1、三角形全章复习与巩固（提高）知识讲解【学习目标】1.认识三角形并能用符号语言正确表示三角形，理解并会应用三角形三边之间的关系.2.理解三角形的高、中线、角平分线的概念，通过作三角形的三条高、中线、角平分线，提高学生的基本作图能力，并能运用图形解决问题 3.能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题.4.通过观察和实地操作知道三角形具有稳定性，知道四边形没有稳定性，了解稳定性与没有稳定性在生产、生活中的广泛应用5.了解多边形、多边形的对角线、正多边形以及镶嵌等有关的概念；掌握多边形内角和及外角和，并能灵活运用公式解决有关问题，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步
2、培养说理和进行简单推理的能力.【知识网络】【要点梳理】要点一、三角形的有关概念和性质1.三角形三边的关系：定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围2.三角形按“边”分类：不 等 边 三 角 形三 角 形 底 边 和 腰 不 相 等 的 等 腰 三 角 形等 腰 三 角 形 等 边 三 角 形3.三角形的重要线段：（1）三角形的高从三角形的一个顶
3、点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高要点诠释：三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外.（2）三角形的中线三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线，要点诠释：一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，叫做三角形的重心中线把三角形分成面积相等的两个三角形.（3）三角形的角平分线三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.要点诠释：一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点，这一点叫做三角形的内心.要点
4、二、三角形的稳定性如果三角形的三边固定，那么三角形的形状大小就完全固定了，这个性质叫做三角形的稳定性要点诠释：(1)三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变(2)三角形的稳定性在生产和生活中很有用例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理(3)四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在窗框未安好之前
5、，先在窗框上斜着钉一根木板，使它不变形要点三、三角形的内角和与外角和1.三角形内角和定理：三角形的内角和为 180推论：1.直角三角形的两个锐角互余2.有两个角互余的三角形是直角三角形2.三角形外角性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角3.三角形的外角和： 三角形的外角和等于 360.要点四、多边形及有关概念1. 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形. 要点诠释：多边形通常还以边数命名，多边形有 n 条边就叫做 n 边形三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形.2.正多边形：各个角
6、都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形.如正三角形、正方形、正五边形等要点诠释：各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形.3.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.要点诠释：(1)从 n 边形一个顶点可以引(n3)条对角线，将多边形分成(n2)个三角形；(2)n 边形共有 条对角线(3)2要点五、多边形的内角和及外角和公式1.内角和公式：n 边形的内角和为(n2)180(n3，n 是正整数) 要点诠释：（1）一般把多
