1、圆苑老师一、圆的概念集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线） ；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都
2、相等的一条直线。二、点与圆的位置关系1、点在圆内 点 在圆内；drC2、点在圆上 点 在圆上；B3、点在圆外 点 在圆外；rA三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 无交点；dr2、直线与圆相切 有一个交点；3、直线与圆相交 有两个交点；rrddCBAOdrd=rr d四、圆与圆的位置关系外离（图 1） 无交点 ；dRr外切（图 2） 有一个交点 ；相交（图 3） 有两个交点 ；rr内切（图 4） 有一个交点 ；dR内含（图 5） 无交点 ；r1rRd3rRd五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论 1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（
3、2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共 4 个定理，简称 2 推 3 定理：此定理中共 5 个结论中，只要知道其中 2 个即可推出其它 3 个结论，即： 是直径 弧 弧 弧ABABCDEBCD2rRd 4rRd5rRdOE DCBA弧ACD中任意 2 个条件推出其他 3 个结论。推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在 中， OABCD弧 弧例题 1、 基本概念1下面四个命题中正确的一个是（ ）A平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心 D
4、在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心2下列命题中，正确的是（ ） A过弦的中点的直线平分弦所对的弧 B过弦的中点的直线必过圆心C弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心 D弦的垂线平分弦所对的弧例题 2、垂径定理1、在直径为 52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为 16cm，那么油面宽度 AB 是_cm.2、在直径为 52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后， ，如果油面宽度是 48cm，那么油的最大深度为_cm.3、如图，已知在 中，弦 ，且 ，垂足为 ， 于 ， 于 .OCDABHABOECDF（1）求证：四边形 是正方形.EHF（2）若 ，
5、 ，求圆心 到弦 和 的距离.3C9OABCD4、已知：ABC 内接于 O，AB=AC ，半径 OB=5cm，圆心 O 到 BC 的距离为 3cm，求 AB 的长5、如图，F 是以 O 为圆心，BC 为直径的半圆上任意一点， A 是 的中点，ADBC 于 D，求证：OC DA BAD= BF.21例题 3、度数问题1、已知：在 中，弦 ， 点到 的距离等于 的一半，求： 的度数和圆Ocm12ABOABABAOB的半径.2、已知：O 的半径 ，弦 AB、 AC 的长分别是 、 .求 的度数。1OA23BAC例题 4、相交问题如图，已知O 的直径 AB 和弦 CD 相交于点 E，AE=6cm，EB
6、=2cm，BED=30，求 CD 的长.例题 5、平行问题在直径为 50cm 的O 中，弦 AB=40cm，弦 CD=48cm，且 ABCD，求：AB 与 CD 之间的距离.例题 6、同心圆问题如图，在两个同心圆中，大圆的弦 AB，交小圆于 C、 D 两点，设大圆和小圆的半径分别为 .求证： .ba, 2baBDA例题 7、平行与相似已知：如图， 是 的直径， 是弦， ， 于 .求OC于CAECBF证： .FDEC六、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称 1 推 3 定理，即上述四个结论中，A BDCEO 只要知道其中的 1 个相
7、等，则可以推出其它的 3 个结论，即： ； ；AOBDEAB ； 弧 弧CF七、圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即： 和 是弧 所对的圆心角和圆周角AOBCAB 22、圆周角定理的推论：推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中， 相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在 中， 、 都是所对的圆周角OCD 推论 2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在 中， 是直径 或OAB90C 是直径90CAB推论 3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在 中，ABO 是直角三角形或C90
8、C注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。【例 1】用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，根据图形 3-3-19 所表示的情形，四个工件哪一个肯定是半圆环形？FEDC BAO CBAOD CBAO CB AOCB AO【例 2】如图，已知O 中，AB 为直径，AB=10cm，弦 AC=6cm，ACB 的平分线交O 于 D，求 BC、AD 和 BD 的长【例 3】如图所示，已知 AB 为O 的直径，AC 为弦，ODBC，交 AC 于D，BC=4cm（1）求证：ACOD； （2）求 OD 的长； （3）若 2sinA1=0，求O 的直径【例 4
9、】四边形 ABCD 中，ABDC，BC=b，AB=AC=AD=a，如图，求 BD 的长【例 5】如图 1，AB 是半O 的直径，过 A、B 两点作半O 的弦，当两弦交点恰好落在半O 上C 点时，则有 ACACBCBC=AB 2（1）如图 2，若两弦交于点 P 在半O 内，则 APACBPBD=AB 2是否成立？请说明理由（2）如图 3，若两弦 AC、BD 的延长线交于 P 点，则 AB2= 参照（1）填写相应结论，并证明你填写结论的正确性八、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即：在 中，OEDCBA四边形 是内接四边形ABCD 180180E例 1、
10、如图 7-107，O 中，两弦 ABCD，M 是 AB 的中点，过 M 点作弦 DE求证：E，M，O，C 四点共圆九、切线的性质与判定定理（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即： 且 过半径 外端MNOAA 是 的切线（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。十、切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和
11、圆心的连线平分两条切线的夹角。即： 、 是的两条切线PABNM AOPBAOPAB平分O利用切线性质计算线段的长度例 1：如图，已知：AB 是O 的直径，P 为延长线上的一点，PC 切O 于 C，CDAB 于 D，又PC=4，O 的半径为 3求：OD 的长利用切线性质计算角的度数例 2：如图，已知：AB 是O 的直径，CD 切O 于 C，AECD 于 E，BC 的延长线与 AE 的延长线交于 F，且 AF=BF求：A 的度数利用切线性质证明角相等例 3：如图，已知：AB 为O 的直径，过 A 作弦 AC、AD，并延长与过 B 的切线交于 M、N求证：MCN=MDN利用切线性质证线段相等例 4：
12、如图，已知：AB 是O 直径，COAB，CD 切O 于 D，AD 交 CO 于 E求证：CD=CE利用切线性质证两直线垂直例 5：如图，已知：ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径作O，交 BC 于 D，DE 切O 于 D，交 AC 于 E求证：DEAC十一、圆幂定理（1）相交弦定理 ：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的 乘积相等。即：在 中，弦 、 相交于点 ，OABCDPP（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即：在 中，直径 ，OABCD 2E（3）切割线定理 ：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即
13、：在 中， 是切线， 是割线OPAB 2C（4）割线定理 ：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积PO DCBAO EDCB A D EC BPAO相等（如上图） 。即：在 中， 、 是割线OPBE CD例1.如图1，正方形 ABCD 的边长为1，以 BC 为直径。在正方形内作半圆 O，过 A 作半圆切线，切点为 F，交 CD 于 E，求 DE：AE 的值。例2.O 中的两条弦 AB 与 CD 相交于 E，若 AE6cm，BE2cm，CD7cm，那么CE_cm。图2例3.如图3，P 是O 外一点，PC 切O 于点 C，PAB 是O 的割线，交O 于 A、B 两点，如果PA：PB1：4，PC12cm，O 的半径为10cm，则圆心 O 到 AB 的距离是_cm。图3例4.如图4，AB 为O 的直径，过 B 点作O 的切线 BC，OC 交O 于点 E，AE 的延长线交 BC 于点D， （1）求证： ；（2）若 ABBC2厘米，求 CE、CD 的长。图4例5.如图5，PA、PC 切O 于 A、C，PDB 为割线。求证：ADBCCDAB
