1、惠州市 2018 届高三第二次调研考试理科数学一、选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1若 ( 为虚数单位 )，则复数 在复平面内对应的点在（ ）2zizA第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值范围是（ xa230xABa） A B C D1a1a23设 nml,为三条不同的直线， 为一个平面，下列命题中正确的个数是（ ）若 ，则 l与 相交； 若 ， nlmlnm 则 l；若 ， ， ，则 ； 若 ， ， ，则 l/ / n/A B C D12344 “不等式 20x在 R上恒成立”的一个
2、必要不充分条件是（ ）A m B 1 C 0 D 15设随机变量 服从正态分布 ，若 ，则实数 等于（ ） 4,3N5PaaaA B C D7646 周易历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法我们用近代术语解释为：把阳爻“ ”当作数字“ ”，把阴爻“ ”当作数字“ ”，则八卦所代表的数表示如下：10依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“ ”表示的十进制数是（ ）A B C D181716157已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ，则数列 的前 项和为（ nanS92a24anS10）A B
3、 C D120110898旅游体验师小明受某网站邀请，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若甲景区不能最先旅游，乙景区和丁景区不能最后旅游，则小李旅游的方法数为（ ）A B C D486109已知 ， 为双曲线 的左右顶点，点 在双曲线 上， 为等腰三角形，且顶角为 ，EMEABM120则双曲线 的离心率为（ ）A B C D523210某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则 最大值为（ ）xy卦名 符号 表示的二进制数 表示的十进制数坤 000 0震 001 1坎 010 2兑 011 3A B C D323276464711函数 部分图像如图所示，且()sin(
4、)fxx,0A0baf，对不同的 a,21，若 )(21xff，有 3)(21xf，则（ ）A )(xf在 )5上是减函数 B 在 ),5上是增函数C 在 6,3上是减函数 D )(f在 6上是增函数12函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则函数)(xfR0x|1202()xxff在 上的所有零点之和为（ ）1g),A B C D83281二填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13已知 ，且 ，则 _1tan2,2cos214某班共有 人，学号依次为 ，现用系统抽样的方法抽取一个容量为 的样本，已知656,31 4学号为 ， ， 的同学在样本中，则还有一位同学的学号应为_30415已
5、知数列 满足 ，则数列 的通项公式为 _na)(2,11 Nnan nana16在四边形 中， ，已知 ， 与 的夹角为 ，且ABCD8,5ABDAB，cos=20，则 _3PP三解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（本小题满分 12 分）已知 中，角 的对边分别为 ，ABC, ,abc2oscos0CaAb（1）求角 的大小；（2）若 ， ，求 的面积2b3AB18 （本小题满分 12 分）如图，四棱锥 中，底面 是边长为 的菱形， ， ，PABCDAB260ABCPB2PC（1）求证：平面 平面 ；（2）若 ，求二面角 的余弦值PD19 （本小题满分 12 分）某学
6、校为了丰富学生的业余生活，以班级为单位组织学生开展古诗词背诵比赛，随机抽取题目，背诵正确加 分，背诵错误减 分，背诵结果只有“正确”和“错误”两种。其中某班级背诵正确的1010概率为 ，背诵错误的概率为 ，现记“该班级完成 首背诵后总得分为 ”23p3qnnS（1）求 且 的概率；（2）记 ，求 的分布列及数学期望6S,i5S20 （本小题满分 12 分）已知点 为圆 的圆心， 是圆上的动点，点 在圆的半径 上，且有点C2(1)8xyPQCPA(1,0)和 上的点 ，满足 ，APM0QA2AM（1）当点 在圆上运动时，求点 的轨迹方程；（2）若斜率为 的直线 与圆 相切，与（1）中所求点 的轨
