1、找规律是解决数学问题的一种重要的手段，而 规律的找寻 既需要敏锐的观察力，又需要 严密的逻辑推理能力.一般地说，在观察图形变化规 律时， 应抓住一下几点来考虑问题 ：图形数量的变化；图形形状的变化；图形大小的变化；图形颜色的变化；图形位置的变化；图形繁简的变化.对于较复杂的图形，也可分为 几部分来分别考虑， 总而言之，只要全面观察，勤于思考就一定能抓住规律，解决问题. 板块一 数量规律【例 1】 请找出下面哪个图形与其他图形不一样.【解析】 这组图形的共同特征是， 连接各边上一点，组成一个复合图形.所不同的是，第四个图形是一个六边形，而其它几个都是四边形，这样，只有（ 4）与其它不一样【例 2
2、】 观察图形的变化，想一想，按图形的变化规律，在带“？”的空格处应画什么样的图形？【解析】 横着看，每行 圆形的个数一次减少，而三角形的个数依次增加，但每行 图形的总个数不变.因为圆形的个数是按 4、3、？、 1 的顺序变化的，显然“ ？”处应填一个圆形。【巩固】观察图形的变化，想一想，按图形的变化规律，在带“？”的空格处应画什么样的图形？【解析】 （方法一）横着看，每行三角形的个数依次减少，而正方形的个数依次增加，但每行图形的总个数不变.因为三角形的个数是按 4、3、？、 1 的顺序变化的，显然“ ？”处应填一个三角形.(方法二) 竖着看，三角形由左而右依次减少，而正方形由左而右依次增加，三
3、角形按照 4、？、2、1 的顺序变化，也可以看出 “？”处应是三角形.【巩固】观察图形的变化，想一想，按图形的变化规律，在带“？”的空格处应画什么样的图形？图形找规律【解析】 （方法一）横着看，每行圆形的个数一次减少，而三角形的个数依次增加，但每行 图形的总个数不变.因为圆形的个数是按 5、4、3、？、1 的顺序变化的，显然“？ ”处应填一个圆形.(方法二) 竖着看， 圆形由左而右依次减少，而三角形由左而右依次增加， 圆形按照 5、4、？、 2、1 的顺序变化，也可以看出 “？”处应是圆形.【例 3】 观察下面的图形，按规律在“？”处填上适当的图形.54321【解析】 本题中，几何 图形的 变
4、化表现在数量关系上，图中黑三角形的个数从左到右依次增多，从（2）起，每一个格比前面一个格多两个黑三角形，所以，第（4）个方框中应填七个黑三角形.【例 4】 观察图形变化规律，在右边补上一幅，使它成为一个完整系列。【解析】 观察发现，乌龟的顺 序是：头、身一只脚、背上一个点两只脚、背上两个点两只脚、一条尾、背上三个点三只脚、一条尾、背上四个点，根据这 个规律，最后一幅图应该是：四只脚、一条尾、背上五个点.即：【例 5】 观察图形变化规律，在右边再补上一幅，使它们成为一个完整的系列.【解析】 第一格有 8 个圆圈，第二格有 4 个圆圈，第三格有 2 个圆圈，第四格有 1 个圆圈，第五格有半个圆圈.
