1、数阵图(一)在神奇的数学王国中，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜，奇妙无穷。它就是数阵，一座真正的数字迷宫，它对喜欢探究数字规律的人有着极大的吸引力，以至有些人留连其中，用毕生的精力来研究它的变化，就连大数学家欧拉对它都有着浓厚的兴趣。那么，到底什么是数阵呢？我们先观察下面两个图：左上图中有 3 个大圆，每个圆周上都有四个数字，有意思的是，每个圆周上的四个数字之和都等于 13。右上图就更有意思了，19 九个数字被排成三行三列，每行的三个数字之和与每列的三个数字之和，以及每条对角线上的三个数字之和都等于 15，不信你就算算。上面两个图就是数阵图。准确地说，数阵图是将一些数按照一定要
2、求排列而成的某种图形，有时简称数阵。要排出这样巧妙的数阵图，可不是一件容易的事情。我们还是先从几个简单的例子开始。例 1 把 15 这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于 9。同学们可能会觉得这道题太容易了，七拼八凑就写出了右上图的答案，可是却搞不清其中的道理。下面我们就一起来分析其中的道理，只有弄懂其中的道理，才可能解出复杂巧妙的数阵问题。分析与解：中间方格中的数很特殊，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它叫做“重叠数”。也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数被加了两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次。因为横行的三个数之和与竖
3、列的三个数之和都等于 9，所以(1+2+3+4+5)+重叠数=9+9，重叠数=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3。重叠数求出来了，其余各数就好填了(见右上图)。例 2 把 15 这五个数填入下页左上图中的里(已填入 5)，使两条直线上的三个数之和相等。分析与解：与例 1 不同之处是已知“重叠数”为 5，而不知道两条直线上的三个数之和都等于什么数。所以，必须先求出这个“和”。根据例 1 的分析知，两条直线上的三个数相加，只有重叠数被加了两遍，其余各数均被加了一遍，所以两条直线上的三个数之和都等于(1+2+3+4+5)+52=10。因此，两条直线上另两个数(非“重叠数”)的和等于 10-5=5
4、。在剩下的四个数 1， 2， 3， 4 中，只有 1+4=2+ 3=5。故有右上图的填法。例 3 把 15 这五个数填入右图中的里，使每条直线上的三个数之和相等。分析与解：例 1 是知道每条直线上的三数之和，不知道重叠数；例 2 是知道重叠数，不知道两条直线上的三个数之和；本例是这两样什么都不知道。但由例1、例 2 的分析知道，(1+2+3+4+5)+重叠数=每条直线上三数之和2，所以，每条直线上三数之和等于(15+重叠数)2。因为每条直线上的三数之和是整数，所以重叠数只可能是 1，3 或 5。若“重叠数”=1，则两条直线上三数之和为(15+1)2=8。填法见左下图；若“重叠数”=3，则两条直
5、线上三数之和为(15+3)2=9。填法见下中图；若“重叠数”=5，则两条直线上三数之和为(15+5)2=10。填法见右下图。由以上几例看出，求出重叠数是解决数阵问题的关键。为了进一步学会掌握这种解题方法，我们再看两例。例 4 将 17 这七个自然数填入左下图的七个内，使得每条边上的三个数之和都等于 10。分析与解：与例 1 类似，知道每条边上的三数之和，但不知道重叠数。因为有3 条边，所以中间的重叠数重叠了两次。于是得到(1+2+7)+重叠数2=103。由此得出重叠数为103-(1+2+7)2=1。剩下的六个数中，两两之和等于 9 的有 2，7；3，6；4，5。可得右上图的填法。如果把例 4
6、中“每条边上的三个数之和都等于 10”改为“每条边上的三个数之和都相等”，其他不变，那么仿照例 3，重叠数可能等于几？怎样填？例 5 将 1020 填入左下图的内，其中 15 已填好，使得每条边上的三个数字之和都相等。解：与例 2 类似，中间内的 15 是重叠数，并且重叠了四次，所以每条边上的三个数字之和等于(10+11+20)+1545=45。剩下的十个数中，两两之和等于(45-15=)30 的有10，20；11，19；12，18；13，17；14，16。于是得到右上图的填法。例 15 都具有中心数是重叠数，并且每边的数字之和都相等的性质，这样的数阵图称为辐射型。例 4 的图中有三条边，每边
7、有三个数，称为辐射型 33 图；例 5 有五条边每边有三个数，称为辐射型 53 图。一般地，有 m 条边，每边有 n 个数的形如下图的图形称为辐射型 mn 图。辐射型数阵图只有一个重叠数，重叠次数是“直线条数”-1，即 m-1。对于辐射型数阵图，有已知各数之和+重叠数重叠次数=直线上各数之和直线条数。由此得到：(1)若已知每条直线上各数之和，则重叠数等于(直线上各数之和直线条数-已知各数之和)重叠次数。如例 1、例 4。(2)若已知重叠数，则直线上各数之和等于(已知各数之和+重叠数重叠次数)直线条数。如例 2、例 5。(3)若重叠数与每条直线上的各数之和都不知道，则要从重叠数的可能取值分析讨论
8、，如例 3。练习1.将 17 这七个数分别填入左下图中的里，使每条直线上的三个数之和都等于 12。如果每条直线上的三个数之和等于 10，那么又该如何填？2.将 19 这九个数分别填入右上图中的里(其中 9 已填好)，使每条直线上的三个数之和都相等。如果中心数是 5，那么又该如何填？3.将 19 这九个数分别填入右图的小方格里，使横行和竖列上五个数之和相等。(至少找出两种本质上不同的填法)4.将 39 这七个数分别填入左下图的里，使每条直线上的三个数之和等于 20。5.将 111 这十一个数分别填入右上图的里，使每条直线上的三个数之和相等，并且尽可能大。6.将 17 这七个数分别填入下图的里，使
9、得每条直线上三个数之和与每个圆圈上的三个数之和都相等。 答案与提示5.提示：中心数是重叠数，并且重叠 4 次。所以每条直线上的三数之和等于(1211)重叠数45(66重叠数4)5。为使上式能整除，重叠数只能是 1，6 或 11。显然，重叠数越大，每条直线上的三数之和越大。所以重叠数是 11，每条直线上的三数之和是 22。填法见右图。6.解：所有的数都是重叠数，中心数重叠两次，其它数重叠一次。所以三条边及两个圆周上的所有数之和为(127)2中心数56中心数。因为每条边及每个圆周上的三数之和都相等，所以这个和应该是 5 的倍数，再由中心数在 1 至 7 之间，所以中心数是 4。每条边及每个圆周上的三数之和等于(564)512。中心数确定后，其余的数一下还不好直接确定。我们可以试着先从辐射型3-3 图开始。中心数是 4，每边其余两数之和是 12-4=8，两数之和是 8 的有1，7；2，6；3，5。于是得到左下图的填法。对于左上图，适当调整每条边上除中心数外的两个数的位置，便得到本题的解(见右上图)。
