1、1合肥一六八中学 20152016 学年第一学期期末考试高二数学(文/理科)试题（考试时间：120 分钟 满分：150 分）注意事项：1.本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。2.选择题和非选择题答案必须填写在答题卷上相应位置，否则不得分。3.考试结束后，请将答题卡和答题卷一并交回。第卷一、选择题（共 60 题，每题 5 分。每题仅有一个正确选项）.1.设 02x ，则“ 2sin1x ”是“ sin1x ”的（ ）（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件1.B2. 如果命题“曲线 C上的点的坐标都是方程 (,)0fxy的解”是正确
2、的，则下列命题中正确的是（ ）A.曲线 是方程 (,)0fxy的曲线； B.方程 (,)f的每一组解对应的点都在曲线 C上；C.不满足方程 的点 (,)xy不在曲线 C上； D.方程 (,)0fxy是曲线 的方程.2【答案】C3. 若椭 圆 )0(12bayx的离心率为 21，则双曲线 12ba的渐近线方程为（ ）A y3 B x3 C xy D xy3.【解析】椭圆21(0)xyab的离心率为12，可得214ca，可得214ab，解得32ba，双曲线2ab的渐近线方程为：3yx，故选 A4. 已知命题 :pxR,使 5sin;2x 命题 :qR,都有 210.x 给出下列结论：命题“ q”是
3、真命题 ；命题“ p”是假命题；命题“ ”是真命题 ；命题“ ”是假命题 .其中正确的是（ ）A. B. C. D.4D【解析】由 5sin12x，知命题 p是假命题，由 2213()04xx，知命题 q是真命题，可判断、正确.25. 以双曲线214xy的中心为顶点，右焦点 为焦点的抛物线方程是（ ）A 2y B 245x C 285yx D 25yx5【解析】双曲线21xy的右焦点为 (,0)F， p，所以 4p，则所求抛物线的方程为 245y；故选 B6. 在四面体 ACD中， A， 1BDC，且 ABDC平 面 平 面 ， M为B中点，则 M与平面 所成角的正弦值为（ ）A 2 B 3
4、C 32 D 636【解析】如图所示，取 中点 O，连接 、 M，由已知条件 1BC，所以 OB，由平面 D平面 C，且平面 AD平面 B= ，所以 O平面 A，则 C即为直线 与平面 A所成的角，由 ，所以 ，则得到： ，所以21BCO， 21M，所以在 CRt中， tan2M,所以6sin3OMDCBA7. 若双曲线21xyab的渐近线和圆 相切，则该双曲线的离心率等)0(0862xy于（ ）A 2 B2 C3 D 37【解析】根据圆方程，得到圆心坐标 0（ ， ） ，圆2680xy与渐近线相切，说明圆 C 到渐近线的距离等于半径 1，再根据双曲线的渐近线方程和点到直线的距离公式，算出 c
5、=3a，即可得出该双曲线的离心率圆2680xy可化为231yx（ ）圆心坐标 03C（ ， ） ，双曲线21xyab的渐近线为30aybx， 圆 2680y与渐近线相切，C 到渐近线的距离为231,3,cae，8. 过抛物线 2ypx（ 0）的焦点 F作倾斜角为 60的直线 l，若直线 l与抛物线在第一象限的交点为 A并且点 也在双曲线21yab（ a， b）的一条渐近线上，则双曲线的离心率为（ ）A 213 B 13 C 23 D 58【解析】过抛物线： 2(0)ypx的焦点 0pF， ，且倾斜角为 60的直线 l的方程为32pyx，联立直线方程与抛物线方程可得直线 l与抛物线在第一象限的交
6、点为 A 32p， ，点 A也在双曲线：21(0)xyabb，的一条渐近线上，应在 byxa上，则 ba，则有234ba，222472133cee，故选 A来源:Z_xx_k.Com9. 已知如图所示的三棱锥 ABCD的四个顶点均在球 O的球面上， BC和 D所在的平面互相垂直， AB， ， ，则球 的表面积为（ ）A 4 B 12 C 16 D 6BA9【解析】如图所示， 22ABC， B为直角，即过 C的小圆面的圆心为 BC的中点 O， ABC 和 D 所在的平面互相垂直，则圆心在过 D 的圆面上，即 D 的外接圆为球的大圆，由等边三角形的重心和外心重合易得球半径为 2R，球的表面积为 2