5、由此发现，前一格中的 图减少一般，正好是后一格的图.所以第六格的图应该是第五格图的一半，即：【例 6】 观察下图中的点群，请回答：(1) 方框内的点群包含多少个点？(2) 推测第 10 个点群中包含多少个点？(3) 前 10 个点群中，所有点的总数是多少？【解析】 （1）数一数，前 4 个点群包含的点数分 别是：1，4，9，16.不难发现， 1=11,422,933,1644,按照这个规律，第 5 个点群（即方框中的点群）包含的点数是： 55=25（个）.（2）按发现的规律推出，第十个点群的点数是：1010=100 （个） .（3）前十个点群，所有的点数是：【例 7】 观察下面由点组成的图形（
6、点群），请回答：（1）方框内的点群包含多少个点？（2）第（10）个点群中包含多少个点？（3）前十个点群中，所有点的总数是多少？【解析】 （1）数一数可知：前四个点群中包含的点数分别是：1， 4，7，10.可以看出，在每相邻的两个数中，后一个数都比前一个数大 3.因为方框内应是第（5）个点群，它的点数 应该是 10+3=13（个）.（2）列表，依次写出各点群的点数，可知第（10）个点群包含有 28 个点.（3）前十个点群，所有点的总数是： 1+4+7+10+13+16+19+22+25+28=145（个）【例 8】 下图表示“宝塔”，它们的层数不同，但都是由一样大的小三角形摆成的.仔细观察后，请
7、回答：（1）五层的“宝塔”的最下层包含多少个小三角形？（2）整个五层“宝塔”一共包含多少个小三角形？【解析】 （1）数一数“ 宝塔” 每层包含的小三角形数：可见 1，3，5，7 是个奇数列，所以由这个规律猜出第五层应包含的小三角形是 9 个.（2）整个五层塔共包含的小三角形个数是：1+3+5+7+9=25（个）.板块二 旋转、轮换型规律【例 9】 相传古时候一位老人留在人间很多宝盒，里面装着世界上最宝贵的财富，但是并不是拥有宝盒都可以得到这笔财富，在宝盒的上面设置了密码，只有写出密码的人才会真正拥有这笔财富，聪明的你你能找出密码吗？ （） （） （） （） （） （） （） （）【解析】 有几
8、种方法可以找出密码：（方法一）后面一排和前面一排比，上排的第一个图形移到最后，其他每个图形都向前移动了一格，变成了下一排.（方法二）斜着看，每一斜列的图形是一样的.所以密码就是： 【例 10】 下面的图形是按一定规律排列的，请仔细观察，并在“？”处填上适当的图形.（1）321（2）321（3）321【解析】 （1）仔细观察可发现第 1 组和第 2 组中间的部分都是由三个小图形构成的.构成的规律是：当按照第1、第 2、第 3 组的顺序观察时，6 个小图形都在向左移动，而且移动的同时又在重新分组和组合，但排列顺序保持不变，当某一个小图形移动到了最左边时，下一步它就回到了最右边.按这个规律可知图中第
9、 3 组中间“？” 处是： 0.（2）注意观察第 1 组和第 2 组，每 组都是由三对小图形组成；而每 对小图形都是由一个“空白”的和一个“黑色”的小图形组成；而且它俩的排列顺序都是“ 空白”的在左边，“黑色”的在右边.再按着第 1、第2、第 3 组的顺序观察下去，可发现每对小图形在各组中的位置的 变化规律：它们都在向左移动，当一对小图形移动到最左边后，下一步它就回到了最右 边.按这 个移动规律，可知第 3 组“ ？”处应填：.（3）观察第 1 组与第 2 组，每组 中有三种图形：、 、，我们把每组图形再分为三小组，将更明 显的得出变化规律. 第 2 组将第 1 组中的 1、2 小组 按原顺序
10、调至第 3 小组，根据这个规律，可得“？”中应填.【例 11】 观察下图的变化规律，画出丙图.DCBADCBA【解析】 （甲）图与（乙）图中，点 A、B、C、D 的顺序和距离都没有改变，只是每个点的位置发生了变化，如：甲图中，A 在左方；而乙图中， A 在上方，我们把这样一种位置的 变化称为图形的旋转，乙 图可以看作是甲图沿顺时针方向旋转 90得到的，甲 图也可以看成是乙图沿逆时针旋转 90而得到的， 同样的道理，我们可以把 到 的位置变化也叫做旋转，叫做沿顺时针方向旋转 90.所以丙处应填：ABCD【总结】旋转是数学中的重要概念，掌握好这个概念，可以提高观察能力，加快解题速度，对于许多问题的
