1、例题精讲所谓图的一笔画，指的就是：从 图的一点出发，笔不离 纸，遍历每条边恰好一次，即每条边都只画一次，不准重复从图中容易看出：能一笔画出的 图首先必须是连通 图但是否所有的 连通图都可以一笔画出呢？下面，我们就来探求解决这个问题的方法什么样的图形能一笔画成呢？这就是一笔画问题，它是一种有名的数学游戏我们把一个图形中与偶数条线相连接的点叫做偶点相 应 的把与奇数条线相连接的点叫做奇点一笔画问题：(1)能一笔画出的图形必须是连通的图形；(2)凡是只由偶点组成的连通图形一定可以一笔画出画时可以由任一偶点作为起点最后仍回到这点；(3)凡是只有两个奇点的连通图形一定可以一笔画出画 时 必须以一个奇点作
2、为起点，以另一个奇点 为终点；(4)奇点个数超过两个的图形，一定不能一笔画多笔画问题：我们把不能一笔画成的图，归纳为 多笔画多笔画 图形的笔画数恰等于奇点个数的一半事实上，对于任意的连通图来说，如果有 2n 个奇点 (n 为自然数)，那么 这个图 一定可以用 n 笔画成【例 1】 我们把一个图形上与偶数条线相连的点叫做偶点，与奇数条线相连的点叫做奇点下图中，哪些点是偶点？哪些点是奇点？【解析】 奇点：J D H F 偶点：A E B C G I【例 2】 判断下列图 a、图 b、图 c 能否一笔画图aN MLK FDECBA图bODCBA图cGFEDCBA【解析】 图 a 能，因 为有 2 个
3、奇点，图 b 不能，因为图形不是连通的，图 c 能，因为因 为图中全是奇点【例 3】 下面图形能不能一笔画成？若果能，应该怎样画？奇妙的一笔画【解析】 图 1 能 因为图中全是偶点，图 2 能 因为图中全是偶点，图 3 不能因为有 4 个奇点【例 4】 下面的图形，哪些能一笔画出？哪些不能一笔画出？【解析】 第 1 个能， 2、3 不能【例 5】 下图中不能一笔画成，请你在下图中添加最少的线段，将其改成一笔画的图形，并画出路线图【解析】 不能一笔画出，因 为图 中有 E H G F 四个奇点， 连结 EH 就可以使图形一笔画出【例 6】 下图中的线段表示小路，请你仔细观察，认真思考，能够不重复
4、的爬遍小路的是甲蚂蚁还是乙蚂蚁？该怎样爬？【解析】 要想不重复爬出，需要图形能一笔画出，由于图中有两个奇点，所以应该从奇点出发才能一笔画出图形，所以甲蚂蚁能够【例 7】 能否用剪刀从左下图中一次连续剪下三个正方形和两个三角形？【解析】 可以【例 8】 下图是儿童乐园的道路平面图，要使游客走遍每条路并且不重复，那么出、入口应设在哪里？【解析】 要想不重复，需要路线能一笔画出，由于图中有两个奇点，所以入口和出口应该分别放在两个奇点出，即 F 和 I 点【例 9】 邮递员叔叔向 11 个地点送信一次信，不走重复路，怎样走最合适？【解析】 不走重复路，一笔能画出路线图，图中有 2 个奇点，应该从奇点处
5、出发，下面有一种参考路线： 4-1-2-5-8-9-6-10-11-7-4-3【例 10】 观察下面的图，看各至少用几笔画成？【解析】 图(1)有 8 个奇点，所以要 4 笔画出，图(2)有 12 个奇点，所以要一笔画出，图(3)能一笔画出【例 11】 判断下列图形能否一笔画若能，请给出一种画法；若不能，请加一条线或去一条线，将其改成可一笔画的图形IH GFEDCBA图aHGIK LJ FEDCBA图bDCHGE FBA图c【解析】 图(1)不能一笔画出，因 为图中有 4 个奇点，连结 BD，或者去掉 BF 都可以使图形能一笔画出图(2)不能一笔画出，因为图中有 4 个奇点，去掉 KL，或者
6、BK 都可以使图形能一笔画出图(3)不能一笔画出，因为图中有 4 个奇点，去掉 AB 可以使图形能一笔画出一个 K(K1)笔画最少要添加几条连线才能变成一笔画呢？我 们知道 K 笔画有 2K 个奇点，如果在任意两个奇点之间添加一条连线，那么 这两个奇点同时变 成了偶点如左下 图中的 B，C 两个奇点在右下图中都变成了偶点所以只要在 K 笔画的 2K 个奇点间添加(K-1)笔就可以使奇点数目减少为 2个，从而变成一笔画【例 12】 18 世纪的哥尼斯堡城是一座美丽的城市，在这座城市中有一条布勒格尔河横贯城区，这条河有两条支流在城市中心汇合，汇合处有一座小岛 A 和一座半岛 D，人们在这里建了一座
