1、第一章一元二次方程竞赛拔尖题1、若关于 x 的方程 没有实根，那么必有实根的方程是 （ ）2710axA. 230aB. 56xC. 212D. 30xa2、若关于 x 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则2()()0bcxabca、b、c 之间的关系是（ ）A. B.aC. D.20bc3、若 是关于 x 的方程 的一个根，则 a 的值为_.x2250xa4、已知 ，那么 的值为_.2501632()(1)x5、满足 的整数 n 有_个22()n6、设整数 a 使得关于 x 的一元二次方程 的两个根都是整数，则2561430xaa 的值是_.7、设 a、b 是整数，方程 的一根是 ，求 a
2、+b 的值20xab4238、解方程： (4)3(2)1yy9、求方程 的实数根的和与积221519xx10、一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔 301 支以上（包括 301 支）可以按批发价付款；购买 300 支以下（包括 300 支）只能按零售价付款,现有小王购买铅笔,如果给初三年级学生每人买 1 支,只能按零售价付款,需用（m -1）元,（m 为正整数,且 m-1100）如果多买 60 支,则可按批发价付款,同样需用（m -1）元（1）设初三年级共有 x 名学生,则 x 的取值范围是多少?铅笔的零售价每支多少元?批发价每支应为多少元?（用含 x、m 的代数式表示）（2）若按批发价
3、每购 15 支与按零售价每购 15 支少一元,试求初三年级共有多少学生?并确定 m 的值11、设等腰三角形的一腰与底边长分别是方程 的量根，当这样的三角形只260xa有一个时，求实数 a 的取值范围12、已知 3 个不同的实数 a、b、c 满足 a-b+c=3，方程 和 有21x20xbc一个相同的实根，方程 和 也有一个相同的实根.求 a、b、c 的20x20xcb值.13、已知在关于 x 的分式方程 和一元二次方程（2k）x 2+3mx+（3k）n=0中，k、m、n 均为实数，方程的根为非负数（1）求 k 的取值范围；（2）当方程有两个整数根 x1、x 2，k 为整数，且 k=m+2，n=
4、1 时，求方程的整数根；（3）当方程有两个实数根 x1、x 2，满足 x1（x 1k）+ x2（x 2k）=（x 1k） （x 2k） ，且 k 为负整数时，试判断|m|2 是否成立？请说明理由参考答案：1、A2、C3、 74、20205、46、187、08、 ，125y3452y9、两根之和为12，两根之积为4010、(1)不难知道,x 的取值范围应为240x300(x 为正整数);铅笔的零售价每支应为 m2-1/x 元;铅笔的批发价每支应为 m2-1/x+60 元.(2)从给出条件可得到如下等式:15*(m2-1)/x15 *(m2-1)/x+601.整理后,得x260x900(m21)0
5、.解得 x130(m1),或 x2 30(m1) (不合题意,舍去).怎样去求 x 与 m 的值呢? 首先应当注意已获得的等式和不等式,即 240x300; x30(m1)从上式可见,求 x、m 的值,只要能确定其中的一个值即可 ,则24030(m1)300 8m1109m11再考虑 m 为正整数,故 m10 或 m11.又因 m10 时, m2199100,不合题意应舍去.当 m11 时, m21120100,此时x300.经检验 x300 是所列方程的根.11、a=9 或 0a 812、a=2,b=3,c=213、 （1）关于 x 的分式方程 的根为非负数，x0 且 x1，又x= 0，且
6、1，解得 k1 且 k1，又一元二次方程（2k ）x 2+3mx+（3 k）n=0 中 2k0，k2，综上可得：k1 且 k1 且 k2；（2）一元二次方程（2k ）x 2+3mx+（3 k）n=0 有两个整数根 x1、x 2，且 k=m+2，n=1 时，把 k=m+2，n =1 代入原方程得： mx2+3mx+（1m）=0，即：mx 23mx+m1=0，0，即=（ 3m） 24m（m1） ，且 m0，=9m 24m（m1）=m（5m+4） ，x 1、x 2 是整数，k 、m 都是整数，x 1+x2=3，x 1x2= =1 ，1 为整数，m=1 或 1，把 m=1 代入方程 mx23mx+m1
7、=0 得：x 23x+11=0，x23x=0，x（x 3）=0，x1=0，x 2=3；把 m=1 代入方程 mx23mx+m1=0 得：x 2+3x2=0，x23x+2=0，（x1） （x 2）=0，x1=1，x 2=2；（3）|m |2 不成立，理由是：由（1）知：k 1 且 k1 且 k2，k 是负整数，k=1，（2k）x 2+3mx+（3k ）n=0 且方程有两个实数根 x1、x 2，x 1+x2= = =m，x 1x2= = ，x1（x 1k）+x 2（x 2k）= （x 1k） （x 2k） ，x12x1k+x22x2k=x1x2x1kx2k+k2，x12+x22x1x2+k2，（x 1+x2） 22x1x2x1x2=k2，（x 1+x2） 23x1x2=k2，（m ） 23 =（ 1） 2，m24=1，m2=5，m= ，|m |2 不成立