7、边形问题转化为三角形问题来解决；(2)内角和定理的应用：已知多边形的边数，求其内角和；已知多边形内角和，求其边数. 2.多边形外角和：n 边形的外角和恒等于 360，它与边数的多少无关.要点诠释：(1)外角和公式的应用：已知外角度数，求正多边形边数；已知正多边形边数，求外角度数. (2)多边形的边数与内角和、外角和的关系：n 边形的内角和等于(n2)180(n3，n 是正整数)，可见多边形内角和与边数 n 有关，每增加 1 条边，内角和增加 180.要点六、镶嵌的概念和特征1.定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)这里的多边形可以
8、形状相同，也可以形状不相同.要点诠释：（1）拼接在同一点的各个角的和恰好等于 360；相邻的多边形有公共边.(2)用正多边形实现镶嵌的条件：边长相等；顶点公用；在一个顶点处各正多边形的内角之和为 360.(3)只用一种正多边形镶嵌地面，当围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角 360时，就能铺成一个平面图形.事实上，只有正三角形、正方形、正六边形的地砖可以用.【典型例题】类型一、三角形的三边关系1.已知三角形的三边长分别是 3，8， ,若 的值为偶数，则 的值有 ( )xxA6 个 B5 个 C4 个 D3 个【答案】D【解析】 的取值范围： ，又 为偶数，所以 的值可以
9、是 6, 8, 10，故 的值x1x x有 3 个.【总结升华】不要忽略“x 为偶数”这一条件.举一反三：【变式】三角形的三边长为 2，x-3，4，且都为整数，则共能组成 个不同的三角形.当 x 为 时，所组成的三角形周长最大.【答案】三；8 (由三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，有 4-2x-34+2，解得 5x9，因为 x 为整数，故 x 可取 6，7，8；当 x=8 时，组成的三角形周长最大为 11).2.如图，O 是ABC 内一点，连接 OB 和 OC(1)你能说明 OB+OCAB+AC 的理由吗?(2)若 AB5，AC 6，BC7，你能写出 OB+OC 的取值范围吗?【答
10、案与解析】解：(1)如图，延长 BO 交 AC 于点 E，根据三角形的三边关系可以得到，在ABE 中，AB+AEBE；在EOC 中，OE+EC OC，两不等式相加，得 AB+AE+OE+ECBE+OC由图可知，AE+ECAC ，BEOB+OE所以 AB+AC+OEOB+OC+OE，即 OB+OCAB+AC (2)因为 OB+OCBC，所以 OB+OC7 又因为 OB+OCAB+AC，所以 OB+OC11，所以 7OB+OC11 【总结升华】充分利用三角形三边关系的性质进行解题类型二、三角形中的重要线段3.在ABC 中，ABAC，AC 边上的中线 BD 把ABC 的周长分为 12cm 和 15c
11、m 两部分，求三角形的各边长【思路点拨】因为中线 BD 的端点 D 是 AC 边的中点，所以 ADCD，造成两部分不等的原因是 BC 边与 AB、AC 边不等，故应分类讨论【答案与解析】解：如图(1)，设 ABx，ADCD 12x(1)若 AB+AD12，即 ，所以 x8，即 ABAC8，则 CD 4故 BC15-411此时 AB+ACBC，所以三边长为 8，8 ，11(2)如图(2)，若 AB+AD15，即 ，所152x以 x10即 ABAC10 ，则 CD5 故 BC12-5 7显然此时三角形存在，所以三边长为 10，10，7综上所述此三角形的三边长分别为 8，8 ，11 或 10，10
12、，7 【总结升华】BD 把ABC 的周长分为 12cm 和 15cm 两部分，哪部分是 12cm，哪部分是15cm，问题中没有交代，因此，必须进行分类讨论举一反三：【变式】有一块三角形优良品种试验田，现引进四个品种进行对比试验，需将这块土地分成面积相等的四块，请你制定出两种以上的方案供选择.【答案】解：方案 1：如图（1） ，在 BC 上取 D、E、F，使 BD=ED=EF=FC，连接 AE、AD、AF方案 2：如图(2)，分别取 AB、BC、CA 的中点 D、E、F，连接 DE、EF、DF方案 3：如图(3)，取 AB 中点 D，连接 AD，再取 AD 的中点 E，连接 BE、CE方案 4：
