1、1一元二次方程复习一）一元二次方程的定义是一元二次方程的一般式，只含有一个末知数、且末知数的)0a(cbxa2最高次数是 2 的方程，叫做一元二次方程。 这三个0axcax0bax222 ；方程都是一元二次方程。求根公式为 42二） 。a 是二次项系数；b 是一次项系数；c 是常数项，注意的是)0(cbxa2系数连同符号的概念。这些系数与一元次方程的根之间有什么样的关系呢？1、 当 0 时方程有 2 个不相等的实数根；422、当 0 时方程有两个相等的实数根；3、当 0 有两个负根不相等C0两根同号 b0 负根绝对值较大(正根绝对值较小 )ax2+bx+c=0, (a0)0有两个不相等的实数根
2、 C0 一根为 0 另一个根为负根C=0一根为零 b0 有两个相等的负根b01 有两个不相等的负实数根 x 1.x20x1+x202 有两个不相等的正实数根 x 1.x20x1+x2003 负根的绝对值大于正根的绝对值 x 1.x204 两个异号根正的绝对值较大 x 1.x2005 两根异号，但绝对值相等 x 1.x206 一个负根，一个零根 x1.x2 0x1+x207 一个正根，一个零根 x 1.x20x1+x2008 有两个相等的负根 x 1.x20x1+x20x1+x20010 有两个相等的根都为零 x 1.x20x1+x204011 两根互为倒数 x 1.x2112 两根互为相反数
3、0x1+x2013 两根异号 0 14 两根同号 0x1.x2015 有一根为零 0 x1.x20 16 有一根为-1 0a-b+c=017 无实数根 00mx2119 ax2+bx+c (a0)这个二次三项式是完全平方式 020 方程 ax2+bx+c 0 (a0)（a、b、c 都是有理数）的根为有理根，则 是一个完全平方式。21 方程 ax2+bx+c 0 (a0)的两根之差的绝对值为： ax2122 0,方程 ax2+bx+c 0 (a0)有相等的两个实数根。23 0 ac4b2即 a、c 异号方程必有解。1、 m 为何值时，方程 有两个相等的实数根；无实数根；有两m32个不相等的实数根
4、；有一根为 0；两根同号；有一个正根一个负根；两根互为倒数。52、已知方程 的两根一个大于 1，另一个根小于 1，求 m 的值的范围。08m2x423、已知实数 a、b 满足 , 且 求 的值。a2baba4、已知关于 x 的方程 有两个不相等的实数根，0kx42（1）求 k 的取值范围（2）化简 k25、用适当的方法解下列方程(说明选用的理由） 41x92 1x2 02y6326六） “归旧”思想在解一元二次方程中的应用“归旧”就是把待解决的问题，通过某种转化，归结为能用已掌握的旧知识去解决的问题。一元二次方程有直接开平方法、配方法、因式分解法和公式法，这几种解法，都是用“归旧”的数学思想方
5、法求解。下面就各种方法分别加以说明。直接开平方法：适用于等号左边是一个完全平方式，右边是一个非负实数的形式，形如（mx+n） 2=p (m0,p 0)的方程。我们可以利用平方根的定义“归旧”为两个一元一次方程去解，即有一元一次方程为 mx+n= ，分别解这两个一元一次方程就得到p原方程的两个根。用简明图表可表示为：直接开平方法：形如（mx+n） 2=p (m0,p0) 两个一元一次方程。归 旧根 据 平 方 根 的 定 义配方法：最适用于二次项系数为 1，一次项系数为偶数的形式的一元二次方程，形如 x2+2kx+m=0（当然一般的形如 ax2+bx+c=0 a0 也可用,但不一定是最合适的方法
6、） 。这类方程我们可以通过已掌握的配方的手段，把原方程“归旧”为上述形如（mx+n） 2=p (m0,p 0) 的方程，然后再用直接开平方法的方法求解。用简明图表可表示为：配方法：一元二次方程 形如（mx+n ） 2=p (m0,p 0) 的方程归 旧通 过 配 方因式分解法：这种方法平时用的最多，最适用于等式左边能分解成几个一次因式的积、而右边必须为零的形式的一元二次方程方程。这类方程我们可以通过已掌握的因式分解的手段，把原方程转化为形如(a 1x+c1)(a2x+c2)=0 方程，从而“归旧”为 a1x+c1=0 、a 2x+c2=0 ，再分别求出这两个一元一次方程的根，就得到原一元二次方
7、程的两个解。用简明图表可表示为： 因式分解法：一元二次方程 两个一元一次方程归 旧通 过 分 解 因 式公式法：公式法的实质就是配方法，只不过在解题时省去了配方的过程，所以解法简单。但计算量较大，只有在不便运用上述三种方法，且各项系数的绝对值为较小的数值情况下才考虑使用该方法。7一元二次方程练习题一、填空1一元二次方程 化为一般形式为： ，二次12)3(1xx项系数为： ，一次项系数为： ，常数项为： 。2关于 x 的方程 ,当 时为一元一次方程；当0)()(2mm m时为一元二次方程。3已知直角三角形三边长为连续整数，则它的三边长是 。4. ； 。x2x(2)xx(22)5直角三角形的两直角
8、边是 34，而斜边的长是 15，那么这个三角形的面积是 。6若方程 的两个根是 和 3，则 的值分别为 。02qpxqp,7若代数式 与 的值互为相反数，则 的值是 。5412xx8方程 与 的解相同，则 = 。92xa3a9当 时，关于 的方程 可用公式法求解。tx032tx10若实数 满足 ，则 = 。ba,2b11若 ，则 = 。8)(a12已知 的值是 10，则代数式 的值是 。132x 1642x二、选择1下列方程中，无论取何值，总是关于 x 的一元二次方程的是（ ）（A） （B）02cbxa xa22（C） （D）)1()(20312若 与 互为倒数，则实数 为（ ）1x（A） （
9、B）1 （C ） （D）223若 是关于 的一元二次方程 的根，且 0，则 的值为（ mx02mnxnm）8（A） （B）1 （C） （D ）1 21214关于 的一元二次方程 的两根中只有一个等于 0，则下列条件正确x02mnx的是（ ）（A） （B ） （C） （D ）0,nm,nm,05关于 的一元二次方程 有实数根，则（ ）x02kx（A） 0 （B） 0 （C ） 0 （D） 0k kk6已知 、 是实数，若 ，则下列说法正确的是（ ）yy（A） 一定是 0 （B） 一定是 0 （C） 或 （D ） 且x xyx0y7若方程 中， 满足 和 ，则方2cbxa)(acb,0ca0cba程的根是（ ）（A）1，0 （B）-1，0 （C）1，-1 （D ）无法确定三、解方程1. 选用合适的方法解下列方程（1） （2）)4(5)(2x x4)1(2（3） （4）22)1()(xx 3102x四、解答题1. 已知等腰三角形底边长为 8，腰长是方程 的一个根，求这个三角0292x形的腰。92. 已知一元二次方程 有一个根为零，求 的0437122mxm）（ m值。