7、416SR，故选10. 某四面体的三视图如图所示， 正视图、俯视图都是腰长为 2 的等腰直角三角形,侧视图是边长为42 的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为（ ）A B4 C D【答案】C【解析】由三视图知该几何体为棱锥 SAB，如图 2，其中 SC平面 ABCD四面体 SABD的四个面中面 SBD 的面积最大，三角形 SBD 是边长为 的等边三角形，所以此四面体的四个面中面积最大的为 3824，故选 C11. （文科）若曲线1,xey，与直线 1ykx有两个不同的交点，则实数 k的取值范围是( ) A 32,) B (32,0)(,) C (0,U D -， ， 【答案】B.11【解析
8、】根据题意，将 ()fx的图象画出，从而可知当直线 1ykx与曲线 1yx相切时，联立方程，消去 y可得， 2 21()0(1)8032kxkk，又切于第一象限， 3，从而实数 的取值范围是 3,(,).511.（理科）已知椭圆2169xy的左、右焦点分别为 1F， 2，点 在椭圆上，若 1F， 2， 是一个直角三角形的三个顶点，则点 到 x轴的距离为（ ）A 95 B 3 C 7 D 9411【解析】可以证明，焦点三角形中，当点 P 在椭圆短轴端点时， 21PF最大在该椭圆中，可计算最大时仍为锐角，即直角三角形的顶点只可能是焦点，所以点 到 x轴的距离为点 P 的纵坐标 y 的绝对值 y将
9、)(cx或 代入椭圆方程得， 49y,所以 y故选 D12. 如图，已知直线 a平面 ，在平面 内有一动点 ，点 A是定直线 a上定点，且 A与 a所成角为 （ 为锐角） ，点 A到平面 距离为 d，则动点 P的轨迹方程为（ ）22tanxyd22tanxyd()ta()tan12【答案】B【解析】解决本题的关键是正确理解题意并正确的表示出 ，对于 tan的表示将影响着整个题目的解决，至于如何想到表示 tan，可以考虑选项里面的暗示，解题时需要先设动点坐标，然后表示 tan找到关系.设 (,)Pxy，则2t|dyx，化简得22taxyd二、填空题（共 20 分，每题 5 分）13. 在 ABC
10、中， “ 6”是“ 1sin2A”的 条件 （填“充分不必要”、 “必要不充分”、 “充分必要” 、 “既不充分也不必要”之一）13【答案】必要不充分614. 直线 y=x+m 与圆 x2+y2=4 交于不同的两点 M、N，且 ，其中 O 为坐标原点，则实数 m 的取值范围是 . 来源:学科网14. 【答案】试题分析：MN 的中点为 A，则 2 = + ，利用| | | + |，可得| |2| |，从而可得| |1，利用点到直线的距离公式，可得 1，即可求出实数 m 的取值范围试题解析：解：设 MN 的中点为 A，则 OAMN，并且 2 = + ，| | | + |，| |2 | |，即为 2
11、 2 | |，解得| |1，O 到直线 MN 的距离 1，解得 m 故答案为： 15. 在平面直角坐标系中，已知点 A在椭圆2159xy上， 1,APOR，且72OAP，则在 x轴上的投影线段长的最大值是 .【答案】15【解析】因为点 在椭圆2159y上，所以可设 (5cos,3in)A， (1)APO，所以(cos,3in)OPA, 2229i16cos97OAP,所以有22716916cs4|cos|，即 |3，又向量在 x轴上投影为向量的横坐标，所以在 x轴上的投影线段长为 5|cs|，其最大值为 53116.（文科）如图所示，正方体 ABCD的棱长为 1， ,EF分别是棱 A， C的中
12、点，过直线 EF的平面分别与棱 、 分别交于 ,MN两点，设 Bx， 0,，给出以下四个结论： FEA BABCDCD MN平面 MENF平面 BD；直线 C平面 NF始终成立；7四边形 MENF周长 ()Lfx， 0,1是单调函数；四棱锥 C的体积 Vh为常数；以上结论正确的是 _16【答案】【解析】因为 ,EFBD，所以 EFBD平 面 ，所以平面 MENF平面 BD成立；因为 /A，所以 直线 AC平面 MN始终成立；因为 2 211,4Mxfx，所以 fx在 01， 上不是单调函数； 36CENFCEFNVV，故 h为常数16 （理科）已知正四棱锥 ABD可绕着 任意旋转， /平 面C
