1、第 1 页（共 22 页）初二二次根式所有知识点总结和常考题知识点：1、二次根式： 形如 的式子。二次根式必须满足：含有)0(a二次根号“ ”；被开方数 a 必须是非负数。非负性2、最简二次根式：满足：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式。3、化最简二次根式的方法和步骤：（1）如果被开方数含分母，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。（2）如果被开方数含能开得尽方的因数或因式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。3、二次根式有关公式（1） （2）)0()(2a a2（3）乘法公式 )0,(bab（4）除法公
2、式 ,4、二次根式的加减法则：先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。5、二次根式混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的。常考题：一选择题（共 14 小题）1下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）A B C D2式子 有意义的 x 的取值范围是（ ）Ax 且 x1 Bx1 C D3下列计算错误的是（ ）A B C D4估计 的运算结果应在（ ）A6 到 7 之间 B7 到 8 之间 C8 到 9 之间 D9 到 10 之间第 2 页（共 22 页）5如果 =12a，则（ ）Aa Ba Ca Da6若 =（x+y ） 2，则 xy 的值为（ ）A
3、 1 B1 C2 D37 是整数，则正整数 n 的最小值是（ ）A4 B5 C6 D78化简 的结果是（ ）A B C D9k、 m、n 为三整数，若 =k ， =15 ， =6 ，则下列有关于 k、m、n 的大小关系，何者正确？（ ）Ak m=n Bm=nk Cmn k Dmk n10实数 a 在数轴上的位置如图所示，则 化简后为（ ）A7 B7 C2a 15 D无法确定11把 根号外的因式移入根号内得（ ）A B C D12已知 是正整数，则实数 n 的最大值为（ ）A12 B11 C8 D313若式子 有意义，则点 P（a ，b ）在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限1
4、4已知 m=1+ ，n=1 ，则代数式 的值为（ ）A9 B3 C3 D5二填空题（共 13 小题）15实数 a 在数轴上的位置如图所示，则|a1|+ = 16计算： 的结果是 17化简： （ ） | 3|= 18如果最简二次根式 与 是同类二次根式，则 a= 第 3 页（共 22 页）19定义运算“”的运算法则为：xy= ，则（ 26）8= 20化简 4 （1 ） 0 的结果是 21计算： = 22三角形的三边长分别为 ， ， ，则这个三角形的周长为 cm23如果最简二次根式 与 能合并，那么 a= 24如图，矩形内两相邻正方形的面积分别是 2 和 6，那么矩形内阴影部分的面积是 （结果保留
5、根号）25实数 p 在数轴上的位置如图所示，化简 = 26计算： = 27已知 a、b 为有理数， m、n 分别表示 的整数部分和小数部分，且amn+bn2=1，则 2a+b= 三解答题（共 13 小题）28阅读下列材料，然后回答问题在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如 ， ， 一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： （一）= = （二）= = = 1（三）以上这种化简的步骤叫做分母有理化还可以用以下方法化简：= = = = 1（四）（1）请用不同的方法化简 第 4 页（共 22 页）（2） 参照（三）式得 = ；参照（四）式得 = （3）化简： + + + 29计算：（ 1）
6、（ +1） （ ） 2+|1 |（2） 0+ 30先化简，再求值： ，其中 31先化简，再求值： ，其中 x=1+ ，y=1 32先化简，再求值： ，其中 33已知 a= ，求 的值34对于题目“化简并求值： + ，其中 a= ”，甲、乙两人的解答不同甲的解答： + = + = + a= a= ；乙的解答： + = + = +a =a= 请你判断谁的答案是错误的，为什么？35一个三角形的三边长分别为 、 、（1）求它的周长（要求结果化简） ；（2）请你给一个适当的 x 值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值36我国古代数学家秦九韶在数书九章中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，