7、迹交于不同的两点 ，kl2xy HF,是坐标原点，且 时，求 的取值范围O3445OFHk21 （本小题满分 12 分）已知函数 ，23xfeaR（1）若函数 的图象在 处的切线与 轴平行，求 的值；y0xa（2）若 ， 恒成立，求 的取值范围0xf选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分22 （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程已知曲线 （ 为参数）和定点 ， 、 是此曲线的左、右焦点，以原2cos:3inxCy(0,3)A1F2点 为极点，以 轴的正半轴为极轴建立极坐标系O（1）求直线 的极坐标方程；2AF（2）经过点 且与直
8、线 垂直的直线交此圆锥曲线于 、 两点，求 的值12 MN11|NF23 （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 ()|1|fxmx（1）当 5时，求不等式 ()2f的解集；（2）若二次函数 23y与函数 yfx的图象恒有公共点，求实数 m的取值范围惠州市 2018 届高三第二次调研考试理科数学参考答案一、选择题：（每小题 5 分，共 60 分）1 【解析】由题意知 ，其对应点的坐标为 ，在第一象限123zii3,12 【解析】集合 ，由 可得 ， .012BxxABA2a3【解析】错，正确.4 【解析】 “不等式 2m在 R上恒成立” 即 ， ，014m4同时要满足“必要
9、不充分” ，在选项中只有“ ”符合.5 【解析】由随机变量 服从正态分布 可得对称轴为 ，又4,3Nx5Pa， 与 关于 对称， ，1Pa5xa1x518a即 .66 【解析】由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦符合“ ”表示二进制数的 ，0转化为十进制数的计算为 0123452012177 【解析】由 及等差数列通项公式得 ，又 ， ， ，9126a5ada2d， ，2nS1nSn1210=230108 【解析】第 1 种：甲在最后一个体验，则有 种方法；第 2 种：甲不在最后体验，则有 种A12CA方法，所以小明共有 .312AC9 【解析】设双曲线方程为 ，不妨设点 M 在第一象限，所以
10、0,xyab， ，作 轴于点 ，则 ，故 ，ABMaBHx60BHa，所以 ，将点 代入双曲线方程 ，得 ，所以3H2,321xyabab.2e10【解析】依题意，题中的几何体是三棱锥 P-ABC(如图所示) ，其中底面 ABC 是直角三角形， ， 面 ABC，ABC题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 A D C C B B B D D C B A， ， ，因此27BC2210PAy227PAx，221810864xyxx当且仅当 ，即 时取等号，因此 xy 的最大值是 64.22811 【解析】由题意 ， ， ，又 )(21xff，有 3)(21xf，TAba，即
11、 ，且 ，即123sinx123x2sin，解得 ，2， ， 单调递增.解sin23fxx22,3kxkZyfx得 .所以选项 B 符合.5,11kkZ12 【解析】令 ，所以求 的零点之和 和 的交点横坐()0gxfygxyfx1y标之和，分别作出 时， 和 图象，如图f1由于 和 都关于原点对称，因此 的零点之和为 0，而当 时，yfx1y6,x8x，即两函数刚好有 1 个交点，而当 时 的图象都在 的上方，881yxyf因此零点之和为 8.二填空题：本题共4小题，每小题5分。13 14. 16 15. 16. 212n13 【解析】 ； ，由 且 可得 .5cossi3,1tan5sin
12、14【解析】由题意得，需要从 56 人中分成 4 组，每组的第 2 位学号为抽出的同学，所以有.142615【解析】由 两边同除 可得 ，又 ， 成以 为首，12nna1n1na12na1公差为 的等差数列， ， .22n2n16【解析】 ， ， ，又 ，3CPD4AB34PADB8A5D，代入式子可得21314AB262APB三解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.解：（1） ， coscos0CaAb由正弦定理可得 2 分inicosin0CB，即2sinsAB2又 ， ， ，即 . 6 分018Bi012（2）由余弦定理可得 ， 9 分223cos04aaa又
