1、上海历年中考数学压轴题复习2001 年上海市数学中考27已知在梯形 ABCD 中，ADBC，ADBC，且 AD5 ，AB DC2（1 ）如图 8，P 为 AD 上的一点，满足BPC A 图 8求证；ABPDPC求 AP 的长（2 ）如果点 P 在 AD 边上移动（点 P 与点 A、D 不重合） ，且满足BPEA，PE交直线 BC 于点 E，同时交直线 DC 于点 Q，那么当点 Q 在线段 DC 的延长线上时，设 APx ，CQy ，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数的定义域；当 CE1 时，写出 AP 的长（不必写出解题过程） 27 （1）证明： ABP 180 AAPB，DPC180
2、BPC APB，BPC A， ABPDPC 在梯形 ABCD 中，ADBC ，AB CD ， AD ABP DPC解：设 APx ，则 DP5x，由ABPDPC，得 ，即 ，DCPB25x解得 x11，x 24，则 AP 的长为 1 或 4（2）解：类似（1），易得ABPDPQ ， 即 ，QAyx5得 ，1x45xyAP2 或 AP3 5（题 27 是一道涉及动量与变量的考题，其中（1）可看作（2）的特例，故（2）的推断与证明均可借鉴（1）的思路这是一种从模仿到创造的过程，模仿即借鉴、套用，创造即灵活变化，这是中学生学数学应具备的一种基本素质，世上的万事万物总有着千丝万缕的联系，也有着质的区别
3、，模仿的关键是发现联系，创造的关键是发现区别，并找到应付新问题的途径 ）上海市 2002 年中等学校高中阶段招生文化考试27 操作： 将一把三角尺放在边长为 1 的正方形 ABCD 上，并使它的直角顶点 P 在对角线 AC 上滑动，直角的一边始终经过点 B，另一边与射线 DC 相交于点 Q图 5 图 6 图 7探究：设 A、P 两点间的距离为 x（1）当点 Q 在边 CD 上时，线段 PQ 与线段 PB 之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到结论；（2）当点 Q 在边 CD 上时，设四边形 PBCQ 的面积为 y，求 y 与 x 之间的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当点 P 在线段 A
4、C 上滑动时，PCQ 是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使PCQ 成为等腰三角形的点 Q 的位置，并求出相应的 x 的值；如果不可能，试说明理由（图 5、图 6、图 7 的形状大小相同，图 5 供操作、实验用，图 6 和图 7 备用）五、 （本大题只有 1 题，满分 12 分， （1 ） 、 （2） 、 （3）题均为 4 分）27 图 1 图 2 图 3（1）解：PQPB （1 分）证明如下：过点 P 作 MNBC ，分别交 AB 于点 M，交 CD 于点 N，那么四边形AMND 和四边形 BCNM 都是矩形，AMP 和CNP 都是等腰直角三角形（如图 1） NPNC MB （1 分
5、） BPQ90， QPNBPM 90而BPMPBM90， QPNPBM （1 分）又 QNPPMB90， QNP PMB （1 分） PQPB（2）解法一由（1）QNPPMB 得 NQMP AP x， AMMPNQDN ，BMPNCN1 ，x2x2 CQCDDQ1 2 1 x得 S PBC BCBM 1（1 ） x （1 分）2142S PCQ CQPN （1 ） （1 ） x2 （1 分）21xx2143S 四边形 PBCQS PBCS PCQ x2 1 即 y x2 1（0 x ） （1 分，1 分）解法二作 PTBC，T 为垂足（如图 2） ，那么四边形 PTCN 为正方形 PTCB P
6、N又PNQPTB90 ，PBPQ，PBTPQNS 四边形 PBCQS 四边形 PBTS 四边形 PTCQS 四边形 PTCQS PQNS 正方形 PTCN （2 分）CN2（1 ） 2 x2 1 y x2 1（0 x ） （1 分）（3 ） PCQ 可能成为等腰三角形当点 P 与点 A 重合，点 Q 与点 D 重合，这时 PQQC，PCQ 是等腰三角形，此时 x 0 （1 分）当点 Q 在边 DC 的延长线上，且 CPCQ 时，PCQ 是等腰三角形（如图 3）（1 分）解法一 此时，QNPM ，CP x，CN CP1 x222x CQQNCN （1 ） 1 当 x 1 时，得 x1 （1 分）
7、2解法二 此时CPQ PCN22.5，APB9022.567.5 ，2ABP180（4567.5）67.5，得APB ABP ， AP AB1， x1 （1 分）上海市 2003 年初中毕业高中招生统一考试27.如图，在正方形 ABCD 中，AB 1 ，弧 AC 是点 B 为圆心，AB 长为半径的圆的一段弧。点 E 是边 AD 上的任意一点（点 E 与点 A、D 不重合） ，过 E 作弧 AC 所在圆的切线，交边DC 于点 F，G 为切点：（1）当DEF45 时，求证：点 G 为线段 EF 的中点；（2 ）设 AEx，FC y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数的定义域；（3 ）将DE
