1、第 1 页（共 107 页）二次函数压轴题强化训练（带详细答案）一解答题（共 30 小题）1 （2016深圳模拟）已知：如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 与 x 轴、y轴的交点分别为 A、B，将OBA 对折，使点 O 的对应点 H 落在直线 AB 上，折痕交 x 轴于点 C（1）直接写出点 C 的坐标，并求过 A、B、C 三点的抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为 D，在直线 BC 上是否存在点 P，使得四边形 ODAP 为平行四边形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由；（3）设抛物线的对称轴与直线 BC 的交点为 T，Q 为线段 BT 上一点，直接写出|QAQO|的取值
2、范围2 （2015枣庄）如图，直线 y=x+2 与抛物线 y=ax2+bx+6（a 0）相交于 A（ ， ）和B（4，m） ，点 P 是线段 AB 上异于 A、B 的动点，过点 P 作 PCx 轴于点 D，交抛物线于点 C（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的 P 点，使线段 PC 的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）求PAC 为直角三角形时点 P 的坐标第 2 页（共 107 页）3 （2007玉溪）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为 C（1，0） ，直线 y=x+m 与该二次函数的图象交于 A、B 两点，其中 A 点的坐标为（3，4） ，B 点在 y 轴
3、上（1）求 m 的值及这个二次函数的关系式；（2）P 为线段 AB 上的一个动点（点 P 与 A、B 不重合） ，过 P 作 x 轴的垂线与这个二次函数的图象交于点 E，设线段 PE 的长为 h，点 P 的横坐标为 x，求 h 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；（3）D 为直线 AB 与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段 AB 上是否存在一点 P，使得四边形 DCEP 是平行四边形？若存在，请求出此时 P 点的坐标；若不存在，请说明理由4 （2013凉山州）如图，抛物线 y=ax22ax+c（a0）交 x 轴于 A、B 两点，A 点坐标为（3，0） ，与 y 轴交于点
4、C（ 0，4） ，以 OC、OA 为边作矩形 OADC 交抛物线于点 G（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴 l 在边 OA（不包括 O、A 两点）上平行移动，分别交 x 轴于点 E，交 CD 于点 F，交 AC 于点 M，交抛物线于点 P，若点 M 的横坐标为 m，请用含 m 的代数式表示 PM 的长；（3）在（2）的条件下，连结 PC，则在 CD 上方的抛物线部分是否存在这样的点 P，使得以 P、C、F 为顶点的三角形和AEM 相似？若存在，求出此时 m 的值，并直接判断PCM 的形状；若不存在，请说明理由第 3 页（共 107 页）5 （2009綦江县）如图，已知抛物线 y=a（
5、x 1） 2+3 （ a0）经过点 A（2，0） ，抛物线的顶点为 D，过 O 作射线 OMAD过顶点平行于 x 轴的直线交射线 OM 于点 C，B 在 x轴正半轴上，连接 BC（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点 P 从点 O 出发，以每秒 1 个长度单位的速度沿射线 OM 运动，设点 P 运动的时间为 t（s） 问当 t 为何值时，四边形 DAOP 分别为平行四边形，直角梯形，等腰梯形？（3）若 OC=OB，动点 P 和动点 Q 分别从点 O 和点 B 同时出发，分别以每秒 1 个长度单位和 2 个长度单位的速度沿 OC 和 BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动设它们
6、的运动的时间为 t（s） ，连接 PQ，当 t 为何值时，四边形 BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时 PQ 的长6 （2013天水）如图 1，已知抛物线 y=ax2+bx（a 0）经过 A（3，0） 、B （4，4）两点（1）求抛物线的解析式；（2）将直线 OB 向下平移 m 个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点 D，求m 的值及点 D 的坐标；（3）如图 2，若点 N 在抛物线上，且 NBO=ABO，则在（ 2）的条件下，求出所有满足PODNOB 的点 P 坐标（点 P、O 、D 分别与点 N、O、B 对应） 第 4 页（共 107 页）7 （2014河南）如图，抛物线 y=
