1、1突破 170 分之江苏高三数学复习提升秘籍问题二：立体几何中折叠问题立体几何中的折叠问题主要包含两大问题：平面图形的折叠与几何体的表面 展开。把一个平面图形按照某种要求折起，转化为空间图形，进 而研究图形在位置关系和数量关系上的变化，这就是折叠问题。把一个几何体的表面伸展为一个平面图形从而研究几何体表面上的距离问题，这就是几何体的表面展开问题。折叠与展开问题是立体几何的两个重要问题，这两种方式的转变正是空间几何与平面几何问题转化的集中体现，展开与折叠问题就是一个由抽象到直观，由直观到抽象的过程。此类问题也是历年高考命题的一大热点，主要包括两个方面：一是平面图形的折叠问题，多涉及到空间中的线面
2、关系、体积的求解以及空间角、距离的求解等问题；二是几何体的表面展开问题，主要涉及到几何体的表面积以及几何体表面上的最短距离等. 一、平面图形的折叠解答折叠问题的关键在于画好折叠前后的平面图形与立体图形，抓住两个关键点：不变的线线关系、不变的数量关系.不变的线线关系，尤其是平面图形中的线线平行、线线垂直关系是证明空间平行、垂直关系的起点和重要依据；不变的数量关系是求解几何体的数字特征，如几何体的表面积、体积、空间中的角与距离等的重要依据.1. 折叠后的形状判断【例 1】如下图，在下列六个图形中，每个小四边形皆为全等的正方形，那么沿其正方形相邻边折叠，能够围成正方体的是_( 要求：把你认为正确图形
3、的序号都填上) 2【分析】根据平面图形的特征，想象平面图形折叠后的图形进行判断.也可利用手中的纸片画出相应的图形进行折叠.【答案】【解析】【牛刀小试】下图代表未折叠正方体的展开图，将其折叠起来，变成正方体后的图形是（ ） A. B. C. D.【答案】B【解析】将平面展开图还原成正方体后，三个面内的线段是平行的，故选 B.2.折叠后的线面关系【例 2】将图 1 中的等腰直角三角形 ABC 沿斜边 BC 的中线折起得到空间四边形ABCD(如图 2)，则在空间四边形 ABCD 中，AD 与 BC 的位置关系是( )图 1 图 2A相交且垂直 B相交但不垂直C异面且垂直 D异面但不垂直【答案】C3【
4、解析】在图 1 中的等腰直角三角形 ABC 中，斜边上的中线 AD 就是斜边 上的高，则ADBC，折叠后如图 2，AD 与 BC 变成异面直线，而原线段 BC 变成两条线段BD、CD，这两条线段与 AD 垂直，即 ADBD ，ADCD，故 AD平面 BCD，所以ADBC.【牛刀小试】将下面的平面图形（每个点都是正三角形的顶点或边的中点）沿虚线折成一个正四面体后，直线 与 是异面直线的是 _.MNPQ【答案】【解析】M NP QM P QNMNPQMNPQ43.折叠后几何体的数字特征折叠后几何体的数字特征包括线段长度、几何体的表面积与体积、空间角与距离等，设计问题综合、全面，也是高考命题的重点.
