1、思维教育*数学第 1 页第二十一章 一元二次方程一、知识结构：一元二次方程 、二、考点精析考点一、概念(1)定义： 只含有一个未知数，并且 未知数的最高次数是 2，这样的 整式方程就是一元二次方程。(2)一般表达式： )0(2acbxa难点：如何理解 “未知数的最高次数是 2”：该项系数不为“0” ；未知数指数为“2” ；若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。典型例题：例 1 下列方程中是关于 x 的一元二次方程的是（ ）A B 123x 021xC D 02cba变式：当 k 时，关于 x 的方程 是一元二次方程。32k例 2 方程 是关于 x 的一元二次方
2、程，则 m 的值为 。13mx针对练习：1、方程 的一次项系数是 ，常数项是 。7822、若方程 是关于 x 的一元一次方程，01mx求 m 的值；写出关于 x 的一元一次方程。3、若方程 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的取值范围是 。112xm4、若方程 nxm+xn-2x2=0 是一元二次方程，则下列不可能的是（ ）A.m=n=2 B.m=2,n=1 C.n=2,m=1 D.m=n=1考点二、方程的解概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。应用：利用根的概念求代数式的值； 典型例题：例 1、已知 的值为 2，则 的值为 。32y42y思维教育*数学第 2 页例 2、关于 x
3、的一元二次方程 的一个根为 0，则 a 的值为 。0422axa例 3、已知关于 x 的一元二次方程 的系数满足 ，则此方程cbbc必有一根为 。例 4、已知 是方程 的两个根， 是方程 的两个根，ba, 042mx, 0582my则 m 的值为 。针对练习：1、已知方程 的一根是 2，则 k 为 ，另一根是 。12kx2、已知关于 x 的方程 的一个解与方程 的解相同。0231x求 k 的值； 方程的另一个解。3、已知 m 是方程 的一个根，则代数式 。012x m24、已知 是 的根，则 。a3a625、方程 的一个根为（ ）2cxbA B 1 C D 1cba6、若 。yx、yx324,
4、0352考点三、解法方法：直接开方法；因式分解法；配方法；公式法关键点：降次类型一、直接开方法： mxmx,02对于 ， 等形式均适用直接开方法ax2 2nb典型例题：例 1、解方程： =0; ;08122165x;09132x例 2、若 ，则 x 的值为 。2269xx针对练习：下列方程无解的是（ ）A. B. C. D.132202x132092类型二、因式分解法: 21x2,或方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0” ，思维教育*数学第 3 页方程形式：如 ， ，22nbxmaxcxabxa02ax典型例题：例 1、 的根为（ ）352A B C D xx3,251x52x
5、例 2、若 ，则 4x+y 的值为 。0442yy变式 1： 。22,6b、aba变式 2：若 ，则 x+y 的值为 。3yx变式 3：若 ， ，则 x+y 的值为 。142282x例 3、方程 的解为（ ）06xA. B. C. D.21、x321、x321、x21、x针对练习：1、下列说法中：方程 的二根为 ， ，则02qpx1x2 )(212xqpx . )4(286 3)(65aba )(2 yxyx方程 可变形为0713 0)713(x正确的有（ ）A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个2、以 与 为根的一元二次方程是（ ）A B062x 062xC Dyy3、写出一个一元二
6、次方程，要求二次项系数不为 1，且两根互为倒数： 写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为 1，且两根互为相反数： 4、若实数 x、y 满足 ，则 x+y 的值为（ ）023yxA、-1 或-2 B、-1 或 2 C、1 或-2 D、1 或 25、方程： 的解是 。12类型三、配方法 0acbxa 224acbx思维教育*数学第 4 页在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。典型例题：例 1、 试用配方法说明 的值恒大于 0。32x例 2、 已知 x、y 为实数，求代数式 的最小值。7422yx例 3、 已知 为实数，求 的值。、xyyx013642 yx例
7、4、 分解因式： 2针对练习：1、试用配方法说明 的值恒小于 0。47102x2、已知 ，则 .2x13、若 ，则 t 的最大值为 ，最小值为 。93t类型四、公式法条件： 04,02acba且公式： ,x04,2acb且典型例题：例 1、选择适当方法解下列方程： .632x.863x0142x 01432x52131xx例 2、在实数范围内分解因式：（1） ； （2） . 3x1842x225yx思维教育*数学第 5 页说明：对于二次三项式 的因式分解，如果在有理数范围内不能分解，cbxa2一般情况要用求根公式，这种方法首先令 =0，求出两根，再写成cbxa2= .cbxa2 )(21xa分