13、， ， ， 的面积为 .12 分ain3ABCSbABC318.解：（1）取 中点 ，连接 、 、 ，OPO四边形 是边长为 的菱形， ABD22 ， 是等边三角形60C ， 2 分O3 ， P12 ， 4 分22PCO ， 平面 ABAB 平面 ， 平面 平面 5 分CDD（2） ， 2221()OPA由（1）知，平面 平面 ， 平面 ，BC直线 两两垂直以 为原点建立空间直角坐标系 ，如图，,POxyz则 (0)(,0)(,)(3,0)(,20)(,1)ABC 6 分,31设平面 的法向量为 ，C,xyzm由 ，得 ，取 ，得 ， 8 分0P0(1,3)m设平面 的法向量为 ，由 ，得 ，
14、D(,)xyzn0PCDn02xzy取 ，得 ， 10 分1x(,3) ，由图可知二面角 为锐二面角， 二面角 的27cos,mAAPCD的余弦值为 12 分 2719.解：（）当 时，即背诵 6 首后，正确个数为 4 首，错误 2 首；60S由 可得：若第一首和第二首背诵正确，则其余 4 首可任意背诵对 2 首；01,3iS若第一首正确，第二首背诵错误，第三首背诵正确，则其余 3 首可任意背诵对 2 首，此时的概率为： ；4 分22 2411638pCCOyxzBCDAP（） 的取值为 10，30，50，又 ， ， 5S23p1q ， 6 分 3255140108pC， 8 分41310 分
15、5005522038pC 的分布列为： 403185018E 12 分 20.解：（1）由题意知 中线段 的垂直MQAP平分线，所以2CPQCQAC所以点 的轨迹是以点 ， 为焦点，焦距为 2，长轴为 的椭圆，2 分， ， 3 分2a1c21bac故点 的轨迹方程是 4 分xy（2）设直线 ，:lyk12,FHxy直线 与圆 相切l2x21bkk联立 6 分1ykxb240x7 分22 21648(1)8kbk08 分2122,xk9 分21211()OFHxyxx2()4)bkb2224(1)kk10 分21k所以 23445213k为所求. 12 分32k k或21.解：（1） ， 的图象
16、在 处的切线与 轴平行，xfeayfx0x即在 处的切线的斜率为 0，即 ， 4 分0x1a1a（2）f(x)2(e xxa)，又令 h(x)2(e xxa) ，则 h(x)2(e x1)0，h(x)在0，)上单调递增，且 h(0)2(a1) 5 分 130 50p408318当 a1 时， f(x)0 恒成立，即函数 f(x)在0，)上单调递增，从而必须满足 f(0)5a 20，解得 a ，又 a1，1a . 8 分5 5 5当 a0，使 h(x0)0 且 x(0，x 0)时，h(x)0，即 f(x)0，即 f(x)单调递增f(x)minf(x 0) 2ex0(x 0a) 230，又 h(x
17、0)2(e x0x 0a) 0，从而 2 ex0(e x0)230, 解得 0x0ln 3.由 ex0x 0aax 0e x0，令 M(x)xe x，0xln 3，则 M(x)1e x0，M(x )在(0，ln 3上单调递减，则 M(x)M(ln 3)ln 33，又 M(x)M(0)1，故 ln 33a 1. 11 分综上，ln 33a . 12 分5（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。（22）解：（1）曲线 C： 可化为 ，其轨迹为椭圆，2cos3inxy2143yx焦点为 和 2 分1,0F21,
18、经过 和 的直线方程为 ，即 ，4 分3Ayx30xy极坐标方程为 . 5 分cosin3（2）由（1）知，直线 AF2 的斜率为 ，因为 AF2，所以 的斜率为 ，倾斜角为 30，所以ll的参数方程为 （t 为参数） ， 6 分l312xyt代入椭圆 C 的方程中，得 8 分60t因为 M，N 在点 F1 的两侧，所以 10 分1123|1MFNt23.解：（1）当 5m时， ， 3 分 52()3xf由 ()2fx得不等式的解集为 . 5 分32x（2）由二次函数 23(1)yx，该函数在 1x取得最小值 2，因为 ，在 x处取得最大值 m， 8 分()fm所以要使二次函数 23yx与函数 ()yf的图象恒有公共点，只需 2，即 4. 10 分
