1、第 1 页（共 25 页）2017 年天津市高考数学试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）设集合 A=1，2，6，B=2，4，C=xR|1x5，则（A B ）C=（ ）A2 B1，2，4 C1，2，4，5 Dx R|1x52 （5 分）设变量 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 z=x+y 的最大值为（ ）A B1 C D33 （5 分）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入 N 的值为 24，则输出 N 的值为（ ）A0 B1 C2 D34 （5 分）设 R，则“ | | ”是“sin ”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件第
2、 2 页（共 25 页）C充要条件 D既不充分也不必要条件5 （5 分）已知双曲线 =1（a0，b0）的左焦点为 F，离心率为 若经过 F 和 P（0，4）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（ ）A =1 B =1 C =1 D =16 （5 分）已知奇函数 f（ x）在 R 上是增函数，g（x）=xf（x） 若a=g（log 25.1） ，b=g（2 0.8） ，c=g（3） ，则 a，b，c 的大小关系为（ ）Aa b c Bcba Cb ac Db c a7 （5 分）设函数 f（x ） =2sin（x+ ） ，x R，其中 0，|x若f（ ）=2，f（ ）=0，且 f
3、（x ）的最小正周期大于 2，则（ ）A= ，= B= ，=C = ，= D= ，=8 （5 分）已知函数 f（x）= ，设 aR，若关于 x 的不等式f（x）| +a|在 R 上恒成立，则 a 的取值范围是（ ）A ，2 B ， C 2 ，2 D2 ， 二.填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.9 （5 分）已知 aR，i 为虚数单位，若 为实数，则 a 的值为 10 （5 分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 18，则这个球的体积为 11 （5 分）在极坐标系中，直线 4cos（ ）+1=0 与圆 =2sin 的公共点的个数为 12 （5 分
4、）若 a，bR， ab0，则 的最小值为 第 3 页（共 25 页）13 （5 分）在ABC 中， A=60，AB=3，AC=2若=2 ， = （R ） ，且 =4，则 的值为 14 （5 分）用数字 1，2，3，4，5，6，7，8 ，9 组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有 个 （用数字作答）三.解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15 （13 分）在ABC 中，内角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b ，c 已知a b，a=5，c=6，sinB= （）求 b 和 sinA 的值；（）求 sin（2A+ ）的值16
5、（13 分）从甲地到乙地要经过 3 个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为 ， ， （）设 X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量 X 的分布列和数学期望；（）若有 2 辆车独立地从甲地到乙地，求这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率17 （13 分）如图，在三棱锥 PABC 中，PA 底面 ABC，BAC=90点D，E，N 分别为棱 PA，PC，BC 的中点，M 是线段 AD 的中点，PA=AC=4，AB=2 （）求证：MN平面 BDE；（）求二面角 CEMN 的正弦值；（）已知点 H 在棱 PA 上，且直线 NH 与直线 BE 所成角的余弦值为
6、，求线段 AH 的长第 4 页（共 25 页）18 （13 分）已知a n为等差数列，前 n 项和为 Sn（n N+） ，b n是首项为 2 的等比数列，且公比大于 0，b 2+b3=12，b 3=a42a1，S 11=11b4（）求a n和b n的通项公式；（）求数列a 2nb2n1的前 n 项和（nN +） 19 （14 分）设椭圆 + =1（ab 0）的左焦点为 F，右顶点为 A，离心率为 已知 A 是抛物线 y2=2px（p 0）的焦点，F 到抛物线的准线 l 的距离为 （I）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II）设 l 上两点 P，Q 关于 x 轴对称，直线 AP 与椭圆相交于点 B（
7、B 异于 A） ，直线 BQ 与 x 轴相交于点 D若APD 的面积为 ，求直线 AP 的方程20 （14 分）设 aZ，已知定义在 R 上的函数 f（x）=2x 4+3x33x26x+a 在区间（1，2）内有一个零点 x0，g（x）为 f（x ）的导函数（）求 g（ x）的单调区间；（）设 m1，x 0）（x 0，2，函数 h（x）=g（x） （mx 0） f（m） ，求证：h（m）h（x 0）0；（）求证：存在大于 0 的常数 A，使得对于任意的正整数 p，q ，且1，x 0） （x 0，2 ，满足 | x0| 第 5 页（共 25 页）2017 年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题
8、解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）设集合 A=1，2，6，B=2，4，C=xR|1x5，则（A B ）C=（ ）A2 B1，2，4 C1，2，4，5 Dx R|1x5【分析】由并集概念求得 AB ，再由交集概念得答案【解答】解：A=1，2，6，B=2，4，AB=1，2，4，6，又 C=xR|1x5，（AB ）C=1，2，4故选：B【点评】本题考查交、并、补集的混合运算，是基础题2 （5 分）设变量 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 z=x+y 的最大值为（ ）A B1 C D3【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可【解答】解