5、解决此类问题的关键是准确确定折叠后几何体的结构特征以及平面图形折叠前后的数量关系之间的对应.【例 3】 （体积问题）如图所示，等腰 的底边 ，高 ，点 是线ABC 63CDE段 上异于点 的动点，点 在 边上，且 ，现沿 将 折起BD， FEFAB FB5到 的位置，使 ，记 ， 表示四棱锥 的体积PEF PEA Bx()VPACFEPEDFBCA（1）求 的表达式；()Vx（2）当 为何值时， 取得最大值？()x【解析】【牛刀小试】 【2016 届河南省信阳高中高三上第八次大考】平行四边形 ABCD 中， AB=0，沿 BD 将四边形折起成直二面角 A 一 BDC ，且 ，则三棱锥BD 42
6、2DABABCD 的外接球的表面积为_.【答案】 4【解析】【例 4】 （空间角问题）如左图,矩形 ABCD中, 12, 6A, E、 F分别为 CD、AB边上的点 ,且 3DE, 4F,将 E沿 折起至 PB位置(如右图所示),连结P、 F、 ,其中 25P.()求证: 平面 ； ()求直线 与平面 所成角的正弦值.6解法二图A BCDPEFHxyz解法一图A BCDPEF.ACDBEF图 图A BCDPEF【解析】() 由翻折不变性可知, 6PBC, 9E,在 PBF中, 2 2013,所以 PFB在图 1中,易得 64E, 在 中, 2 28E,所以 又 , 平面 ABD, 平面 A,所
7、以 平面 A.()方法一:以 为原点,建立空间直角坐标系 xyz如图所示,则 6,0,6,825P,03E, 68,0F,所以 0,825AP, 0,25FP, ,EF, 设平面 的法向量为 ,xyzn,则 En,即 06zxy,解得56xyz7【牛刀小试】如图，边长为 2 的正方形 ABCD，E,F 分别是 AB,BC 的中点，将AED，DCF 分别沿 DE,DF 折起，使 A,C 两点重合于 A。 图3F FDEBAEA/BCD（1)求证： AEF;（2）求二面角 ED的平面角的余弦值.【解析】8方法 2：在BEF 中，BE=BF=1，BE BF，EF= 2, A/E= A/F=1， A/
8、E2+ A/F2=EF2A/EA/F, 所以以 A/为坐标系的原点，A /E,A/D,A/F 分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系， 则 A/（0,0,0） ，D(0，2，0),E(1，0，0),F(0 ，0，1) ED（-1,2,0） ， EF（-1,0,1） ，设平面 DEF 的法向量是 (,)nxyz，则 nED0， F0， 20xyz，取=（2,1,2 ） ， 又 /AD(0，2，0) 是平面 A/EF 的法向量，9n与 /AD夹角的余弦值是 /1cos3ADn。 所以二面角 EF的平面角的余弦值是 。 【总结】折叠问题分析求解两原则：(1)折叠问题的探究须充分利用不变量和不变关系
9、；(2)折叠前后始终位于折线的同侧的几何量和位置关系保持不变。二、几何体的展开几何体表面展开问题是折叠问题的逆向思维、逆过程，一般地，涉及到多面体表面距离的问题，解题时不妨将它展开成平面图形试一试.1.展开后形状的判断【例 5】把正方体的表面沿某些棱剪开展成一个平面图形（如右下图） ，请根据各面上的图案判断这个正方体是（ ）【解析】【牛刀小试】水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示.如右图,是一个正方体的平面展开图,若图中的“似”表示正方体的前面, “锦” 表示右面, “程”表示下面.则“ 祝”、 “你”、 “前”分别表示正方体的_.程前你祝似 锦10【解析】
10、【总结】正方体展开头记忆口诀:正方体盒巧展开，六个面儿七刀裁; 十四条边布周围，十一类图记分明;四方成线两相卫，六种图形巧组合；跃马失蹄四分开；两两错开一阶梯。对面相隔不相连,识图巧排“7”、 “凹”、 “田”。 在正方体的展开图中,一条直线上的小正方形不会超过四个。正方 体的展开图不会有“田“字形,“ 凹“字形的形状。2.展开后的数字特征表面上的最短距离问题【例 6】如图，已知圆柱体底面圆的半径为 ，高为 2， 分别是两底面的直径，ABCD，是母线若一只小虫从 A 点出发，从侧面爬行到 点，求小 虫爬行的最短路线的ADBC，长度解析：如图，将圆柱的侧面展开，AD CA1BD1其中 为底面周长的一半，即 ， .2ABrp2AD则小虫爬行的最短路线为线段 .C在矩形 中， .ABCD22所以小虫爬行的最短路线长度为 .【牛刀小试】如图，在长方体中， ，求沿着长方体表面从 到13,4,5ABCA
