1、中考专题-三角形 一选择题（共 3 小题）1 （2014山西）如图，点 E 在正方形 ABCD 的对角线 AC 上，且 EC=2AE，直角三角形 FEG 的两直角边 EF、EG 分别交 BC、DC 于点 M、N若正方形 ABCD 的边长为 a，则重叠部分四边形 EMCN 的面积为（ ）Aa2 Ba2 Ca2 Da2考点： 全等三角形的判定与性质；正方形的性质菁优网版权所有专题： 几何图形问题；压轴题分析： 过 E 作 EPBC 于点 P，EQCD 于点 Q， EPMEQN，利用四边形 EMCN 的面积等于正方形PCQE 的面积求解解答： 解：过 E 作 EPBC 于点 P，EQ CD 于点 Q
2、，四边形 ABCD 是正方形，BCD=90，又EPM=EQN=90 ，PEQ=90，PEM+MEQ=90，三角形 FEG 是直角三角形，NEF=NEQ+MEQ=90，PEM=NEQ，AC 是BCD 的角平分线，EPC= EQC=90，EP=EQ，四边形 PCQE 是正方形，在EPM 和EQN 中，EPMEQN（ASA ）SEQN=SEPM，四边形 EMCN 的面积等于正方形 PCQE 的面积，正方形 ABCD 的边长为 a，AC= a，EC=2AE，EC= a，EP=PC= a，正方形 PCQE 的面积= a a= a2，四边形 EMCN 的面积= a2，故选：D点评： 本题主要考查了正方形的
3、性质及全等三角形的判定及性质，解题的关键是作出辅助线，证出EPMEQN2 （2014武汉模拟）如图 A=ABC=C=45，E 、F 分别是 AB、BC 的中点，则下列结论，EFBD， EF= BD，ADC=BEF+ BFE， AD=DC，其中正确的是（ ）A B C D考点： 三角形中位线定理；全等三角形的判定与性质菁优网版权所有专题： 压轴题分析： 根据三角形的中位线定理“三角形的中位线平行于第三边 ”同时利用三角形的全等性质求解解答： 解：如下图所示：连接 AC，延长 BD 交 AC 于点 M，延长 AD 交 BC 于 Q，延长 CD 交 AB 于PABC=C=45CPABABC=A=45
4、AQBC点 D 为两条高的交点，所以 BM 为 AC 边上的高，即：BMAC由中位线定理可得 EFAC， EF= ACBDEF，故 正确DBQ+DCA=45， DCA+CAQ=45，DBQ=CAQ，A=ABC， AQ=BQ，BQD=AQC=90，根据以上条件得AQC BQD，BD=AC EF= AC，故正确A=ABC=C=45DAC+DCA=180（A+ABC+C）=45ADC=180（DAC+DCA）=135= BEF+BFE=180ABC故 ADC=BEF+BFE 成立；无法证明 AD=CD，故错误故选 B点评： 本题考点在于三角形的中位线和三角形全等的判断及应用3 （2013河北模拟）四
5、边形 ABCD 中，AC 和 BD 交于点 E，若 AC 平分DAB，且 AB=AE，AC=AD ，有以下四个命题：ACBD； BC=DE； DBC= DAB；AB=BE=AE其中命题一定成立的是（ ）A B C D考点： 全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质菁优网版权所有专题： 压轴题分析： 根据等腰三角形的性质，等边三角形的判定，圆内接四边形的性质，全等三角形的性质判断各选项是否正确即可解答： 解： AB=AE，一个三角形的直角边和斜边一定不相等， AC 不垂直于 BD，错误；利用边角边定理可证得ADEABC，那么 BC=DE，正确；由ADE ABC 可得ADE=ACB，那么 A，B
6、，C，D 四点共圆，DBC=DAC= DAB，正确；ABE 不一定是等边三角形，那么 不一定正确；正确，故选 B点评： 此题主要考查了全等三角形的性质，以及直角三角形中斜边最长；全等三角形的对应边相等；等边三角形的三边相等二填空题（共 6 小题）4 （2015泰安一模）如图，将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的正三角形，如此继续下去，结果如下表，则 an= 3n+1 （用含 n 的代数式表示） 所剪次数 123 4 n正三角形个数471013 an考点： 等边三角形的性质菁优网版权所有专题： 压轴题；规律型分析： 根据图跟表我们可以看出 n 代表
