1、APCDBPCGFBQADE初二数学经典题型1已知：如图，P 是正方形 ABCD 内点，PADPDA15 0求证：PBC 是正三角形 证明如下。首先，PA=PD，PAD=PDA=（180-150）2=15，PAB=90-15=75。在正方形 ABCD 之外以 AD 为底边作正三角形 ADQ， 连接 PQ， 则PDQ=60+15=75，同样PAQ=75，又 AQ=DQ,，PA=PD，所以PAQPDQ， 那么PQA=PQD=602=30，在PQA 中，APQ=180-30-75=75=PAQ=PAB，于是 PQ=AQ=AB，显然PAQPAB，得PBA=PQA=30，PB=PQ=AB=BC，PBC=
2、90-30=60，所以ABC 是正三角形。2.已知：如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，M、N 分别是 AB、CD 的中点，AD、BC 的延长线交 MN 于 E、F求证：DENF证明:连接 AC,并取 AC 的中点 G,连接 GF,GM.又点 N 为 CD 的中点,则 GN=AD/2;GNAD,GNM=DEM;(1)同理:GM=BC/2;GMBC,GMN=CFN;(2)又 AD=BC,则:GN=GM,GNM=GMN.故:DEM=CFN.3、如图，分别以ABC 的 AC 和 BC 为一边，在ABC 的外侧作正方形 ACDE 和正方形CBFG，点 P 是 EF 的中点求证：点 P 到边 AB
3、的距离等于 AB 的一半证明：分别过 E、C、F 作直线 AB 的垂线，垂足分别为 M、O、N，在梯形 MEFN 中，WE 平行 NF因为 P 为 EF 中点，PQ 平行于两底所以 PQ 为梯形 MEFN 中位线，所以 PQ（MENF）/2又因为，角 0CB角 OBC90角 NBF角 CBO所以角 OCB=角 NBF而角 C0B角 Rt角 BNFCB=BF所以OCB 全等于NBFMEA 全等于OAC（同理）所以 EMAO，0BNFANFECDM B所以 PQ=AB/2.4、设 P 是平行四边形 ABCD 内部的一点，且PBAPDA求证：PABPCB过点 P 作 DA 的平行线，过点 A 作 D
4、P 的平行线，两者相交于点 E；连接 BE 因为 DP/AE，AD/PE 所以，四边形 AEPD 为平行四边形 所以，PDA=AEP 已知，PDA=PBA 所以，PBA=AEP 所以，A、E、B、P 四点共圆 所以，PAB=PEB 因为四边形 AEPD 为平行四边形，所以：PE/AD，且 PE=AD 而，四边形 ABCD 为平行四边形，所以：AD/BC，且 AD=BC 所以，PE/BC，且 PE=BC 即，四边形 EBCP 也是平行四边形 所以，PEB=PCB 所以，PAB=PCB5.P 为正方形 ABCD 内的一点，并且 PAa，PB2a，PC=3a 正方形的边长解：将BAP 绕 B 点旋转
5、 90使 BA 与 BC 重合，P 点旋转后到 Q 点，连接 PQ因为BAPBCQ所以 APCQ，BPBQ，ABPCBQ，BPABQC因为四边形 DCBA 是正方形所以CBA90，所以ABPCBP90，所以CBQCBP90即PBQ90，所以BPQ 是等腰直角三角形所以 PQ2*BP，BQP45因为 PA=a，PB=2a，PC=3a所以 PQ22a，CQa，所以 CP29a2，PQ2CQ28a2a29a2所以 CP2PQ2CQ2，所以CPQ 是直角三角形且CQA90所以BQC9045135，所以BPABQC135作 BMPQ则BPM 是等腰直角三角形所以 PMBMPB/22a/22a所以根据勾股
6、定理得：AB2AM2BM2(2aa)2(2a)2522a2所以 AB(522)a6.一个圆柱形容器的容积为 V 立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管倍的大水管注水。向容器中注满水的全过程共用ACBPDPA DCB时间 t 分。求两根水管各自注水的速度。解：设小水管进水速度为 x，则大水管进水速度为 4x。由题意得： tv82解之得： t5经检验得： 是原方程解。vx小口径水管速度为 ，大口径水管速度为 。t8tv257如图 11，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点 M（2， 1-） ，且P（ 1-，2）为双曲线上的一点， Q 为坐标平面上