7、x2+bx+c 与 x 轴交于点 A（1，0） ，B （5，0）两点，直线 y= x+3 与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于点 D点 P 是 x 轴上方的抛物线上一动点，过点P 作 PFx 轴于点 F，交直线 CD 于点 E设点 P 的横坐标为 m（1）求抛物线的解析式；（2）若 PE=5EF，求 m 的值；（3）若点 E是点 E 关于直线 PC 的对称点，是否存在点 P，使点 E落在 y 轴上？若存在，请直接写出相应的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由8 （2013德州）如图，在直角坐标系中有一直角三角形 AOB，O 为坐标原点，OA=1， tanBAO=3，将此三角形绕原点 O 逆时针
8、旋转 90，得到DOC，抛物线y=ax2+bx+c 经过点 A、B、C（1）求抛物线的解析式；（2）若点 P 是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为 t，设抛物线对称轴 l 与 x 轴交于一点 E，连接 PE，交 CD 于 F，求出当 CEF 与COD 相似时，点 P 的坐标；是否存在一点 P，使PCD 的面积最大？若存在，求出 PCD 的面积的最大值；若不存在，请说明理由第 5 页（共 107 页）9 （2013河南）如图，抛物线 y=x2+bx+c 与直线 y= x+2 交于 C、D 两点，其中点 C 在y 轴上，点 D 的坐标为（3， ） 点 P 是 y 轴右侧的抛物线上一动点，过点 P
9、 作 PEx 轴于点 E，交 CD 于点 F（1）求抛物线的解析式；（2）若点 P 的横坐标为 m，当 m 为何值时，以 O、C 、P、F 为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由（3）若存在点 P，使PCF=45，请直接写出相应的点 P 的坐标10 （2013重庆）如图，已知抛物线 y=x2+bx+c 的图象与 x 轴的一个交点为 B（5，0） ，另一个交点为 A，且与 y 轴交于点 C（0，5） （1）求直线 BC 与抛物线的解析式；（2）若点 M 是抛物线在 x 轴下方图象上的一动点，过点 M 作 MNy 轴交直线 BC 于点N，求 MN 的最大值；（3）在（2）的条件下，MN 取得最大值
10、时，若点 P 是抛物线在 x 轴下方图象上任意一点，以 BC 为边作平行四边形 CBPQ，设平行四边形 CBPQ 的面积为 S1， ABN 的面积为 S2，且 S1=6S2，求点 P 的坐标第 6 页（共 107 页）11 （2013徐州）如图，二次函数 y= x2+bx 的图象与 x 轴交于点 A（3，0）和点 B，以AB 为边在 x 轴上方作正方形 ABCD，点 P 是 x 轴上一动点，连接 DP，过点 P 作 DP 的垂线与 y 轴交于点 E（1）请直接写出点 D 的坐标： ；（2）当点 P 在线段 AO（点 P 不与 A、O 重合）上运动至何处时，线段 OE 的长有最大值，求出这个最大
11、值；（3）是否存在这样的点 P，使PED 是等腰三角形？若存在，请求出点 P 的坐标及此时PED 与正方形 ABCD 重叠部分的面积；若不存在，请说明理由12 （2013泰安）如图，抛物线 y= x2+bx+c 与 y 轴交于点 C（0， 4） ，与 x 轴交于点A，B，且 B 点的坐标为（ 2， 0） （1）求该抛物线的解析式（2）若点 P 是 AB 上的一动点，过点 P 作 PEAC，交 BC 于 E，连接 CP，求 PCE 面积的最大值（3）若点 D 为 OA 的中点，点 M 是线段 AC 上一点，且 OMD 为等腰三角形，求 M 点的坐标第 7 页（共 107 页）13 （2014广元
12、）如图甲，四边形 OABC 的边 OA、OC 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，顶点在 B 点的抛物线交 x 轴于点 A、D，交 y 轴于点 E，连接 AB、AE 、BE 已知tanCBE= ，A（3，0） ，D（ 1，0） ，E（0，3） （1）求抛物线的解析式及顶点 B 的坐标；（2）求证：CB 是ABE 外接圆的切线；（3）试探究坐标轴上是否存在一点 P，使以 D、E、P 为顶点的三角形与ABE 相似，若存在，直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）设AOE 沿 x 轴正方向平移 t 个单位长度（0t3）时， AOE 与 ABE 重叠部分的面积为 s，求 s 与 t 之间的函