11、解决，也有事半而功倍的效果.【例 12】 有六种不同图案的瓷砖，每种各 6 块.将它们砌在如下图那样的地面上，使每一横行和每一竖行都没有相同图案的瓷砖.你会怎样设计？【解析】 第一排按 1 到 6 的顺序排列，从第二排起把第一个移动到最后，剩下的依次往前移.如右图所示，这样每一横行和每一竖行都没有重复.答案不唯一，类似的方法 还有很多.【例 13】 下面各种各样的娃娃头好看吗？认真观察你能找到它们排列的规律吗？根据规律把最后一个画出来. 【解析】【例 14】 观察图中所给出图形的变化规律，然后在空白处填画上所缺的图形.【解析】 给出图形的变化体现在四个方面：头、胡 须、身子和尾巴.（1）头：第
12、一行中三个图形的头部分别为三角形、 圆形和正方形，因此第二行空白处的图形其头为三角形，第三行中空白处的图形其 头为正方形.（2）胡须：第一行中三个图形的胡须分别为每边一根、两根、三根，因此，第二行中空白处的图形的胡须每边有两根，第三行中空白 处的图形的胡须每边有两根 .（3）身子：第一行中三个图形的身子分别为圆形、正方形和三角形，因此，第二行中空白处的图形的身子为圆形，第三行中空白处的 图形的身子为三角形.（4）尾巴：第一行中三个图形的尾巴分别为向右、向左和向上，因此，第二行中空白处的图形的尾巴向左，第三行中空白处的图形的尾巴向左 .所以，空缺的图形分别是：【例 15】 琪琪特别喜欢蝴蝶，她用
13、直尺和圆规在纸上画了 9 幅蝴蝶图，并用剪刀将它们一一剪下来.她将这 9 只纸蝴蝶摆在桌上，见下图 1，她发现这些纸蝴蝶排列挺有规律，突然一阵风来，吹走了 3只纸蝴蝶，见下图 2.你能找出蝴蝶的排列规律，将图 2 的 3 只蝴蝶放入图 1 的空缺处吗？1 9876543212B CA【解析】 从已摆好的第一行和第一列来看，无 论横看或竖看，同一行中 3 只蝴蝶的翅膀形状各不相同，翅膀上的斑点的形状也各不相同.根据这个规律，剩下的 3 只蝴蝶 图案的排列应该是：6 号位置放图案 C；8号位置放图案 B；9 号位置放图 案 A.【例 16】 请观察下图中已有的几个图形，并按规律填出空白处的图形.【
14、解析】 首先可以看出图形的第一行、第二列都是由一个圆、一个三角形和一个正方形所 组成的；其次，在所给出的图形中，我 们发现各行、各列均没有重复的图形，而且所给出的图形中，只有圆、三角形和正方形三种图形.由此，我 们知道 这个图的特点是：（1）仅由圆、三角形、正方形组成；（2）各行各列中，都只有一个圆 、一个三角形和一个正方形.因此，根据不重不漏的原则，在第二行的空格中应填一个三角形，而第三行的空格中应填一个正方形.【例 17】 观察下列各组图的变化规律，并在“？”处画出相关的图形.（1）（2）【解析】 （1）这四个图形的变化规律是：每一个图形都是由其前一个图形顺时针旋转 90而得到的.见下面左
15、图；（2）甲乙丙丁四个图形变化规律也类似，注意因 为图形是由旋 转而得到的，所以其中三角形、菱形的方向随旋转而变化，作图的时 候要注意到这一点.丁图处的 图形应是下面右图：【例 18】 如图，根据图中已知 3 个方格表中阴影的规律，在空白的方格表中也填上相应的阴影.【解析】 通过观察前三个方格表中阴影部分的规律，可以得出：把前 3 个方格表一列一列的看，阴影部分在一格一格的向下移动，当移到最下方时，便重新从最上面的一格重新开始循 环，不难看出第 4 个方格表的第一列应该把最下面一个格染黑，依此可以判断出其他的 3 个方格，所以，答案为：【巩固】根据前三个方格表中阴影部分的变化规律，填上第（10
16、）个方格表中阴影部分的小正方形内的几个数之和。6987543210.10321【解析】 由阴影部分在每一列都在一格一格下移的规律可得，每经过四次移动，阴影部分就会回到原来的位置，因为 104=2.2，所以，第（10）个图应该与第（2）个图相同，所以，第（ 10）个图为：所以方格中几个数的和是：1+2+5+9=17.【例 19】 按照下列图形的变化规律，空白处应是什么样的图形？【解析】 先看图中不变的部分.在整个变化过程中， 图形中大小两个正方形没有变化，因此可以肯定空白处的图形一定是大小两个正方形，位置是一里一外.变化的部分可以分 为两部分：（1）图形中的直线段部分，其变 化规律是每次顺时针旋