7、公园，公园中有七座桥把河两岸和两个小岛连接起来(如图 a)如果游人要一次走过这七座桥，而且对每座桥只许走一次，问如何走才能成功？【解析】 欧拉解决这个问题的方法非常巧妙他 认为：人们关心的只是一次不重复地走遍这七座桥，而并不关心桥的长短和岛的大小，因此， 岛和岸都可以看作一个点，而 桥则可以看成是连接这些点的一条线这样，一个 实际问题就转化为一个几何图形(如下图)能否一笔画出的问题了而图 B 中有 4 个奇点显然不能一笔画出【巩固】如下图所示，两条河流的交汇处有两个岛，有七座桥连接这两个岛及河岸问：一个散步者能否一次不重复地走遍这七座桥？【解析】 能【例 13】 右图是某展览厅的平面图，它由五
8、个展室组成，任两展室之间都有门相通，整个展览厅还有一个进口和一个出口，问游人能否一次不重复地穿过所有的门，并且从入口进，从出口出？【解析】 将图形中的 6 个区域看成 6 个点，每个 门看成连结他们的线段，显然 6 个点都是偶点，所以有人能一次不重复的走过所有的门【巩固】右图是某展览馆的平面图，一个参观者能否不重复地穿过每一扇门？如果不能，请说明理由如果能，应从哪开始走？ECDBA【解析】 不能【例 14】 一条小虫沿长 6 分米，宽 4 分米，高 5 分米的长方体的棱爬行如果它只能进不能退，并且同一条棱不能爬两次，那么它最多能爬多少分米？【解析】 8 个定点都是奇点，所以至少需要 4 笔多画
9、长和高能保证总路程最长，为 ABGH AD C FED总长为 645 4 4148 分米【巩固】一只木箱的长、宽、高分别为 5，4，3 厘米(见右图)，有一只甲虫从 A 点出发，沿棱爬行，每条棱不允许重复，则甲虫回到 A 点时，最多能爬行多少厘米？【解析】 最多 34 厘米【例 15】 如图是某餐厅的平面图，共有五个小厅，相邻两厅之间有门相通，并且设有入口请问你能否从入口进入一次不重复地穿过所有的门如果可以，请指明穿行路线， 如果不能，应关闭哪个门就可以办到？【解析】 可以将图中的五个小厅以及厅外的部分都抽象成点，为方便解题，给它们分别编号这时，连通厅与厅之间的门就相当于各点之间的连线于是题目
10、中餐厅的平面 图就抽象成为一个连通的图形，求穿形路线的问题就转化成一笔画的问题在抽象出的图形中，我们可以找到四个奇点，即、 和厅外，所以图形不能一笔画出也就是 说，从入口进入不可能一次不重复的穿过所有的门但根据一笔画问题的知识，只要关 闭门，把、变为偶点，就可以办 到，可行路 线如下图：B【例 16】 在33的方阵中每个小正方形的边长都是100 米小明沿线段从A点到B 点，不许走重复路，他最多能走多少米？【解析】 这道题大多数同学都采用试画的方法， 实际上可以用一笔画原理求解首先， 图中有8 个奇点，在8 个奇点之间至少要去掉4 条线 段，才能使这8 个奇点变成偶点；其次，从A点出发到B 点，
11、 A， B 两点必须是奇点， 现在A， B 都是偶点，必须在与A，B 连接的线段中各去掉1 条线段，使 A，B 成为奇点所以至少要去掉6 条线段，也就是最多能走1800 米，走法如图【例 17】 一个邮递员投递信件要走的街道如右图所示，图中的数字表示各条街道的千米数，他从邮局出发， 要走遍各街道，最后回到邮局怎样走才能使所走的行程最短？全程多少千米？【解析】 图中共有8 个奇点，必 须在8 个奇点间添加4 条线，才能消除所有奇点，成 为能从邮局出发最后返回邮局的一笔画在距离最近的两个奇点间添加一条连线，如左下图中虚线所示，共添加4 条连线，这4 条连线表示要重复走的路， 显 然，这样重复走的路程最短，全程30 千米走法参考右下图(走法不唯一)