13、数关系式，并指出 t 的取值范围14 （2014成都）如图，已知抛物线 y= （x+2） （x4） （k 为常数，且 k0）与 x 轴从左至右依次交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，经过点 B 的直线 y= x+b 与抛物线的另一交点为 D（1）若点 D 的横坐标为5，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点 P，使得以 A，B ，P 为顶点的三角形与 ABC 相似，求 k 的值；（3）在（1）的条件下，设 F 为线段 BD 上一点（不含端点） ，连接 AF，一动点 M 从点A 出发，沿线段 AF 以每秒 1 个单位的速度运动到 F，再沿线段 FD 以每秒 2 个单位的速
14、度运动到 D 后停止，当点 F 的坐标是多少时，点 M 在整个运动过程中用时最少？第 8 页（共 107 页）15 （2014南宁）在平面直角坐标系中，抛物线 y=x2+（k1）x k 与直线 y=kx+1 交于A，B 两点，点 A 在点 B 的左侧（1）如图 1，当 k=1 时，直接写出 A，B 两点的坐标；（2）在（1）的条件下，点 P 为抛物线上的一个动点，且在直线 AB 下方，试求出ABP面积的最大值及此时点 P 的坐标；（3）如图 2，抛物线 y=x2+（k1）xk（k0）与 x 轴交于点 C、D 两点（点 C 在点 D 的左侧） ，在直线 y=kx+1 上是否存在唯一一点 Q，使得
15、 OQC=90？若存在，请求出此时 k的值；若不存在，请说明理由16 （2013防城港）如图，抛物线 y=（x 1） 2+c 与 x 轴交于 A，B （A ，B 分别在 y 轴的左右两侧）两点，与 y 轴的正半轴交于点 C，顶点为 D，已知 A（1，0） （1）求点 B，C 的坐标；（2）判断CDB 的形状并说明理由；（3）将COB 沿 x 轴向右平移 t 个单位长度（0t3）得到QPEQPE 与CDB 重叠部分（如图中阴影部分）面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范围第 9 页（共 107 页）17 （2014重庆）如图，抛物线 y=x22x+3 的图象与 x
16、轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左边） ，与 y 轴交于点 C，点 D 为抛物线的顶点（1）求 A、B、C 的坐标；（2）点 M 为线段 AB 上一点（点 M 不与点 A、B 重合） ，过点 M 作 x 轴的垂线，与直线AC 交于点 E，与抛物线交于点 P，过点 P 作 PQAB 交抛物线于点 Q，过点 Q 作 QNx 轴于点 N若点 P 在点 Q 左边，当矩形 PMNQ 的周长最大时，求 AEM 的面积；（3）在（2）的条件下，当矩形 PMNQ 的周长最大时，连接 DQ过抛物线上一点 F 作 y轴的平行线，与直线 AC 交于点 G（点 G 在点 F 的上方） 若 FG=2 DQ，求
17、点 F 的坐标18 （2014钦州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y= x2+bx+c 与 x 轴交于 A、D 两点，与 y 轴交于点 B，四边形 OBCD 是矩形，点 A 的坐标为（1，0） ，点 B 的坐标为（0，4） ，已知点 E（m，0）是线段 DO 上的动点，过点 E 作 PEx 轴交抛物线于点 P，交BC 于点 G，交 BD 于点 H（1）求该抛物线的解析式；（2）当点 P 在直线 BC 上方时，请用含 m 的代数式表示 PG 的长度；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点 P，使得以 P、B 、G 为顶点的三角形与 DEH相似？若存在，求出此时 m 的值；若不存在，请说明理
18、由第 10 页（共 107 页）19 （2014昆明）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx3（a0）与 x 轴交于点A（2， 0） 、B（4，0）两点，与 y 轴交于点 C（1）求抛物线的解析式；（2）点 P 从 A 点出发，在线段 AB 上以每秒 3 个单位长度的速度向 B 点运动，同时点 Q从 B 点出发，在线段 BC 上以每秒 1 个单位长度的速度向 C 点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当PBQ 存在时，求运动多少秒使 PBQ 的面积最大，最大面积是多少？（3）当PBQ 的面积最大时，在 BC 下方的抛物线上存在点 K，使 SCBK：S PBQ=5：2，求 K 点坐标20 （2013恩施州）如图所示，直线 l：y=3x+3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B把AOB 沿 y 轴翻折，点 A 落到点 C，抛物线过点 B、C 和 D（3，0） （1）求直线 BD 和抛物线的解析式（2）若 BD 与抛物线的对称轴交于点 M，点 N 在坐标轴上，以点 N、B、D 为顶点的三角形与MCD 相似，求所有满足条件的点 N 的坐标（3）在抛物线上是否存在点 P，使 SPBD=6？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由
