1、 数学（理）试题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设 ，集合 是奇数集，集合 是偶数集.若命题 ： ， ，则（ ）xZABpxA2BA ： ， 2x B ： ， pxC ： ， D ： ，2.如果方程 表示双曲线，则 的取值范围是（ ）22143xymmA B C D3,4,4,33.命题“若 ，则 且 ”的逆否命题是（ ）20aba0bA若 ，则 且 B若 ，则 或 0b 20abaC若 且 ，则 D若 或 ，则 2 24.已知具有线性相关的两个变量 ， 之间的一组数据如表：xy且回归
2、线方程是 ，则 （ ）0.952.6yxtA6.7 B6.6 C.6.5 D6.45.在正方体 中，点 是 AB的中点，则直线 与 所成角的余弦值1CDAM1DBMC为（ ）A B C. D155121556.已知 为双曲线 ： 的一个焦点，则点 F到 C的一条渐近线距离FC230xy为（ ）A B3 C. Dm37.某老师从星期一到星期五收到信件数分别是 10,6,8,5,6，则该组数据的方差 （ ）2sA B3 C. D1451651858.双曲线 的左焦点在抛物线 的焦线上，则 （ ）260xyp2ypxpA B C.2 D41419.与圆 及圆 都外切的圆的圆心在（ ）2xy28120
3、xyA一个椭圆上 B双曲线的一支上 C.一条抛物线上 D一个圆上10.如图，在平行六面体 中，底面是边长为 2 的正方形，若1ACB，且 ，则 的长为（ ）116031AA B C. D52141711.若 ， 为实数，则“ ”是“ ”的（ ）ab0abaA充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C. 充要条件 D既不充分也不必要条件12.柜子里有 3 双不同的鞋，随机取出 2 只，则取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，且不成对的概率是（ ）A B C. D1525331013.双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，渐近线分别为 ， ，点210,xyab1F21l2在第一象限内且在 1l上，若 ，
4、，则该双曲线的离心率为（ ）P21lPF2/lA B C. D252314.椭圆 与直线 相交于 ， 两点，过 中点 与坐标原点的21mxny10xyABM直线的斜率为 ，则 的值为（ ）A B 23 C. D2215.设集合 ， ，如果2,|41xyy22,| 1Bxytyat命题“ ”是真命题，则实数 的取值范围是（ ）tRaA B C. D40,30,340,340,3第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）16.为了了解 1000 名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为 50 的样本，则分段的间隔为 17.抛物线 的焦点坐标是 2
5、14yx18.给出下列命题：已知集合 ，则“ ”是“ ”的充分不必要条件；,3AaBaAB“ ”是“ ”的必要不充分条件；0xln10x“函数 的最小正周期为 ”是“ ”的充要条件；22cosif1a“平面向量 与 的夹角是钝角”的充要条件的“ ”.ab0bA其中正确命题的序号是 （把所有正确命题的序号都写上）19.甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠 6 小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机到达，则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率是 20.若曲线 和曲线 有三个不同的交点，则 的取值范围是 2149yx30kxyk三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、
6、证明过程或演算步骤.） 21. （本小题满分 12 分）某城市 100 户居民的月平均用电量（单位：度） ，以分组的频160,8,20,20,4,260,820,3率分布直方图如图所示.（1）求直方图中 的值；x（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为 的四组用户中，用分20,4,260,820,3层抽样的方法抽取 11 户居民，则月平均用电量在 的用户中应抽取多少户？422. （本小题满分 12 分）设关于 x的一元二次方程 .220xab（1）若 是从 0,1,2,3 四个数中任取的一个数， 是从 0,1,2 三个数中任取的一个数，求上a述方程有实根的概率；（2）若 是从
7、区间 任取的一个数， 是从区间 任取的一个数，求上述方程有根0,3b0,2的概率.23. （本小题满分 12 分）已知抛物线 的顶点在原点，焦点在 轴上，且抛物线上有一点 到焦点的距离为 6.Cx4,Pm（1）求抛物线 的方程；（2）若抛物线 与直线 相交于不同的两点 、 ，且 AB中点横坐标为 2，求2yk的值.k24. （本小题满分 12 分）已知 ，设命题 ：函数 在区间 上与 x轴有两个不同的交0ap21fxa0,1点；命题 ： 有最小值.若 是真命题，求实数 的取值范围.qgxapqa25. （本小题满分 12 分）已知椭圆 C的两个焦点坐标分别是 、 ，并且经过点 .13,0F2,
8、 13,2P（1）求椭圆 的方程；（2）若直线 与圆 ： 相切，并与椭圆 C交于不同的两点 、 .当lO2xyAB，且满足 时，求 面积 的取值范围.AB13AOBS试卷答案一、选择题1-5: 6-10: 11-15：CDCDDCA二、填空题16.20 17. 18. 19. 20.0,17163232,三、解答题21.【解析】 （1）由 得： 0.2.950.1.250.2501x，0.75x所以直方图中 x的值是 0.0075.（2）月平均用电量的众数为 ，2043，0.95.1.5.月平均用电量的中位数在 内，设中位数为 ，由20,4a，得 .2.20.524即月平均用电量的中位数为 2
9、24.（3） 月平均用电量为 的用户有 户，用平均用电量为20,4.1的用户有 户，用平均用电量为 的用户有240,6.755260,8户，用平均用电量为 的用户有 户，抽0.5210280,30.25105取比例为 ，15用平均用电量为 的用户中应抽取 户.,241522.【解析】设事件 为“方程 有实根”.A220xab当 ， 时，方程 有实根的充要条件为 .0ab ab，,|03,2,abba所以所求的概率为13.23.【解析】 （1）设抛物线 的方程为 ，其准线方程为 ，C2ypx2px到焦点的距离为 6， ， .4,Pm464即抛物线 的方程为 .28yx（2）设 ， ，1,Ax2,
10、B由 消去 ，得 ，28yky480kxx由条件 ，且 ， 且 k，06101又 ， ，解得 或 （舍）.124kx2k2 .24.【解析】若 真，则 即p0,1,af210,4a .12a若 真， ，q,0,xagx10a即 在 上是单调递减的，要使 gx有最小值，则 gx在 上单调递增或,a为常数，即 ， .10a1a若 是真命题，则 为假命题且 为真命题，pqpq 021,a或即 或 .021aa实数 的取值范围为 .,25.【解析】 （1）设椭圆方程为 ，210xyab由条件有 解得 ， .23,ab2a椭圆 C的方程为： .214xy（2）依题结合图形知直线 的斜率不为零，l直线 l即 与圆 ： 相切，0xmynO2xy 得 .2121设 ， ，1,Axy2,By由 240,mn消去 整理得 2240yn，x得 .21214,4mnyy又 212ABA，点 到直线 的距离 ，Ol21ndm 2122AOBnSdmyA，12223344nyA.1212122 254Bxynymmyn,令 ，则 ，1321t,3,63tt ，22223994 6AOB ttSmt AA9159771216,61,61, ,2227tt t t 2,13AOBS， 的取值范围为： .AOBS2,13