7、求它的面积用现代式子表示即为：（其中 a、b、c 为三角形的三边长，s 为面积） 而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式：s= （其中 p= ）（1）若已知三角形的三边长分别为 5，7，8，试分别运用公式和公式，计第 5 页（共 22 页）算该三角形的面积 s；（2）你能否由公式推导出公式？请试试37已知： ， ，求代数式 x2xy+y2 值38计算或化简：（1） ；（2） （a0，b0） 39先阅读下列的解答过程，然后再解答：形如 的化简，只要我们找到两个数 a、b，使 a+b=m，ab=n，使得+ =m， = ，那么便有：= = （ab ） 例如：化简 解：首先把 化为 ，这里
8、m=7，n=12，由于 4+3=7，43=12即 + =7， = = = =2+ 由上述例题的方法化简： 40阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 3+ =（1+ ） 2善于思考的小明进行了以下探索：设 a+b =（m+n ） 2（其中 a、b 、m、n 均为整数） ，则有a+b =m2+2n2+2mn a=m 2+2n2，b=2mn这样小明就找到了一种把类似 a+b 的式子化为平方式的方法请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当 a、b、m、n 均为正整数时，若 a+b = ，用含 m、n 的式子分别表示 a、b，得：a= ，b= ；（2）利
9、用所探索的结论，找一组正整数 a、b、m、n 填空： + =（ + ） 2；（3）若 a+4 = ，且 a、m 、n 均为正整数，求 a 的值？第 6 页（共 22 页）初二二次根式所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习( 含答案解析)参考答案与试题解析一选择题（共 14 小题）1 （2005岳阳）下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）A B C D【分析】B、D 选项的被开方数中含有未开尽方的因数或因式；C 选项的被开方数中含有分母；因此这三个选项都不是最简二次根式【解答】解：因为：B、 =4 ；C、 = ；D、 =2 ；所以这三项都不是最简二次根式故选 A【点评】在判断最简二次根式的过
10、程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数） ，如果幂的指数等于或大于 2，也不是最简二次根式2 （2013娄底）式子 有意义的 x 的取值范围是（ ）Ax 且 x1 Bx1 C D【分析】根据被开方数大于等于 0，分母不等于 0 列式进行计算即可得解【解答】解：根据题意得，2x+1 0 且 x10，解得 x 且 x1故选 A【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为 0；二次根式的被开方数是非负数3 （2007荆州）下列计算错误的是（ ）A B C D【分析】根据二次根式的运算法则分别计算，再作判断
11、【解答】解：A、 = =7 ，正确；B、 = =2 ，正确；C、 + =3 +5 =8 ，正确；D、 ，故错误故选 D【点评】同类二次根式是指几个二次根式化简成最简二次根式后，被开方数相第 7 页（共 22 页）同的二次根式二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变4 （2008芜湖）估计 的运算结果应在（ ）A6 到 7 之间 B7 到 8 之间 C8 到 9 之间 D9 到 10 之间【分析】先进行二次根式的运算，然后再进行估算【解答】解： =4+ ，而 4 5，原式运算的结果在 8 到 9
12、 之间；故选 C【点评】本题考查了无理数的近似值问题，现实生活中经常需要估算， “夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法5 （2011烟台）如果 =12a，则（ ）Aa Ba Ca Da【分析】由已知得 12a0，从而得出 a 的取值范围即可【解答】解： ，1 2a0，解得 a 故选：B【点评】本题考查了二次根式的化简与求值，是基础知识要熟练掌握6 （2009荆门）若 =（x+y ） 2，则 xy 的值为（ ）A 1 B1 C2 D3【分析】先根据二次根式的性质，被开方数大于或等于 0，可求出 x、y 的值，再代入代数式即可【解答】解： =（x +y） 2 有意义，x10 且 1x0，x=1，