13、如图(4)，在 AB 取点 D，使 DC2BD，连接 AD，再取 AD 的三等分点 E、F，连接 CE、CF类型三、与三角形有关的角4.在ABC 中，ABC C，BD 是 AC 边上的高，ABD30，则C 的度数是多少?【思路点拨】按ABC 为锐角三角形和钝角三角形两种情况，分类讨论【答案与解析】解：分两种情况讨论：（1）当ABC 为锐角三角形时，如图所示，在ABD 中， BD 是 AC 边上的高(已知)， ADB90(垂直定义 )又 ABD30(已知 )， A180 -ADB-ABD180-90 -3060又 A+ABC+C180(三角形内角和定理)， ABC+C120，又 ABCC， C6
14、0 (2)当 ABC 为钝角三角形时，如图所示在直角ABD 中， ABD30(已知 )，所以BAD60 BAC120 又 BAC+ABC+ C180 (三角形内角和定理)， ABC+C60 C30综上，C 的度数为 60或 30【总结升华】在解决无图的几何题的过程中，只有正确作出图形才能解决问题这就要求解答者必须具备根据条件作出图形的能力；要注意考虑图形的完整性和其他各种可能性，双解和多解问题也是我们在学习过程中应该注意的一个重要环节举一反三：【变式】如图，ACBC,CDAB,图中有 对互余的角？有 对相等的锐角？ 【答案】3,2类型四、三角形的稳定性5. 如图是一种流行的衣帽架，它是用木条（
15、四长四短）构成的几个连续的菱形（四条边都相等） ，每一个顶点处都有一个挂钩（连在轴上） ，不仅美观，而且使用，你知道它能收缩的原因和固定方法吗？【答案与解析】解：这种衣帽架能收缩是利用四边形的不稳定性，可以根据需要改变挂钩间的距离。它的固定方法是：任选两个不在同一木条上的顶点固定就行了。【总结升华】要使物体具有稳定性，应做成三角形，否则做成四边形、五边形等等.举一反三：【变式】如图，我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条那么要使五边形木架不变形，至少要钉几根木条?使七边形木架不变形，至少要钉几根木条? 使 n 边形木架不变形又至少要钉多少根木条?【答案】要使五边形木架不变形，至少要钉
16、2 根木条；使七边形木架不变形，至少要钉 4根木条；使 n 边形木架不变形，至少要钉(n-3)根木条类型五、多边形内角和及外角和公式6某多边形除一个内角 外，其余内角的和是 2750求这个多边形的边数 【思路点拨】由已知条件可知，这个多边形内角和要大于 2750，而因为凸多边形的每一个内角 的范围是：0 180，所以 2750加上一个 180又大于内角和，所以本题建立不等式组来解答.【答案与解析】设这个多边形是 边形，则它的内角和是 ， 2750+0(n-2)1802750+180 n 为正整数， n=18.【总结升华】本题是多边形的内角和定理和的综合运用.一般设出边数 ，根据条件列出关于 的
17、不等式组，求出 的取值范围，再根据 n 取正整数得出正确的值即可.举一反三【变式】一个多边形的内角和与某一个外角的度数总和为 1350，求这个多边形的边数。【答案】可设多边形的边数为 n，某一个外角为 则(n2)180 1350从而(n2)=因为边数 n 为正整数，所以 90，n9 类型六、多边形对角线公式的运用7某校七年级六班举行篮球比赛，比赛采用单循环积分制（即每两个班都进行一次比赛）.你能算出一共需要进行多少场比赛吗？【思路点拨】本题体现与体育学科的综合，解题方法参照多边形对角线条数的求法，即多边形的对角线条数加上边数. 如图： 【答案与解析】共需要比赛 （场）. 【总结升华】对于其他学
18、科问题要善于把它与数学知识联系在一起，便于解决. 举一反三【变式】一个多边形共有 44 条对角线，则多边形的边数是（ ）.A8 B9 C10 D11【答案】D；类型七、镶嵌问题8分别画出用相同边长的下列正多边形组合铺满地面的设计图.(1)正方形和正八边形；(2)正三角形和正十二边形；(3)正三角形、正方形和正六边形.【思路点拨】只要在拼接处各多边形的内角的和能构成一个周角，那么这些多边形就能作平面镶嵌.【答案与解析】正三角形、正方形、正六边形、正八边形、正十二边形的每一个内角分别是 60、90、120、135、150.(1)因为 902135360，所以一个顶点处有 1 个正方形、2 个正八边形，如图(1)所示.(2)因为 602150360，所以一个顶点处有 1 个正三角形、2 个正十二边形，如图(2)所示.(3)因为 60290120360，所以一个顶点处有 1 个正三角形、1 个正六边形和 2个正方形，如图(3)所示.【总结升华】用两种以上边长相等的正多边形组合成平面图形，实质上是相关正多边形“交接处各角之和能否拼成一个周角”的问题.
