1、 中学生标准学术能力诊断性测试 2017 年 11 月测试数学理科试卷第卷（选择题）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合 2|ln3Mxyx，集合 2|4xNy，则图中阴影部分表示的集合为A. 1,0, B. 0, C. 3 D. 1,2.已知命题 p：若 8k，则方程221358xyk表示焦点在 x轴上的双曲线；命题 q：在 ABC中，若 siniB，则 A，则下列命题为真命题的是A. B. C. pq D. q3.魏晋时期数学家刘徽首创割圆术，他在九章算术方田章圆填术中指出：“割之弥细，所失弥少。
2、割之又割，以至于不能割，则与圆周合体而无所失矣。”这是一种无限与有限的转化过程，比如在正数 12中的“”代表无限次重复，设 12x ，则可利用方程 12x求得 x，类似的可得正数 5A. 3 B. 5 C. 7 D. 94.如图，在矩形 OABC中的曲线分别是 sin,cos,0,12yxAC，在矩形 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为A. 431B. 421C. D. 5.下面的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”。若输入 ,ab的分别为 98 和 63，执行该程序框图后，输出 a的值6.某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的最长棱为A. 19 B. 2
3、 C.5 D. 277.数列 na中， 1且 1nna，则数 列12n的前 项和为A. B. 12n C. 12n D. 1n8.已知双曲线 2054xya的左、右顶点分别为 12,A，虚轴的两个端点分别为 12,B，若四边形12AB的内切圆的面积为 18，则双曲线的离心率为A. B. 3 C.2 D. 59.已知函数 3sin6fxx在 0处的切线与直线 60nxy平行，则 12nx的展开式中的常数项为A. -20 B. 20 C. -15 D. 1510.将函数 sin23cos1yx的图象向左平移 12个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的 12，纵坐标不变，得到函数 yg的图象，则下面
4、关于函数 ygx的叙述不正确的是A.函数 gx的周期为 2 B. 函数 的一个对称中心为 ,08 C.函数 gx在区间 ,42内单调递增 D.当 kz时，函数 gx有最小值-111.已知定义在 R 上的函数 f满足 42,sin2ffxgx，若函数 fx的图象与函数 gx图象的交点为 12,nxyy ，则 1niiiyA. n B. 2 C. 3n D. 412.设点 12,MxfNxg分别是函数 2lfxx和 6gx图象上的点，12,，若直线 /轴，则 ,M两点间距离的最小值为A. 54 B. 9 C. 52 D. 9二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.已知
5、,ab的夹角为 ，且 2ba，则 b与 a的夹角的正切值为 .14.已知变量 ,xy满足 31,y，则25xy的取值范围为 .15. 已知正四面体 ABCD 的棱长为，四个顶点都在球心 O 的球面上，点 P 为棱 BC 的中点，过 P 作球 O的截面，则截面面积的最小值为 .16.过抛物线 24xy的焦点 F 作直线 l与抛物线交于 A,B 两点，记抛物线在 A,B 两点处的切线 12,l的交点为 P,则 ABP面积的最小值为 .三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分 12 分）已知 ABC的面积为 S,其外接圆半径为 R,三个
6、内角 A,B,C 所对的边分别为22,sini3sin.abcRabB，（1）求角 C;（2）若 2 2siis,4SAC，求 c及 ABC的面积18.（本题满分 12 分）如图，多面体 APCBE中，四边形 PCBE是直角梯形，且 ,/PCBE，平面 PCBE平面 ,BM是 的中点， N是 A上的点.（1）若 /N平面 ，求证： 是 中点；（2）若 13PEC，且 ABPC，求二面角 EBC的 余弦值.19.（本题满分 12 分）某电视厂家准备在元旦期间举办促销活动，现根据近七年的广告费与销售量的数据确定此次广告费支出。广告费支出 ix和销售量 iy（万台）的数据如下：（1）若用线性回归模型
7、拟合 y与 x的关系，求出 y关于 x的线性回归方程；（2）若用 ycd模型拟合 与 的关系可得回归方程 1.6309x，经计算线性回归模型及该模型的 2R分别为 0.75 和 0.88，请用 2R说明选择哪个回归模拟模型更好。（3）已知利润 z与 ,xy的关系为 0zyx，根据（2）的结果回答下列问题：广告费 0时，销售量及利润的预报值是多少？广告费 为何值时，利润的预报值最大？（精确到 0.01）20.（本题满分 12 分）已知圆 2:16Bxy，定点 2,0A，P 是圆周上任意一点，线段 AP 的垂直平分线与 BP交于点 Q.（1）求点 Q的轨迹 C 的方程；（2）直线 l过点 A 且与
8、 x轴不重合，直线 l交曲线 C 于 M,N 两点，过 A 且与 l垂直的直线与圆 B 交于D,E 两点，求四边形 MDNE面积的取值范围.21.（本题满分 12 分）已知函数 21ln.fxax（1）讨论 的单调性；（2）若 fx在定义域内有两个极值点 12,x，求证： 123lnfxf.请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用 2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。22.（本题满分 10 分）选修 4-4：参数方程与极坐标系在平面直角坐标系 xoy中，直线 l的参数方程为 3xty（ 为参数），以坐标原点 O 为极点， x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C的极坐标方程为 22cosin3.（1）求曲线 C的参数方程，直线 l的普通方程；（2）过曲线 C 上任意一点 P 作与 夹角为 45的直线，交 l于点 A，求 P的最大值与最小值.23.（本题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 21.fxx（1）若存在 0R使得 204fa的解集为，求实数 a的取值范围；（2）在（1）的条件下，记 的最大值为 0，若 022149bc，则当 ,bc取何值时，249abc取得最小值，并求出该最小值.