13、y=1 ，xy=1（1 ）=2第 8 页（共 22 页）故选：C【点评】本题主要考查了二次根式的意义和性质：概念：式子 （a0）叫二次根式；性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义7 （2012 秋麻城市校级期末） 是整数，则正整数 n 的最小值是（ ）A4 B5 C6 D7【分析】本题可将 24 拆成 46，先把 化简为 2 ，所以只要乘以 6 得出62 即可得出整数，由此可得出 n 的值【解答】解： = =2 ，当 n=6 时， =6，原式=2 =12，n 的最小值为 6故选：C【点评】本题考查的是二次根式的性质本题还可将选项代入根式中看是否能开得尽方，若能则为答案8 （
14、2013佛山）化简 的结果是（ ）A B C D【分析】分子、分母同时乘以（ +1）即可【解答】解：原式= = =2+ 故选：D【点评】本题考查了分母有理化，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式是解答问题的关键9 （2013台湾）k、m、 n 为三整数，若=k ， =15 ， =6 ，则下列有关于 k、m、n 的大小关系，何者正确？（ ）Ak m=n Bm=nk Cmn k Dmk n【分析】根据二次根式的化简公式得到 k，m 及 n 的值，即可作出判断【解答】解： =3 ， =15 ， =6 ，可得：k=3，m=2，n=5 ，则 mkn故选：D【点评】此题考查了二次根式的性质与化简
15、，熟练掌握二次根式的化简公式是解本题的关键10 （2011菏泽）实数 a 在数轴上的位置如图所示，则 化简后为（ ）第 9 页（共 22 页）A7 B7 C2a 15 D无法确定【分析】先从实数 a 在数轴上的位置，得出 a 的取值范围，然后求出（a4）和（a 11）的取值范围，再开方化简【解答】解：从实数 a 在数轴上的位置可得，5a 10 ，所以 a40，a110，则 ，=a4+11a，=7故选 A【点评】本题主要考查了二次根式的化简，正确理解二次根式的算术平方根等概念11 （2013 秋 五莲县期末）把 根号外的因式移入根号内得（ ）A B C D【分析】根据二次根式的性质及二次根式成立
16、的条件解答【解答】解： 成立， 0，即 m0，原式= = 故选：D【点评】正确理解二次根式乘法、积的算术平方根等概念是解答问题的关键二次根式成立的条件：被开方数大于等于 0，含分母的分母不为 012 （2009绵阳）已知 是正整数，则实数 n 的最大值为（ ）A12 B11 C8 D3【分析】如果实数 n 取最大值，那么 12n 有最小值；又知 是正整数，而最小的正整数是 1，则 等于 1，从而得出结果【解答】解：当 等于最小的正整数 1 时，n 取最大值，则 n=11故选B【点评】此题的关键是分析当 等于最小的正整数 1 时，n 取最大值第 10 页（共 22 页）13 （2005辽宁）若式
17、子 有意义，则点 P（a，b ）在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【分析】根据二次根式的被开方数为非负数和分母不为 0，对 a、b 的取值范围进行判断【解答】解：要使这个式子有意义，必须有a0，ab0，a 0 ，b 0，点（a，b）在第三象限故选 C【点评】本题考查二次根式有意义的条件，以及各象限内点的坐标的符号14 （2013上城区一模）已知 m=1+ ，n=1 ，则代数式 的值为（ ）A9 B3 C3 D5【分析】原式变形为 ，由已知易得 m+n=2，mn=（1+ ） （1 ）=1，然后整体代入计算即可【解答】解：m+n=2，mn=（1+ ） （1 ）= 1，原式= = = =3故选：C【点评】本题考查了二次根式的化简求值：先把被开方数变形，用两个数的和与积表示，然后利用整体代入的思想代入计算二填空题（共 13 小题）15 （2004山西）实数 a 在数轴上的位置如图所示，则 |a1|+ = 1 【分析】根据数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的大，分别得出 a1 与0，a 2 与 0 的关系，然后根据绝对值的意义和二次根式的意义化简【解答】解：根据数轴上显示的数据可知：1a 2，a 1 0，a20，|a 1|+ =a1+2a=1故答案为：1