7、所剪次数，a n 代表小正三角形的个数，也可以根据图形找出规律加以求解解答： 解：由图可知没剪的时候，有一个三角形，以后每剪一次就多出三个，所以总的个数 3n+1故答案为：3n+1点评： 此题主要考验学生的逻辑思维能力以及应变能力5 （2013宜兴市一模）如图，在 ABC 中，AC=BCAB，点 P 为ABC 所在平面内一点，且点 P 与ABC 的任意两个顶点构成 PAB，PBC ，PAC 均是等腰三角形，则满足上述条件的所有点 P 的个数为 6 个考点： 等腰三角形的判定与性质菁优网版权所有专题： 压轴题分析： 根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，作出 AB 的垂直平分线，首先A
8、BC 的外心满足，再根据圆的半径相等，以点 C 为圆心，以 AC 长为半径画圆，AB 的垂直平分线相交于两点，分别以点 A、B 为圆心，以 AC 长为半径画圆，与 AB 的垂直平分线相交于一点，再分别以点 A、B 为圆心，以 AB 长为半径画圆，与C 相交于两点，即可得解解答： 解：如图所示，作 AB 的垂直平分线， ABC 的外心 P1 为满足条件的一个点，以点 C 为圆心，以 AC 长为半径画圆，P 2、P 3 为满足条件的点，分别以点 A、B 为圆心，以 AC 长为半径画圆，P 4 为满足条件的点，分别以点 A、B 为圆心，以 AB 长为半径画圆，P 5、P 6 为满足条件的点，综上所述
9、，满足条件的所有点 P 的个数为 6故答案为：6点评： 本题考查了等腰三角形的判定与性质，主要利用了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，三角形的外心到三个顶点的距离相等，圆的半径相等的性质，作出图形更形象直观6 （2013齐齐哈尔模拟）如图， ABC 是边长为 1 的等边三角形，取 BC 的中点 E，作EDAB，EFAC，得到四边形 EDAF，它的面积记为 S1，取 BE 的中点 E1，作 E1D1FB，E 1F1EF得到四边形 E1D1FF1，它的面积记作 S2，照此规律，则 S2012= 考点： 等边三角形的性质；三角形中位线定理菁优网版权所有专题： 压轴题；规律型分析：求出
10、ABC 的面积是 ，求出 DE 是三角形 ABC 的中位线，根据相似三角形的性质得出 = ，求出 SCDE= ，S BEF= ，求出 S1= ，同理 S2= SBEF= ，S 3= S4= ，推出 S2012= （2011 个 ） ，即可得出答案解答： 解： BC 的中点 E，ED AB，E 为 BC 中点，DE= AB，DEAB，CDECAB， = =（ ） 2= ，ABC 的面积是 1 =SCDE= ，推理 = ，SBEF= S1= = ，同理 S2= SBEF= ，S3= S4= ，S2012= （2011 个 ） ，= = ，故答案为： 点评： 本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三
11、角形的性质的应用，解此题的关键是总结出规律，题目比较好，但是有一定的难度7 （2015和平区模拟）如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 BC，CD 上，如果AE=4，EF=3，AF=5 ，那么正方形 ABCD 的面积等于 考点： 勾股定理的逆定理；解分式方程；相似三角形的判定与性质菁优网版权所有专题： 压轴题分析： 根据ABEECF，可将 AB 与 BE 之间的关系式表示出来，在 RtABE 中，根据勾股定理AB2+BE2=AC2，可将正方形 ABCD 的边长 AB 求出，进而可将正方形 ABCD 的面积求出解答： 解：设正方形的边长为 x，BE 的长为 aAEB+BAE=AEB
12、+CEF=90BAE=CEFB=CABEECF = ，即 =解得 x=4a在 RtABE 中，AB 2+BE2=AE2x2+a2=42将代入，可得：a=正方形 ABCD 的面积为：x 2=16a2= 点评： 本题是一道根据三角形相似和勾股定理来求正方形的边长结合求解的综合题隐含了整体的数学思想和正确运算的能力注意后面可以直接这样 x2+a2=42， x2+（ ）2=42，x 2+ x2=42， x2=16，x 2= 无需算出算出 x8 （2015湖州模拟）已知 a，b，c 是直角三角形的三条边，且 abc ，斜边上的高为 h，则下列说法中正确的是 （只填序号）a2b2+h4=（a 2+b2+1