9、：变量 x，y 满足约束条件 的可行域如图：目标函数 z=x+y 结果可行域的 A 点时，目标函数取得最大值，由 可得 A（0，3） ，目标函数 z=x+y 的最大值为：3故选：D第 6 页（共 25 页）【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查计算能力以及数形结合思想的应用3 （5 分）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入 N 的值为 24，则输出 N 的值为（ ）A0 B1 C2 D3【分析】根据程序框图，进行模拟计算即可【解答】解：第一次 N=24，能被 3 整除，N= 3 不成立，第二次 N=8，8 不能被 3 整除，N=8 1=7，N=7 3 不成立，第三次 N=7，不能被 3
10、 整除，N=7 1=6，N= =23 成立，第 7 页（共 25 页）输出 N=2，故选：C【点评】本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件进行模拟计算是解决本题的关键4 （5 分）设 R，则“ | | ”是“sin ”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【分析】运用绝对值不等式的解法和正弦函数的图象和性质，化简两已知不等式，结合充分必要条件的定义，即可得到结论【解答】解：| | 0 ，sin +2k +2k，kZ，则（0， ） +2k， +2k，k Z，可得“| | ”是“sin ”的充分不必要条件故选：A【点评】本题考查充分必要条件的判断，同时
11、考查正弦函数的图象和性质，运用定义法和正确解不等式是解题的关键，属于基础题5 （5 分）已知双曲线 =1（a0，b0）的左焦点为 F，离心率为 若经过 F 和 P（0，4）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（ ）A =1 B =1 C =1 D =1【分析】由双曲线的离心率为 ，则双曲线为等轴双曲线，即渐近线方程为y=x，根据直线的斜率公式，即可求得 c 的值，求得 a 和 b 的值，即可求得双曲线方程第 8 页（共 25 页）【解答】解：设双曲线的左焦点 F（c，0） ，离心率 e= = ，c= a，则双曲线为等轴双曲线，即 a=b，双曲线的渐近线方程为 y= x=x，则经
12、过 F 和 P（0，4）两点的直线的斜率 k= = ，则 =1，c=4 ，则 a=b=2 ，双曲线的标准方程： ；故选 B【点评】本题考查双曲线的简单几何性质，等轴双曲线的应用，属于中档题6 （5 分）已知奇函数 f（ x）在 R 上是增函数，g（x）=xf（x） 若a=g（log 25.1） ，b=g（2 0.8） ，c=g（3） ，则 a，b，c 的大小关系为（ ）Aa b c Bcba Cb ac Db c a【分析】由奇函数 f（x）在 R 上是增函数，则 g（x）=xf（x）偶函数，且在（0，+）单调递增，则 a=g（log 25.1）=g（log 25.1） ，则2 log25.1
13、 3，12 0.82，即可求得 bac【解答】解：奇函数 f（x ）在 R 上是增函数，当 x0，f （x）f（0）=0 ，且f（x ）0，g （x）=xf（x） ，则 g（x ）=f （x ）+xf （x ）0，g （x）在（0，+）单调递增，且 g（x）=xf（x）偶函数，a=g（log 25.1）=g（log 25.1） ，则 2log 25.13，12 0.82，由 g（ x）在（0，+）单调递增，则 g（2 0.8）g（log 25.1）g（3） ，bac ，故选 C第 9 页（共 25 页）【点评】本题考查函数奇偶性，考查函数单调性的应用，考查转化思想，属于基础题7 （5 分）设函
14、数 f（x ） =2sin（x+ ） ，x R，其中 0，|x若f（ ）=2，f（ ）=0，且 f（x ）的最小正周期大于 2，则（ ）A= ，= B= ，=C = ，= D= ，=【分析】由题意求得 ，再由周期公式求得 ，最后由若 f（ ）=2 求得 值【解答】解：由 f（x）的最小正周期大于 2，得 ，又 f（ ）=2，f（ ）=0，得 ，T=3，则 ，即 f（ x）=2sin（x+）=2sin（ x+） ，由 f（ ）= ，得 sin（+ ）=1+ = ，kZ取 k=0，得 = ，= 故选：A【点评】本题考查由三角函数的部分图象求解析式，考查 y=Asin（x+ ）型函数的性质，是中档题
15、8 （5 分）已知函数 f（x）= ，设 aR，若关于 x 的不等式f（x）| +a|在 R 上恒成立，则 a 的取值范围是（ ）第 10 页（共 25 页）A ，2 B ， C 2 ，2 D2 ， 【分析】讨论当 x1 时，运用绝对值不等式的解法和分离参数，可得x2+ x3ax 2 x+3，再由二次函数的最值求法，可得 a 的范围；讨论当 x1时，同样可得（ x+ ）a + ，再由基本不等式可得最值，可得 a 的范围，求交集即可得到所求范围【解答】解：当 x1 时，关于 x 的不等式 f（x） | +a|在 R 上恒成立，即为x 2+x3 +ax 2x+3，即有x 2+ x3ax 2 x+3
16、，由 y=x2+ x3 的对称轴为 x= 1 ，可得 x= 处取得最大值 ；由 y=x2 x+3 的对称轴为 x= 1，可得 x= 处取得最小值 ，则 a 当 x1 时，关于 x 的不等式 f（x）| +a|在 R 上恒成立，即为（x+ ） +ax+ ，即有（ x+ ）a + ，由 y=（ x+ ） 2 =2 （当且仅当 x= 1）取得最大值 2 ；由 y= x+ 2 =2（当且仅当 x=21）取得最小值 2则2 a 2由可得， a2故选：A【点评】本题考查分段函数的运用，不等式恒成立问题的解法，注意运用分类讨论和分离参数法，以及转化思想的运用，分别求出二次函数和基本不等式求最值是解题的关键，属于中档题二.填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.
