1、2018年初中数学联赛试题说明:评阅试卷时,请依据本评分标准.第一试,选择题和填空题只设7分和0分两档;第二试各题,请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数.第一试(A)一、选择题:(本题满分42分,每小题7分)1.设二次函数 的图象的顶点为A,与x轴的交点为B ,C.当ABC为22ayx等边三角形时,其边长为( )A.6 B.22 C.23 D.322.如图,在矩形ABCD中,BAD的平分线交BD 于点 E,AB=1,CAE=15,则BE=( )A. B. C. -1 D. -132233.
2、设p,q均为大于3的素数,则使p 2+5pq+4q2为完全平方数的素数对(p,q)的个数为( )A.1 B.2 C.3 D.44.若实数a,b满足a-b=2, ,则a 5-b5=( )2214abA.46 B.64 C.82 D.1285.对任意的整数x ,y,定义 xy=x+y-xy,则使得(xy )z+(yz)x+(zx)y=0的整数组(x,y,z)的个数为( )A.1 B.2 C.3 D.46.设 ,则 的整数部分是( )1120892050M 1MA.60 B.61 C.62 D.63二、填空题:(本题满分28分,每小题7分)1.如图,在平行四边形ABCD中,BC=2AB ,CEAB于
3、E,F 为AD的中点,若AEF= 48,则B=_.2.若实数x,y满足 ,则x+y 的最大值为_.31542xy3.没有重复数字且不为5的倍数的五位数的个数为_.4.已知实数a,b,c 满足a+ b+c=0,a 2+b2+c2=1,则 =_.55abc第一试(B)一、选择题:(本题满分42分,每小题7分)1.满足(x 2+x-1)x+2的整数x 的个数为( )A.1 B.2 C.3 D.42.已知x 1,x2,x3 (x1x 2x 3)为关于x的方程x 3-3x2+(a+2)x-a=0的三个实数根,则=( )4A.5 B.6 C.7 D.83.已知点E,F分别在正方形ABCD的边CD,AD上,
4、CD=4CE,EFB=FBC,则tanABF ( )A. B. C. D.12352324.方程 的实数根的个数为( )39xA.0 B.1 C.2 D.35.设a,b,c为三个实数,它们中任何一个数加上其余两数之积的2017倍都等于2018,则这样的三元数组(a,b,c) 的个数为( )A.4 B.5 C.6 D.76.已知实数a,b满足a 3-3a2+5a=1,b 3-3b2+5b=5,则a +b=( )A.2 B.3 C.4 D.5二、填空题:(本题满分28分,每小题7分)1.已知p,q,r为素数,且pqr整除pq+qr+rp-1,则p+ q+r=_.2.已知两个正整数的和比它们的积小1
5、000,若其中较大的数是完全平方数,则较小的数为_.3.已知D是ABC内一点,E 是AC的中点,AB=6,BC=10,BAD= BCD, EDC= ABD,则DE=_.4.已知二次函数y=x 2+2(m+2n+1)x+(m2+4n2+50)的图象在 x轴的上方,则满足条件的正整数对(m,n) 的个数为 _.第二试(A)一、(本题满分20分)设a,b,c,d为四个不同的实数,若a,b为方程x 2-10cx-11d=0的根,c,d为方程 x2-10ax-b=0的根,求a+ b+c+d的值.二、(本题满分25分)如图,在扇形OAB中,AOB=90,OA=12,点C在OA上,AC=4,点D为OB的中点
6、,点E为弧AB上的动点, OE与CD的交点为F.(1)当四边形ODEC的面积S最大时,求EF;(2)求CE+2DE的最小值 .三、(本题满分25分)求所有的正整数m,n,使得 是非负整数.32mn第二试(B)一、(本题满分20分)若实数a,b,c满足(a+b+c),求(a+b+c) 的值.11955acb 1abc二、(本题满分25分)如图,点E在四边形ABCD的边AB上,ABC和CDE都是等腰直角三角形,AB= AC,DE=DC.(1)证明:AD/BC;(2)设AC与DE交于点P,如果 ACE= 30,求 .DPE三、(本题满分25分)设x是一个四位数,x 的各位数字之和为 m,x+1的各位数字之和为n,并且m与n的最大公约数是一个大于2的素数 .求x .