13、）h 2； b4+c2h2=b2c2； 由 可以构成三角形；直角三角形的面积的最大值是 考点： 勾股定理的逆定理；勾股定理菁优网版权所有专题： 计算题；压轴题分析： 根据直角三角形的面积公式和勾股定理将各式化简，等式成立者即为正确答案解答： 解：根据直角三角形的面积的不同算法，有 ab= ch，解得 h= 将 h= 代入 a2b2+h4=（a 2+b2+1）h 2，得a2b2+（ ） 4=（a 2+b2+1） （ ） 2，得a2b2+（ ） 4=（c 2+1） （ ） 2，得a2b2+（ ） 4=a2b2+ ，得即（ ） 4= ，a2b2=c2，不一定成立，故本选项错误；将 h= 代入 b4+
14、c2h2=b2c2，得b4+c2（ ） 2=b2c2，b4+b2a2=b2c2，整理得 b4+b2a2b2c2=0，b2（b 2+a2c2）=0，b2+a2c2=0，b2（ b2+a2c2）=0 成立，故本选项正确；b2+a2=c2，（ ） 2+（ ） 2=a+b，（ ） 2=c，不能说明（ ） 2+（ ） 2=（ ） 2，故本选项错误；直角三角形的面积为 ab，随 ab 的变化而变化，所以无最大值，故本选项错误故答案为点评： 此题不仅考查了勾股定理，还考查了面积法求直角三角形的高，等式变形计算较复杂，要仔细9 （2013贺州）如图， A、B、C 分别是线段 A1B，B 1C，C 1A 的中点
15、，若ABC 的面积是 1，那么A1B1C1 的面积 7 考点： 三角形的面积菁优网版权所有专题： 压轴题分析： 连接 AB1，BC 1，CA 1，根据等底等高的三角形的面积相等求出 ABB1，A 1AB1 的面积，从而求出A 1BB1 的面积，同理可求 B1CC1 的面积， A1AC1 的面积，然后相加即可得解解答： 解：如图，连接 AB1，BC 1，CA 1，A、 B 分别是线段 A1B，B 1C 的中点，SABB1=SABC=1，SA1AB1=SABB1=1，SA1BB1=SA1AB1+SABB1=1+1=2，同理：S B1CC1=2，S A1AC1=2，A1B1C1 的面积=S A1BB
16、1+SB1CC1+SA1AC1+SABC=2+2+2+1=7故答案为：7点评： 本题考查了三角形的面积，主要利用了等底等高的三角形的面积相等，作辅助线把三角形进行分割是解题的关键三解答题（共 5 小题）10 （2013昭通）已知 ABC 为等边三角形，点 D 为直线 BC 上的一动点（点 D 不与 B、C 重合） ，以AD 为边作菱形 ADEF（A、D、E 、F 按逆时针排列） ，使 DAF=60，连接 CF（1）如图 1，当点 D 在边 BC 上时，求证：BD=CF；AC=CF+CD；（2）如图 2，当点 D 在边 BC 的延长线上且其他条件不变时，结论 AC=CF+CD 是否成立？若不成立
17、，请写出 AC、CF、CD 之间存在的数量关系，并说明理由；（3）如图 3，当点 D 在边 CB 的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出 AC、CF 、CD 之间存在的数量关系考点： 全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；菱形的性质菁优网版权所有专题： 几何综合题；压轴题分析： （1）根据已知得出 AF=AD， AB=BC=AC，BAC= DAF=60，求出 BAD=CAF，证BADCAF，推出 CF=BD 即可；（2）求出BAD=CAF ，根据 SAS 证BAD CAF，推出 BD=CF 即可；（3）画出图形后，根据 SAS 证BAD CAF，推出 CF=BD 即可解答： （1
18、）证明：菱形 AFED，AF=AD，ABC 是等边三角形，AB=AC=BC，BAC=60 =DAF，BACDAC=DAFDAC，即BAD=CAF，在 BAD 和CAF 中，BADCAF，CF=BD，CF+CD=BD+CD=BC=AC，即BD=CF， AC=CF+CD（2）解：AC=CF+CD 不成立， AC、CF 、CD 之间存在的数量关系是 AC=CFCD，理由是：由（1）知：AB=AC=BC，AD=AF，BAC= DAF=60，BAC+DAC=DAF+DAC，即BAD=CAF，在 BAD 和CAF 中，BADCAF，BD=CF，CFCD=BDCD=BC=AC，即 AC=CFCD（3）AC=CD CF理由是：BAC=DAF=60，DAB=CAF，在 BAD 和CAF 中，BADCAF（SAS） ，CF=BD，CDCF=CDBD=BC=AC，即 AC=CDCF