8、F 沿直线 EF 翻折后得 D EF，如图，当 EF 时，讨论AD D 与ED F16511是否相似，如果相似，请加以证明；如果不相似，只要求写出结论，不要求写出理由。2004 年上海市中考数学试卷27、 （ 2004上海）数学课上，老师提出：如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A 点的坐标为（ 1，0） ，点 B 在 x 轴上，且在点 A 的右侧，AB=OA，过点 A 和 B 作 x 轴的垂线，分别交二次函数 y=x2 的图象于点 C 和D，直线 OC 交 BD 于点 M，直线 CD 交 y 轴于点 H，记点 C、D 的的横坐标分别为 xC、x D，点 H 的纵坐标为 yH同学发现两个
9、结论：SCMD：S 梯形 ABMC=2：3 数值相等关系：x CxD=yH（1 ）请你验证结论和结论成立；（2 ）请你研究：如果上述框中的条件“A 的坐标（1，0 ） ”改为“A 的坐标（t，0） （t0 ） ”，其他条件不变，结论是否仍成立（请说明理由） ；（3 ）进一步研究：如果上述框中的条件“A 的坐标（1，0） ”改为“A 的坐标（t，0） （t0 ） ”，又将条件“y=x 2”改为“y=ax 2（a0） ”，其他条件不变，那么 xC、x D 与 yH 有怎样的数值关系？（写出结果并说明理由）考点：二次函数综合题。专题：压轴题。分析：（1）可先根据 AB=OA 得出 B 点的坐标，然后
10、根据抛物线的解析式和 A，B 的坐标得出 C，D 两点的坐标，再依据 C 点的坐标求出直线 OC 的解析式进而可求出 M 点的坐标，然后根据 C、D 两点的坐标求出直线 CD 的解析式进而求出 D 点的坐标，然后可根据这些点的坐标进行求解即可；（2 ） （3）的解法同（1 ）完全一样解答：解：（1）由已知可得点 B 的坐标为（2 ，0） ，点 C 坐标为（1，1 ） ，点 D 的坐标为（2 ， 4） ，由点 C 坐标为（1，1）易得直线 OC 的函数解析式为 y=x，故点 M 的坐标为（ 2，2） ，所以 SCMD=1，S 梯形 ABMC=32所以 SCMD：S 梯形 ABMC=2：3，即结论
11、成立设直线 CD 的函数解析式为 y=kx+b，则 ，+=12+=4解得=3=2所以直线 CD 的函数解析式为 y=3x2由上述可得，点 H 的坐标为（ 0，2 ） ，y H=2因为 xCxD=2，所以 xCxD=yH，即结论成立；（2 ） （1）的结论仍然成立理由：当 A 的坐标（t ，0） （t0）时，点 B 的坐标为（2t，0） ，点 C 坐标为（t，t2） ，点D 的坐标为（2t ，4t2 ） ，由点 C 坐标为（t，t2 ）易得直线 OC 的函数解析式为 y=tx，故点 M 的坐标为（ 2t，2t2 ） ，所以 SCMD=t3，S 梯形 ABMC= t332所以 SCMD：S 梯形
12、ABMC=2：3，即结论成立设直线 CD 的函数解析式为 y=kx+b，则 ，+=22+=42解得=3=22所以直线 CD 的函数解析式为 y=3tx2t2；由上述可得，点 H 的坐标为（ 0，2t2） ，y H=2t2因为 xCxD=2t2，所以 xCxD=yH，即结论成立；（3 ）由题意，当二次函数的解析式为 y=ax2（a0 ） ，且点 A 坐标为（t，0） （t0）时，点 C 坐标为（t，at 2） ，点 D 坐标为（ 2t，4at 2） ，设直线 CD 的解析式为 y=kx+b，则： ，+=22+=42解得=3=22所以直线 CD 的函数解析式为 y=3atx2at2，则点 H 的坐
13、标为（0 ，2at 2） ，y H=2at2因为 xCxD=2t2，所以 xCxD= yH1点评：本题主要考查了二次函数的应用、一次函数解析式的确定、图形面积的求法、函数图象的交点等知识点2005 年上海市初中毕业生统一学业考试数学试卷1、 （本题满分 12 分，每小题满分各为 4 分）在ABC 中， ABC90 ，AB4 ，BC3，O 是边 AC 上的一个动点，以点 O 为圆心作半圆，与边 AB 相切于点 D，交线段 OC 于点 E，作 EPED，交射线 AB 于点 P，交射线 CB 于点 F。（1 ） 如图 8，求证：ADEAEP；（2 ） 设 OAx，APy ，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3 ） 当 BF 1 时，求线段 AP 的长.图9图图图图图图8BPFEDBC A ACO25.1909090APDAPEDOEO:（ ） 证 明 ： 连 结切 半 圆 于 ，又 ， ， 又2234,55846165(0)ODCBAxOEADxxEPAyxyyxDxx:（ ） 同 理 可 得 ：35(46, 90512665ECxAPBDOHJxEDPFBAPx:由 题 意 可 知 存 在 三 种 情 况但 当 在 点 左 侧 时 显 然 大 于 所 以 不 合 舍 去当 时 如 图 ）延 长 ， 交 于易 证J
