1、2017 届训练（七）数学一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ,选 C.2. 设复数 （为虚数单位） ，则 的虚部为（ ）A. B. C. -1 D. 1【答案】D【解析】 ,虚部为 1,选 D.3. 中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得其关，要见次日行里数，请公仔细算相还。 ”其意思是“有一个人走 378 里，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了 6天
2、后到达目的地。 ”请问第三天走了（ ）A. 60 里 B. 48 里 C. 36 里 D. 24 里【答案】B【解析】由题意得等比数列 ， ,求 4. 在某次联考数学测试中，学生成绩 服从正态分布 ，若 在 内的概率为 0.8，则任意选取一名学生，该生成绩不高于 80 的概率为（ ）A. 0.05 B. 0.1 C. 0.15 D. 0.2【答案】B【解析】 ,选 B.5. 已知 的最大值为 ，若存在实数 ，使得对任意实数 总有 成立，则 的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 所以 ,选 B.6. 在下列命题中，属于真命题的是（ ）A. 直线 都平行于平面 ，则B. 设
3、是直二面角，若直线 ，则C. 若直线 在平面 内的射影依次是一个点和一条直线， （且 ） ，则 在 内或 与平行D. 设 是异面直线，若 与平面 平行，则 与 相交【答案】C【解析】直线 都平行于平面 ，则 可平行,可异面,可相交; 设 是直二面角，若直线 ，则 或 ; 直线 在平面 内的射影是一个点,所以 ,又 ,所以 在 内或 与 平行; 是异面直线，若 与平面 平行，则 与 相交或 ,因此选 C.7. 已知平面区域 ，现向该区域内任意掷点，则该点落在曲线 下方的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】概率是 ,选 A.点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时
4、，应考虑使用几何概型求解(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率8. 若 的展开式中所有项的系数的绝对值之和为 1024，则该展开式中的常数项是（ ）A. -270 B. 270 C. -90 D. 90【答案】C【解析】在 的展开式中,令 ,可得 展开式的各项系数绝对值之和为 ,.故 展开式的通项公式为令 ,求得 ,故展开式中常数项为 .因此，本题正
5、确答案是: .点睛:求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第 项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第 项，由特定项得出值，最后求出其参数.(3)各项系数和，各项系数绝对值的和，常用赋值法处理.9. 若 分别是双曲线 的左右焦点， 为坐标原点，点 在双曲线的左支上，点 在双曲线的右准线上，且满足 ， ，则该双曲线的离心率为（ ）A. B. C. 2 D. 3【答案】C【解析】由 得四边形 为平行四边形,由 得 OP 为角平分线,因此四边形 为菱形，所以，因此，选 C.10. 执行如图所示
6、的程序框图，则输出的结果为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】循环依次为直至 结束循环，输出，选 D.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.11. 已知函数 ，若对任意 ， 恒成立，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 , 且 ，所以函数 为单调递减的奇函数，因此 即 ，选 A.点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为 的形式，然后根据函数的单调性去掉“”
7、，转化为具体的不等式(组)，此时要注意 与 的取值应在外层函数的定义域内12. 已知函数 的定义域为 ，当 时， ，且对任意的实数 ，等式 成立，若数列 满足 ，且 ，则下列结论成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 当 时 与 时， 矛盾，因此当 时， ，设 ，则 ,因此 为单调减函数，从而 , , ,选 D.点睛：(1)运用函数性质解决问题时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.(2)在研究函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转
