1、北京大学“中学生数学奖”夏令营初赛 试题2018年 6月 23日本试卷共 4题，每题 30分，满分 120分.考试时间 180分钟.1.已知 、 、 为整数，且对任意正整数 、 ，存在整数 满足如下关系：abcmnx2mod.xn求所有满足要求的三元整数组 .,abc2.已知实数 两两不同，存在 满足 （ ，并规定12018,a t1iiat,2018i）.求实数 的可能取值的个数.2019t3.给定正整数 、 .有一个密码锁，它有 个按钮，编号分别为 .打开该锁的密码是长nknn:度为 的按钮序列.当且仅当连续正确的按动这 个按钮时，密码锁会被打开.（例如 ，k k 3n，密码为 时，依次按
2、动 后可以打开该锁，按动 后也可以打开2131,23, 2,31该锁.）要保证把这个密码锁打开，至少需要按动多少次按钮？4.如图， 中 .点 所对应的旁切圆圆 分别与直线 、 、 相切于ABCAJBCA点 、 、 .点 是线段 的中点.点 在线段 上，且满足 .求证：DEFMSMSDE.SJ试卷答案本试卷共 4题1.设 ，注意 ，故本题只需对任意正整数 ，2fxabcmodfxfnn组成模 的完全剩余系.0,1,fn下证 ， 或 .若 ，取 ，则 ，矛盾.,abab01odffn若 ，则 ，此时 ，这也不可能.02fxcf故 或 .1当 时， ，则 .ab1641248abab取 ，则 ，矛盾
3、.故 .64n0modffn0类似当 时，取 ，可得 .n故 或 .,1ab,注意对任意正整数 、 ，同余方程 和modxcmnmodxcn显然有解.故 或 ， .,0,1abck,kZ2.由已知有 ，不动点方程为 ，化为 ，设此一元二次方程1iita 1xt210xt的两根为 与 .当 时，若 ，则 ， ， ，矛盾.2t12iia11iia2091208a若 ，同理可得 ，也矛盾.t2019128所以 ，可得 ，以及 ，1iiat1iiat两式相除得 ，有 ，1iia2111iiiaa从而 ， ，4036201914036由对称性，不妨设 ， ，其中 .2018kie2018ki2018k另
4、一方面，当 时，由 知， ，ijijajia而 .所以当 时， ，21jjtaa1208t21t即 ，即对任意 ， 都不是 的倍数，2018tkitettk即 ，又因为 ，,20189所以这样的 有 个，所以 有k1082cos018kt个取值.1083.最少需要按 次.1kn不同的密码共有 个，要保证打开密码锁，必须全部试过一遍.从第 次按键开始，每次按k动按钮都可以视为一个长为 的序列末位，故至少需要 次.k1kn下面给出按动 次可以满足要求的存在性证明.1kn当 时结论显然成立，故下设 .1k2k构造图 ，共有 个顶点，每个顶点对应为一个长为 的序列.G1k 1k对顶点 ， ，若点 所对
5、应序列的后 位与点 所对应序列的前 位相同，则在ABB2k之间连一条由 指向 的有向边.此时每一个长为 的序列可以对应为该图中的一条边.注意图 为连通图，且每个顶点的入度和出度均为 ，我们即证明该图中存在欧拉圈.n为此给出如下引理：若有向连通图 中所有顶点的入度和出度都相同，则该图中存在欧拉圈.G对图 的总边数进行归纳证明，若图 每个顶点出入度为 ，且该图中存在圈，再由连通性G1可得该圈为欧拉圈.若总边数小于 时结论成立，考虑总边数等于 时.mm考虑图中的最大有向圈 ，显然这样的圈存在.若 不是欧拉圈，则从图 中去掉 ，得到G图 .此时图 每点的出入度仍相同（但可以为 ）.G 0取 中的一条边
6、，使其一个顶点在 中，沿该边前进，可以得到图 中的圈 .注意 和没有公共边，故可将它们拼接得到一个更大的圈.这与 的最大性矛盾，故此时结论成立.综上，引理得证.由引理，我们即可得到本题存在性证明.4.如图，作 的平分线交 于 ，以 为圆心、点 到直线 的距离为半径作 ，BDSBJPPBCP:则 与直线 、 、 均相切.过 作 的异于直线 的切线，交直线 于 ，P:AA:ADS则 与四边形 的各边所在直线均相切，由“切线长相等”可得，BS又已知 ，ADEAFBD因此 ，故 ，SA由“三角形两边之差小于第三边”可知与 重合，所以 与四边形 的各边所在的直线都相切.SP:B作 的平分线交 于 ，以
7、为圆心、点 到直线 的距离为半径作 ，类似CDJQQBCQ:可证 与折四边形 的各边所在的直线都相切.Q:AS从而 、 都与 和 相切，故 是 和 的内位似中心.故 、 、 三点SP:SP:SP共线.下面证明 .用反证法.假设直线 与直线 相交于 ，因 、 分别平分/BCQBCTDQ或 的邻补角，所以 、 、 、 是调和线束，该线束与直线SDTDPS截得 点 、 、 、 是调和点列，故 、 、 、 是调和线束，该线束再PQ4STJJ与直线 截得 点 、 、 、 是调和点列，但 是 的中点，矛盾，所以BCMMBC./设 与 相交于 .由 、 分别平分 及其邻补角得 ，PJDHPDQSDPQ再结合 得 ，所以/PQBCDH.MSPQBDCDJHJJJJ :
