又 ， ，11632x126312325()xx 解之得 ，点 A 的坐标为 .01 (0,1)或 （ ， -）三 解答
15、题（本大题五个小题，共 52 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17 【解析】：当直线的斜率不存在时，显然直线与曲线有两个公共点，所以设直线方程为 ，2ykx由 236，得 23()6kx，即 2(3)160kx2214()748k 当 2780，即 6,3k或 时，直线和曲线有两个公共点；当 24k，即 ,或 时，直线和曲线有一个公共点；当 2780，即 63k时，直线和曲线没有公共点.18 【解析】解法一 设所求直线的方程为 y-1=k(x-2)，代入椭圆方程并整理，得222(41)()4(1)0kxkxk直线与椭圆的交点设为 ，则1,AyB2128()41kx因为 P 为弦 A
16、B 的中点，所以 ，解得124()k9因此所求直线的方程为 x+2y-4=0解法 2：设直线与椭圆的交点为 12(,)(,)AxyB因为 P 为弦 AB 的中点，所以 24又因为 A,B 在椭圆上，所以 126xy两式相减，得 即211()4()0x 121212()4()0,yxx所以 1212()AByky即因此所求直线的方程为 即 x+2y-4=0.(2)x19 【解析】：（ 1）方程 表示 M（x,y）到两定点23(3)4yxy的距离之和为 4.根据椭圆的定义，可知动点 的轨迹为椭圆，其中 (3,0),2a， c，则 21bac所以动点 M 的轨迹方程为214xy（2）当直线 l的斜率
17、不存在时，不满足题意当直线 的斜率存在时，设直线 l的方程为 2ykx，设 1(,)Cx， 2(,)Dx， 0OCD， 120xy 1， 2yk， 211()4yk 21()()40 由方程组 ,42.ykx得 2160kx则 1226kx，12x，代入，得 22244kk即 4k，解得， k或 所以，直线 l的方程是 yx或y20 【解析】：（）设点 (,)Pxy，则依题意有122x， 整理得由于 2x，所以求得的曲线 C 的方程为().yx.12yx（）由 解得x 1=0, x2= 分别为.04)1(:.,22 kxykxy得消 去 21,(4xk10M， N的横坐标）由 ,234|1|1
18、| 22212 kxkN .1:k解 得所以直线l的方程x y+1=0或x+y1=0 21【解析】：（） 离心率 e， ，即 （1） ；234ba2ba又椭圆过点 )23,1(，则 ， （1）式代入上式，解得 ， ，椭圆方程294a423为 .24xy（）设 ，弦 MN 的中点 A12(,)(,)MNxy0(,)xy由 得： ，234ykxm2234841km直线 )0(:l与椭圆交于不同的两点，即 （1）226341)0k243k由韦达定理得： ，121228,3mkxx则 ，002 2244,3 4k mxykk直线 AG 的斜率为： ，2234138AGKmk由直线 AG 和直线 MN 垂直可得： ，即 ，代入2134kA2348km（1）式，可得 ，即 ，则 .2234()8k2050或【挑战能力】1 【答案】C【解析】.设抛物线方程为 y2=2px，则点 C（ ，0） ，在方程中，令 x= ，则 y=6，p2p2即 36=p2，得 p=6, y 2=12x，点 P 到直线 AB 的距离为 p=6，S