7、一动点， PA 垂直于 x 轴， QB 垂直于y 轴，垂足分别是 A、 B （1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；（2）当点 Q 在直线 MO 上运动时，直线 MO 上是否存在这样的点 Q，使得 OBQ 与 OAP 面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由； （3）如图 12，当点 Q 在第一象限中的双曲线上运动时，作以 OP、 OQ 为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形 OPCQ 周长的最小值解：（1）设正比例函数解析式为 ykx，将点 M（ ， ）坐标代入得 12k=，所以正21比例函数解析式为 12= 同样可得，反比例函数解析式为 yx （2）当点 Q 在直线
8、DO 上运动时，设点 Q 的坐标为 1()2m， ， 于是 214OBSm =，而 (1)AP -，图11xyBhx = 2xAOMQP图12xy fx = 2xBCAOMPQ所以有， 214m=，解得 2 所以点 Q 的坐标为 1()， 和 (1)Q，- （3）因为四边形 OPCQ 是平行四边形，所以 OP CQ， OQ PC，而点 P（ ， ）是定点，所以 OP 的长也是定长，所以要求平行四边形 OPCQ 周长的2最小值就只需求 OQ 的最小值因为点 Q 在第一象限中双曲线上，所以可设点 Q 的坐标为 2()n， ，由勾股定理可得 2224()4Onn=+-+，所以当 ()0n-即 -时，
9、 O有最小值 4，又因为 OQ 为正值，所以 OQ 与 2Q同时取得最小值，所以 OQ 有最小值 2 由勾股定理得 OP 5，所以平行四边形 OPCQ 周长的最小值是8.如图， P 是边长为 1 的正方形 ABCD 对角线 AC 上一动点（ P 与 A、 C 不重合） ，点 E 在射线BC 上，且 PE=PB.（1）求证： PE=PD ； PE PD；（2）设 AP=x, PBE 的面积为 y. 求出 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围； 当 x 取何值时， y 取得最大值，并求出这个最大值.解：（1）证法一： 四边形 ABCD 是正方形， AC 为对角线， BC=DC, BC
10、P= DCP=45. PC=PC， PBC PDC （SAS）. PB= PD， PBC= PDC. 又 PB= PE ， PE=PD. （i）当点 E 在线段 BC 上( E 与 B、 C 不重合)时， PB=PE， PBE= PEB， PEB= PDC， PEB+ PEC= PDC+ PEC=180， DPE=360-( BCD+ PDC+ PEC)=90， PE PD. ）（ii）当点 E 与点 C 重合时，点 P 恰好在 AC 中点处，此时， PE PD.（iii）当点 E 在 BC 的延长线上时，如图.AB CDPE12H PEC= PDC，1=2， DPE= DCE=90， PE
11、PD.综合（i） （ii） （iii）, PE PD. （2） 过点 P 作 PF BC，垂足为 F，则 BF=FE. AP=x， AC= ，2 PC= - x， PF=FC= .x21)(BF=FE=1-FC=1-( )= .x1 S PBE=BFPF= ( ) . 2x2即 (0 x ). xy . 41)(122 0 ，a 当 时， y 最大值 . 2x（1）证法二： 过点 P 作 GF AB，分别交 AD、 BC 于 G、 F. 如图所示. 四边形 ABCD 是正方形， 四边形 ABFG 和四边形 GFCD 都是矩形， AGP 和 PFC 都是等腰直角三角形. GD=FC=FP， GP
12、=AG=BF， PGD= PFE=90.又 PB=PE， BF=FE， GP=FE， EFP PGD （SAS）. PE=PD. 1=2. 1+3=2+3=90. DPE=90. PE PD. （2） AP=x， BF=PG= ， PF=1- . 2x2 S PBE=BFPF= ( ) . 1即 (0 x ). xy12AB CPDEFAB CPDEFG123 . 41)2(21xxy 0 ，a 当 时， y 最大值 .x49、如图，直线 y=k1x+b 与反比例函数 y=k2x 的图象交于 A（1，6） ，B（a，3）两点（1）求 k1、k 2的值（2）直接写出 k1x+b-k2x0 时 x
13、 的取值范围；（3）如图，等腰梯形 OBCD 中，BCOD，OB=CD，OD 边在 x 轴上，过点 C 作 CEOD 于点E，CE 和反比例函数的图象交于点 P，当梯形 OBCD 的面积为 12 时，请判断 PC 和 PE 的大小关系，并说明理由10、如图 12，已知直线 12yx与双曲线 交于 AB， 两点，且点 的横(0)kyxA坐标为 4（1）求 的值；k（2）若双曲线 (0)ykx上一点 的纵坐标为 8，求 OC 的面积；C（3）过原点 的另一条直线 l交双曲线 于 PQ， 两点（ 点在第一象限）O(0)kyx，若由点 为顶点组成的四边形面积为 ，求点 的坐标ABPQ， ， ， 24图 12OxAyB