8、解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去.类型五、 “降次思想”的应用求代数式的值； 解二元二次方程组。典型例题：例 1、 已知 ，求代数式 的值。0232x123x例 2、如果 ，那么代数式 的值。012x723x例 3、已知 是一元二次方程 的一根，求 的值。a0132x1523a例 4、用两种不同的方法解方程组)2(.0651,22yx说明：解二元二次方程组的具体思维方法有两种：先消元，再降次；先降次，再消元。但都体现了一种共同的数学思想化归思想，即把新问题转化归结为我们已知的问题.考点四、根的判别式 acb42根的判别式的作用：定根的个数；求待定系数的值；应用于其
9、它。典型例题：例 1、若关于 的方程 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 。x012xk例 2、关于 x 的方程 有实数根，则 m 的取值范围是( )m思维教育*数学第 6 页A. B. C. D.10、m01m1例 3、已知关于 x 的方程 022kx(1)求证：无论 k 取何值时，方程总有实数根；(2)若等腰 ABC 的一边长为 1，另两边长恰好是方程的两个根，求 ABC 的周长。 例 4、已知二次三项式 是一个完全平方式，试求 的值.2)6(92mx m例 5、 为何值时，方程组 有两个不同的实数解？有两个相同的实数解？m.3,62ymx针对练习：1、当 k 时，关于 x 的二次
10、三项式 是完全平方式。92kx2、当 取何值时，多项式 是一个完全平方式？这个完全平方式是什么？k4323、已知方程 有两个不相等的实数根，则 m 的值是 .022mx4、 为何值时，方程组k.0124,2yxk（1）有两组相等的实数解，并求此解；（2）有两组不相等的实数解；（3）没有实数解. 5、当 取何值时，方程 的根与 均为有理数？k 042342 kmxx考点五、方程类问题中的“分类讨论”典型例题：例 1、关于 x 的方程 0321mx思维教育*数学第 7 页有两个实数根，则 m 为 ,只有一个根，则 m 为 。 例 2、 不解方程，判断关于 x 的方程 根的情况。322kx例 3、如
11、果关于 x 的方程 及方程 均有实数根，问这两方程022kx02kx是否有相同的根？若有，请求出这相同的根及 k 的值；若没有，请说明理由。考点六、应用解答题“碰面”问题；“复利率”问题；“几何”问题；“最值”型问题；“图表”类问题典型例题：1、五羊足球队的庆祝晚宴，出席者两两碰杯一次，共碰杯 990 次，问晚宴共有多少人出席？2、某小组每人送他人一张照片，全组共送了 90 张，那么这个小组共多少人？3、北京申奥成功，促进了一批产业的迅速发展，某通讯公司开发了一种新型通讯产品投放市场，根据计划，第一年投入资金 600 万元，第二年比第一年减少 ，第三年比第二年减少 ，该产品第3121一年收入资
12、金约 400 万元，公司计划三年内不仅要将投入的总资金全部收回，还要盈利 ，要实现3这一目标，该产品收入的年平均增长率约为多少？（结果精确到 0.1， ）61.34、某商店经销一种销售成本为每千克 40 元的水产品，据市场分析，若按每千克 50 元销售，一个月能售出 500 千克，销售单价每涨 1 元，月销售量就减少 10 千克，针对此回答：（1）当销售价定为每千克 55 元时，计算月销售量和月销售利润。（2）商店想在月销售成本不超过 10000 元的情况下，使得月销售利润达到 8000 元，销售单价应定为多少？5、将一条长 20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。
13、（1）要使这两个正方形的面积之和等于 17cm2，那么这两段铁丝的长度分别为多少？（2）两个正方形的面积之和可能等于 12cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由。思维教育*数学第 8 页（3）两个正方形的面积之和最小为多少？6、 A、 B 两地间的路程为 36 千米.甲从 A 地，乙从 B 地同时出发相向而行，两人相遇后，甲再走 2小时 30 分到达 B 地，乙再走 1 小时 36 分到达 A 地，求两人的速度.考点七、根与系数的关系前提：对于 而言，当满足 、 时，02cbxa0a才能用韦达定理。主要内容： 2121,应用：整体代入求值。典型例题：例 1、已知一个直角三角形的
14、两直角边长恰是方程 的两根，则这个直角三0782x角形的斜边是（ ）A. B.3 C.6 D.3 6例 2、已知关于 x 的方程 有两个不相等的实数根 ，012xkx 21,x（1）求 k 的取值范围；（2）是否存在实数 k，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由。例 3、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为 1）时，小明因看错常数项，而得到解为 8 和 2，小红因看错了一次项系数，而得到解为-9 和-1。你知道原来的方程是什么吗？其正确解应该是多少？例 4、已知 ， ， ，求 。ba012a012bba变式：若 ， ，则 的值为 。2例 5、已知 是方程 的两个根，那么 .,2x34针对练习：1、解方程组 )2(51,32yx2已知 ， ，求 的值。472a472b)(aba3、已知 是方程 的两实数根，求 的值。21,x092x 637231xx