8、化，单调性可实现去 ，即将函数值的大小转化自变量大小关系, 对称性可得到两个对称的自变量所对应函数值关系.二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 设 满足约束条件 ，若目标函数 的最大值为 8，则 的最小值为_【答案】4【解析】试题分析：满足约束条件的平面区域如图，由 ，得 ，由 ，.当且仅当 时，上式等号成立.所以 的最小值为考点：简单线性规划的应用14. 如图，在一个几何体的三视图中，主视图和俯视图都是边长为 2 的等边三角形，左视图是等腰直角三角形，那么这个几何体外接球的表面积为_【答案】【解析】几何体为一个三棱锥，如图，高为 ，底面为边长为 2 正三角形，
9、因此外接球的半径等于 ，表面积为15. 已知 ， ， ，则_【答案】【解析】 所以 16. 元宵节灯展后，如图悬挂有 9 盏不同的花灯需要取下，每次取 1 盏，共有_种不同取法 （用数字作答）【答案】1680【解析】 点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：(1)元素相邻的排列问题“捆邦法” ；(2)元素相间的排列问题“插空法” ；(3)元素有顺序限制的排列问题“除序法” ；(4)带有“含”与“不含” “至多” “至少”的排列组合问题间接法.三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知 ，其中 ，若 的最小正周期为 .（1）求函数 的
10、单调递增区间；（2）锐角三角形 中， ，求 的取值范围.【答案】 （1） （2）【解析】试题分析：（1）先根据二倍角公式以及辅助角公式将函数化为基本三角函数：，再根据正弦函数周期性质求 ，并根据单调性性质求单调增区间（2）先根据正弦定理将边化为角，由诱导公式及两角和正弦公式化简得 ，即得，根据锐角三角形得 A 取值范围，根据正弦函数性质求 的取值范围.试题解析：（1） ，最小正周期为 ， ，令 ，即， 的单调递增区间为 .（2） ， ，整理得： ， ， ，锐角三角形 ， 且， ， ， .18. 一个盒子里装有大小均匀的 8 个小球，其中有红色球 4 个，编号分别为 1,2,3,4；白色球 4
11、个，编号分别为 2,3,4,5. 从盒子中任取 4 个小球（假设取到任何一个小球的可能性相同）.（1）求取出的 4 个小球中，含有编号为 4 的小球的概率；（2）在取出的 4 个小球中，小球编号的最大值设为 ，求随机变量 的分布列和期望.【答案】 （1） （2）见解析【解析】试题分析：（1）由题为古典概型，需先算出 8 个球取出 4 个的所以情况，在求 4个球中含编号为 4 的基本事件数，可分类含一个编号为 4 的球，或含 2 个编号为 4 的球（互斥事件）概率可求；（2）由题意先分析出 （取出 4 个编号最大的值）的可能取值，再分别求出对应的概率（互斥事件） ，可列出分布列。试题解析：（1）
12、8 个球取出 4 个的所以情况有； 种， 取出 4 个球中含一个编号为 4 的球有； 种取出 4 个球中含两个编号为 4 的球有； 种，则；（2）X 的可取值为 3,4,5 X 的分布列为考点：（1）互斥事件概率的算法 （2）离散型随机变量分布列。19. 如图，四棱锥 的底面是正方形， 底面 ， ，点 分别在棱 上，且 平面 .（1）求证： ；（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.（3）求二面角 的余弦值【答案】 （1）见解析（2） （3）【解析】试题分析：（1）先根据线面垂直性质定理得 ，再由 ，以及线面垂直判定定理得 平面 ，即得 ，由 平面 ，有 ，再由线面垂直判定定理得 平面 ，即得
13、；（2）因为 平面 ，所以为 在平面 内的射影，延长 交于点 ，则 为 （即 ）与平面所成的角，解直角三角形得线面角正弦值.（3）以空间向量求角二面角，先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，列方程组解平面法向量，由向量数量积得两法向量夹角余弦值，最后根据二面角与两法向量关系得结果试题解析：（1）因为四边形 是正方形，所以 ，又因为 底面 ，所以 ，故 平面 ，又 平面 ，则 ，而 平面 ，有 ，则 平面 ，故 .（2）如图，延长 交于点 ，因为 平面 ，所以 为 在平面 内的射影，故 为 （即 ）与平面 所成的角，又因为 ， ，则有 ，在 中， ，故 与平面 所成角的正弦值为 .（3）分别以 为 轴建立空间直角坐标系， ，所以 ， ，设平面 的法向量 ，那么 ，令 ，则 ，由（1）知，平面 的法向量 ，设所求二面角 的大小为 ，且为锐角，所以，所以二面角 的余弦值为.20. 已知椭圆 的焦距为 ，设右焦点为 ，过原点 的直线与椭
