1、1与球有关的切、接问题1球的表面积公式：S4R 2；球的体积公式 V R3432与球有关的切、接问题中常见的组合：(1)正四面体与球：如图，设正四面体的棱长为 a，内切球的半径为 r，外接球的半径为 R，取 AB 的中点为 D，连接 CD，SE 为正四面体的高，在截面三角形 SDC 内作一个与边 SD 和 DC 相切，圆心在高 SE 上的圆因为正四面体本身的对称性，内切球和外接球的球心同为 O.此时，COOS R，OEr，SE a，CE a，则有 Rr a，R 2r 2|CE |2 ，解得23 33 23 a23R a，r a.64 612(2)正方体与球：正方体的内切球：截面图为正方形 EF
2、HG 的内切圆，如图所示设正方体的棱长为 a，则| OJ|r (r 为内切球半径) a2与正方体各棱相切的球：截面图为正方形 EFHG 的外接圆，则|GO | R a.22正方体的外接球：截面图为正方形 ACC1A1 的外接圆，则 |A1O|R a.32(3)三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球：如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等，则可以补形为一个正方体，正方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心即三棱锥A1AB1D1 的外接球的球心和正方体 ABCDA1B1C1D1 的外接球的球心重合如图，设 AA1a，则 R a.32如果三棱锥的三条侧棱互相垂直但不相等，则可以补形为一个长方体，长方体的外
3、接球的球心就是三棱锥的外接球的球心R 2 (l 为长方体的体对角线长)a2 b2 c24 l242角度一：正四面体的内切球1(2015长春模拟)若一个正四面体的表面积为 S1，其内切球的表面积为 S2，则_.S1S2解析：设正四面体棱长为 a，则正四面体表面积为 S14 a2 a2，其内切球半径34 3为正四面体高的 ，即 r a a，因此内切球表面积为 S24r 2 ，则14 14 63 612 a26 .S1S2 3a26a2 63角度二：直三棱柱的外接球2(2015唐山统考)如图，直三棱柱 ABCA1B1C1 的六个顶点都在半径为 1 的半球面上，ABAC ，侧面 BCC1B1 是半球底
4、面圆的内接正方形，则侧面 ABB1A1 的面积为( )A2 B1 C. D.222解析：选 C 由题意知，球心在侧面 BCC1B1的中心 O 上， BC 为截面圆的直径， BAC90 ， ABC 的外接圆圆心 N 是 BC 的中点，同理A1B1C1的外心 M 是 B1C1的中心设正方形 BCC1B1的边长为 x，Rt OMC1中，OM ，MC 1 ，OC 1R1(R 为球的半径) ，x2 x2 2 21，即 x ，则 ABAC1，S 矩形 ABB1A1 1(x2) (x2) 2 2.2角度三：正方体的外接球3一个正方体削去一个角所得到的几何体的三视图如图所示(图中三个四边形都是边长为 2 的正
5、方形)，则该几何体外接球的体积为 _解析：依题意可知，新的几何体的外接3球也就是原正方体的外接球，要求的直径就是正方体的体对角线；2R2 (R 为球的半3径)， R ， 球的体积 V R34 .343 3答案：4 3角度四：四棱锥的外接球4(2014大纲卷)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 4，底面边长为2，则该球的表面积为( )A. B16 C 9 D.814 274解析：选 A 如图所示，设球半径为 R，底面中心为 O 且球心为O， 正四棱锥 PABCD 中 AB2，AO .2PO 4，在 RtAOO中，AO 2AO 2OO 2，R 2( )2(4R) 2，解得2R ， 该球的
6、表面积为 4R24 2 ，故选 A.94 (94) 814类题通法“切” “接”问题的处理规律1 “切”的处理解决与球的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作2 “接”的处理把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径牛刀小试1(2015云南一检)如果一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图都是半径等于 5的圆，那么这个空间几何体的表面积等于( )A100 B. C25 D.1003 253解析：选 A 易知该几何体为球
7、，其半径为 5，则表面积为 S4R 2100.42(2014陕西高考)已知底面边长为 1，侧棱长为 的正四棱柱的各顶点均在同一个2球面上，则该球的体积为( )A. B4 C 2 D.323 43解析：选 D 因为该正四棱柱的外接球的半径是四棱柱体对角线的一半，所以半径r 1，所以 V 球 13 .故选 D.1212 12 22 43 433已知正六棱柱的 12 个顶点都在一个半径为 3 的球面上，当正六棱柱的底面边长为 时，其高的值为( )6A3 B. C2 D23 3 6 3解析：选 D 设正六棱柱的高为 h，则可得( )2 3 2，解得 h2 .6h24 34(2015山西四校联考)将长、
8、宽分别为 4 和 3 的长方形 ABCD 沿对角线 AC 折起，得到四面体 ABCD，则四面体 ABCD 的外接球的体积为 _解析：设 AC 与 BD 相交于 O，折起来后仍然有 OAOBOCOD ，外接球的半径 r ，从而体积 V 3 .32 422 52 43 (52) 12565一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶点和底面圆周在球 O 的球面上，则该圆锥的体积与球 O 的体积的比值为 _解析：设等边三角形的边长为 2a，则 V 圆锥 a2 a a3；又 R2a 2( aR)13 3 33 32，所以 R a，故 V 球 3 a3，则其体积比为 .233 43(233a) 32327 9
9、32高考全国课标卷真题追踪1 （15 课标 1 理）已知 是球 的球面上两点， , 为该球面上的动点，,ABO09AOBC若 三棱锥体积的最大值为 36，则球 的表面积为（ C ）OC(A) (B) (C) (D)36412562.（13 课标 1 理）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高 8cm,将一个球放在容器口,再向 容器注水,当球面恰好5接触水面时测得水深为 6cm,如不计容器的厚度,则球的体积为( A )（A） （B） 3cm503c86（C） （D）172m2043.（12 课标理）已知三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上, 是边长为SACOABC的正三角形, 为球 的
10、直径,且 ,则此棱锥的体积为（ A ）SO(A) (B) (C) （D）26362324.（12 课标文）平面 截球 的球面所得圆的半径为 1,球心 到平面 的距离为 ,O2则此球的体积为 （ B ）（A） （B）4 （C）4 （D）6 6 3 6 35.（10 新课标理）设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱长都为 ,顶点都在一个球面上,则a该球的表面积为( B )(A) (B) (C) (D) 2a273a21325a6.（10 新课标文）设长方体的长、宽、高分别为 ,其顶点都在一个球面上,则该球a的表面积为( B ) （A） （B） （C） （D） 23a26a2124a7 （07 新课标文）
11、已知三棱锥 的各顶点都在一个半径为 的球面上,球心 在SArO上, 底面 , ,则球的体积与三棱锥体积之比是（）BSOCr. . . .2348.（13 新课标 2 文）已知正四棱锥 的体积为 ,底面边长为 ,则以 为OABCD23球心, 为半径的球的表面积为 。OA249.（13新课标1文）已知 是球 的直径 上一点, , 平面 ,H:1:2HBA为垂足, 截球 所得截面的面积为 ,则球 的表面积为_。H610.（11 新课标理）已知矩形 的顶点都在半径为 4 的球 的球面上,且ABCDO,则棱锥 的体积为 .6,23ABCO8311.（11 新课标文）已知两个圆锥有公共底面,且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一球面上.若圆锥底面面积是这个球面面积的 ,则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较16大者的高的比值为 .3112.（08 新课标理）一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直底面.已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为 ,底面周长为 3,那么这个球的体积为9843
