1、116届维一思数学开学考模拟试卷答案一 填空题1.已知全集 U=R，集合 A=x|x-2，xR，B=x|x-2，则( A)B=(-2，1).UU答案：(-2，1)2.若 z(1+i)2=2i，则|z|= .【解析】因为 z(1+i)2=z2i=2i，设 z=a+bi(a，bR)，则(a+bi)2i=2i，即-2b+2ai=2i，所以 a=1，b=0，故 z=1.故|z|=1.答案：13.已知甲、乙两人投篮投中的概率分别为 和 ，若两人各投两次，则两人投中次数相等的概率为 .34 23【解析】两人都投中 0次的概率为= ，(134)(134)(123)(123) 1144两人各投中 1次的概率为
2、 = ，C1234 14 C1223 1324144两人都投中 2次的概率为 = ，(34)2 (23)236144故两人投中次数相等的概率为 + + = .1144241443614461144答案：611444.已知双曲线的标准方程为 -y2=1，则它的焦点坐标为 .x22【解析】因为 a= ，b=1，所以 c= = ，且焦点在 x轴上，所以它的焦点坐标是2 a2+2 3( ，0).3答案：( ，0)325. 若 F1，F 2分别是椭圆 + =1的左、右焦点，M 是椭圆上的任意一点，且MF 1F2的内切圆的周x225y216长为 3，则满足条件的点 M的个数为 .【解题提示】由内切圆的周长
3、为 3 可确定内切圆的半径，然后利用面积相等确定点 M的纵坐标，进而确定 M点的个数.【解析】由MF 1F2的内切圆的周长为 3 得，内切圆的半径 r= ，32所以MF 1F2的面积为 (MF1+MF2+F1F2)r= F1F2|yM|，12 12即(10+6) =6|yM|，得|y M|=4，32所以满足条件的点 M是短轴的 2个端点，个数有 2个.答案：26.设变量 x，y 满足|x|+|y|1，则 2x+y的最大值和最小值分别为 .【解析】由约束条件|x|+|y|1，作出可行域如图，设 z=2x+y，则 y=-2x+z，平移直线 y=-2x，当经过点 A(1，0)时，z 取得最大值 2，
4、当经过点 B(-1，0)时，z 取得最小值-2.答案：2，-27.若函数 f(x)对任意的 xR 都有 f(x+3)=-f(x+1)，且 f(1)=2013，则 f(f(2013)+2)+1= .【解题提示】由 f(x+3)=-f(x+1)得 f(x+2)=-f(x)，从而 f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，因此函数 f(x)是周期为 4的函数.【解析】由 f(x+3)=-f(x+1)可知函数 f(x)为周期函数，且周期 T=4，当 x=0时，f(3)=-f(1)=-2013，f(2013)=f(5034+1)=f(1)=2013，因此 f(f(2013)+2)+1=f(2015)+1=
5、f(3)+1=-2012.答案：-201238. 设命题 p： f(x)，则有 .e 2014f(-2014)e 2014f(0)；e 2014f(-2014)f(0)，f(2014)e 2014f(0)；e 2014f(-2014)f(0)，f(2014)f(x)，并且 ex0，所以 g(x)g(0)，g(2014)f(0)，2014f()ef(0)，f(2014)b0)的离心率为 ，右焦点为 F，右顶点 A在圆 F：(x-1)x22y22 122+y2=r2(r0)上.(1)求椭圆 C和圆 F的方程.(2)已知过点 A的直线 l与椭圆 C交于另一点 B，与圆 F交于另一点 P.请判断是否存
6、在斜率不为 0的直线 l，使点 P恰好为线段 AB的中点，若存在，求出直线 l的方程；若不存在，说明理由.【解析】(1)由题意可得 c=1，又由题意可得 = ，所以 a=2，c 12所以 b2=a2-c2=3，所以椭圆 C的方程为 + =1，x24y23所以椭圆 C的右顶点为 A(2，0)，代入圆 F的方程，可得 r2=1，所以圆 F的方程为(x-1) 2+y2=1.(2)假设存在直线 l：y=k(x-2)(k0)满足条件，由 y=(2),24+23=1,得(4k 2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.设 B(x1，y 1)，则 2+x1= ，16242+3可得中点 P ，(8242+
7、3, 642+3)9由点 P在圆 F上可得 + =1，(8242+31)2( -642+3)2化简整理得 k2=0，又因为 k0，所以不存在满足条件的直线 18. (10分)为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本 y(元)与月处理量 x(吨)之间的函数关系可近似地表示为 y= 且每处133802+5 040,120,144),122200+80 000,144,500,理 1吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为 200元，若该项目不获利，国家将给予补偿.(1)当 x200，300时，
8、判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？【解析】(1)当 x200，300时，设该项目获利为 S，则 S=200x-(122200+80 000)=- x2+400x-8000012=- (x-400)2，12所以当 x200，300时，S0，因此该项目不会获利.当 x=300时，S 取得最大值-5000，所以国家每月至少补贴 5000元才能使该项目不亏损.(2)由题意，可知二氧化碳的每吨处理成本为=y13280+5 040,120,144),12+80 000 20
9、0,144,500,当 x120，144)时，10= x2-80x+5040= (x-120)2+240，y13 13所以当 x=120时， 取得最小值 240.y当 x144，500时，= x+ -2002 -200y12 80 000 1280 000=200，当且仅当 x= ，12 80 000即 x=400时， 取得最小值 200.y因为 200240，所以当每月的处理量为 400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低.19. 定义：同时满足下列两个条件的数列a n叫做“上凸有界数列”. a n+1；a+22a nM，M 是与 n无关的常数.(1)若数列a n的前 n项和为 Sn，且 Sn=2n-1，试判断数列a n是否为上凸有界数列.(2)若数列b n是等差数列，T n为其前 n项和，且 b3=4，T 3=18，试证明：数列T n为上凸有界数列.【解析】(1)n=1 时，a 1=S1=2-1=1，n2 时，a n=Sn-Sn-1=2n-1-(2n-1-1)=2n-1.所以 an=2n-1.显然 an=2n-1是递增的，故不存在常数 M，使 anM 成立，即不满足条件，a n不是上凸有界数列.注：验证条件不成立也可.(2)设b n的公差为 d，则b1+2=4,31+322 =18.解得 b1=8，d=-2.所以 Tn=nb1+ dn(1)2