13、D 若 2AB， 5V,则正四棱锥 在面 内的投影面积的取值范围是 16.【解析】由题意可得正四棱锥的侧面与底面所成角为 3，侧面上的高为 2，设正四棱锥的底面与平面 所成角为 ，当 06时投影为矩形，其面积为 22cos=4cos 3,4,当26时，投影为一个矩形和一个三角形，此时 VAB 与平面 所成角为 ，正四棱锥在平面 上的投影面积为4cos+ 12cos3sincos23in3,2,当 2时投影面积为 2,，综上，正四棱锥 VABCD在面 内的投影面积的取值范围是 3,4.三、解答题（共 70 分，每题需有必要的解答过程）17.(本题满分 10 分) 设命题 p：“若 0a，则 20
14、xa有实根” （1）试写出命题 的逆否命题；（2）判断命题 的逆否命题的真假，并写出判断过程解：（1）掌握四种命题的构成关系就不难写出 p的逆否命题；原结论否定作条件，原条件否定作结论；（2）从条件出发能推出结论，则为真命题，否则为假命题，本题从条件能推出结论，故为真命8题（1） p的逆否命题：若 20xa无实根，则 0a（2） 20xa无实根， 14 14“若 无实根，则 ”为真命题18. (本题满分 10 分) 已知四边形 ABCD 满足 ADBC，BA=AD=DC= 2BC=a，E 是 BC 的中点，将BAE 沿着 AE 翻折成B 1AE，使面 B1AE面 AECD，F，G 分别为 B1
15、D，AE 的中点（）求三棱锥 EACB 1的体积；（） （文科）证明：B 1E平面 ACF；（） （理科）证明：平面 B1GD平面 B1DC18.解：（）由题意知，ADEC 且 AD=EC，所以四边形 ADCE 为平行四边 形，AE=DC=a，ABE 为等边三角形，AEC=120，连结 B1G，则 B1GAE，又平面 B1AE平面 AECD 交线 AE，B 1G平面 AECD 且（） （文科）证明：连接 ED 交 AC 于 O，连接 OF，AEDC 为菱形，且 F 为 B1D 的中点，FOB 1E，又 B1E面 ACF，FO 平面 ACF，B 1E平面 ACF（）(理科)证明： 连结 GD，则
16、 DGAE，又 B1GAE，B 1GGD=G，AE平面 B1GD又 AEDC，DC平面 B1GD，又 DC 平面 B1DC平面 B1GD平面 B1DC19. 已知圆 C：（x1） 2（y2） 22，点 P 坐标为（2，1） ，过点 P 作圆 C 的切线，切点为A、B（1）求直线 PA，PB 的方程； （2）求切线长 A的值；（3）求直线 AB 的方程9【答案】 （1）7xy150，或 xy10；（2） 2；（3）x3y30.试题解析：（1）易知切线斜率存在，设过 P 点圆的切线方程为 y1k（x2） ，即 kxy 2k10.因为圆心（1，2）到直线的距离为 2， 1 2 k ，解得 k7，或
17、k1故所求的切线方程为 7xy150，或 xy10（2）在 RtPCA 中，因为|PC| 22 )() 0，|CA| 2，所以|PA| 2|PC| 2|CA| 28.所以过点 P 的圆的切线长为 2（3）容易求出 kPC3，所以 kAB 31如图，由 CA2CDPC，可求出 CD PCA2 0设直线 AB 的方程为 y 31xb，即 x3y3b0由 102 2 6解得 b1 或 b 37（舍）所以直线 AB 的方程为 x3y30.19(本题满分 12 分) 如图，直三棱柱 1ABC中，D 是 AB的中点（1）证明： 1/BC平面 1AD；10（2）设 12ACBA， ，求异面直线 1BC与 DA所成角的大小19 试题解析：（1）证明：连结 1，交 于点 O，连结 OD，因为 D是 AB的中点，所以 1/BCOD，因为 1C平面 1， 平面 A，所以 1/BC平面 1AD（2）解：结合（1）易知 1即为异面直线 与 所成角，因为 ABD，为 的中点，所以 D，又因为该三棱柱是直三棱柱，所以 C平面 1AB，即 C平面 1ADE，1 12,62CAO， ，,113cos,DO20.(本题满分 12 分) 在四棱锥 ABCDP中，底面 AB为直角梯形,A BC， 90A， P底面 ABCD，且 2， M、 N分别为P、 的中点（1）求证： PBADMN平 面 ；