17、转 90，因此空白处图中的直线段应是下图的形状.（2）图中的阴影部分，是在小正方形的对角线的左右两边交替出 现的，因此空白 处图中的阴影部分应在小正方形对角线的右边.根据上面的分析，可画出空白处的图形，如右 图所示.【巩固】按照下列图形的变化规律，空白处应是什么样的图形？【解析】 先看图中不变的部分.在整个变化过程中， 图形中大小两个正方形没有变化，因此可以肯定空白处的图形一定是大小两个正方形，位置是一里一外.通过观察，变化的部分为阴影部分，它在顺时针旋转，根据分析，可得空白处应填图 形：【例 20】 请你认真仔细观察，按照下面图形的变化规律，在“?”处画出合适的图形。【解析】 这题看似复杂，
18、只要找到合适的方法，就可以很快解答出来。 图中阴影的三角形部分从左往右是按逆时针方向旋转 90得到的；涂黑色的梯形部分从左往右是按逆时针方向旋转 90得到的；而那条线段是按顺时针方向旋转 90得到的。因此 “?”处应画出的图形，如图所示：【例 21】 观察下图的变化规律，在“?”处填入适当的图形.【解析】 从图形的形状看，每一行有三个图形，并且各不相同，所以在“?” 处应填入正方形；从颜色看，每一行都有一个画斜线的图形、一个涂黑色的图形、一个空白的图形.因此，在“?”处应填一个画斜线的正方形.如图：【例 22】 下图中的图形是按一定规律排列的，请仔细观察，并在“？”处填上适当的图形.ihgfe
19、dcba【解析】 本题中，首先可以注意到每个图形都由大、小两部分组成，而且，大、小图形都是由正方形、三角形和圆形组成， 图中的任意两个图 形均不相同.因此，我们不妨试着把大、小图形分开来考虑，再一次观察后我们可以发现：对于大图形来说，每行每列的图形决不重复 .因此，每行每列都只有一个大正方形，一个大三角形和一个大圆， 对 于小图形也是如此，这样，“？”处的图形就不难得出.图中，（b）、（f）、（h）处的图形分别应填下面的三个图形.【巩固】下面的图形是按一定规律排列的，请仔细观察，并在“？”处填上适当的图形。【解析】 题中每个图形都是由大、小两部分 组成，而且大、小图形都是分别由正方形、三角形和
20、 圆形组成的.把大小图形分开考虑，就可得出答案。【例 23】 按照变化规律在“？”处填上合适的图形.（1）（2）dcba【解析】 （1）观察前三幅图可以看出两个规律“一是四个小 图形是按顺时针方向转动的，而且 、方形和*都没有变化，根据这条规律，可以先把这两个图形位置定下来；二是圆中间横线的方向，根据观察可以得到答案：（2）图（a）和（c）的规律就是图（b）到（d）的规律，也即把原图沿逆时针方向旋转 180.因此中“？”处的图形是图：【例 24】 观察下列各组图的变化规律，并在“？”处画出相关的图形.【解析】 四个图形的位置是按顺时针方向旋转的.因此第四幅图右上角为三角形，右下角 为半圆形，左
21、下角为圆形，左上角是正方形.正方形的阴影部分是按逆时针方向依次旋 转 90.得到的，因此第四幅图中正方形的阴影部分应在它的上方.三角形的方向是按逆时针方向依次旋转 90.得到的，所以第四幅图中三角形应向右.半圆形的方向与三角形的方向相同，第四幅 图中半圆形也应向右.圆形的阴影部分是按顺时针方向依次旋转 90.得到的，因此第四幅 图中圆形阴影部分应在圆形的左上角.因此，第四幅图应为：【例 25】 仔细观察下列图形的变化，请先回答：（1）在方框（4）中应画出怎样的图形？（2）再按（1）、（2）、（3）的顺序数下去，第（10）个方框是怎样的图形？【解析】 （1）先按（1）、（2）、（3）、的顺序仔细观察，可以发现：在（1）中， *在左上角，在（2）中它在右上角，在（3）中它在右下角，可见 它在沿顺时针方向转动.其他三个小 图形，即 、，也和*一样都在沿着顺时针方向转动.发现规律：因方框中的每个小图形的位置的变化都是按顺时针方向旋转，可以
