1、1初中数学竞赛辅导讲义（初三）第一讲 分式的运算知识点击1、 分部分式：真分式化为另几个真分式的和，一般先将分母分解因式，后用待定系数法进行。2、 综合除法：多项式除以多项式可类似于是有理数的除法运算，可列竖式来进行。3、 分式运算：实质就是分式的通分与约分。例题选讲例 1化简 + + 232x651x1272x解：原式= + + )(1)3()4(= - + - + - x21x3x1= )4(13例 2 已知 = = ，且 xyz 0，求分式 的值。zyyzxzyxyz)()(2解：易知： = = = 则 （1）+（2）+（3）得：(-2)(x+y+z)=0 =2 或 zyxzxzy)3(
2、kxzyx+y+z=0若=2 则原式= k = 8 若 +=0，则原式= k =-13 3例 3设 =1，求 的值。12mx124xm解：显然 X ，由已知 =1 ，则 x + = + 1 = + - = (x + ) -2 02 241xm2x2x122=( +1) -2- = 2 -1 原式=2 2m例 4已知多项式 3x3 +ax +3x +1 能被 x +1 整除，求的值。22解：3131232xaX1- =0 =1例 5：设为正整数，求证+ + + 31)12(n证：左边= （1 - + - + + - ）23512naxO1234= （1- ）21nn 为正整数， 11- 1 故左
3、边 2n2小结归纳1、部分分式的通用公式： = （ - ）)(1kxx1k2、参数法是解决比例问题特别是连比问题时非常有效的方法，其优点在于设连比值为 K，将连等式化为若干个等式，把各字母用5同一字母的解析式表示，从而给解题带来方便。3、整体代换及倒数法是分式的的求值中常用的方法， 应熟练掌握。巩固练习1、若分式 的值是正整数， 则整数 m= 。12m2、若 = = = =143a2431a3421a4321a则 k= 。3、已知 a -3b = 2ab .(a0，b0),则 = .2 ba264、已知 a、b、c 是有理数，且 = ， = ， = ，则 = 。ba31c41a5cab5、若
4、- = 2006，则 = 。x1yyx2601926、实数 a、b 满足 ab=1，设 A = + ，B= + +1，则 A、B 的关系aba1b为 。7、当、为何值时，多项式 能被除数 整除？baxx234 232x8、计算 = 。207207519、已知 = + + ， 求 A、B、C 的值。)3(2xx1AX2B3X710、若对于 3 以外的一切实数 X，等式 - = 均成立，则 mn = 3xmn982x11、已知 = = ，则 = 。baccba第二讲 分式方程及应用知识点击1、 解分式方程的基本思路是去分母化分式方程为整式方程；2、 解分式的方程的常用方法有：换元法、整体法、通分法
5、等；3、 分式方程广泛应用于生活实际中，要注意未知数的值既要是原方程的根，又要与实际意义相符。8例题选讲例 1 解方程组 6109852xy分析：令 =m, =n ,则yx16109852nm可得： 易求： 56nm312yx例 2 解方程 730468157264xx解：原方程可化为 19两边分别通分： ，易求： = 4)6(71)(21xx例 3 当为何值时，关于 x 的方程 的解为正数？212xxm解：解方程可得：x= ，需 可得1 且 m-3。2120x例 4 设库池中有待处理的污水 a 吨，从城区流入库池的污水按每小时 b 吨的固定流量增加，若同时开动 2 台机组需 30 小时处理完污水，同时启动 4 台机组需 10 小时处理完污水，若要求在 5 小时内将污水处理完毕，那么至少要同时开动多少台机组？解：设 1 台机组每小时处理污水 y 吨，要在 5 小时内处理完污水， 至少同时开动 x 台机组，则：10可得 X xyba510432yba3075yba例 5 求证对任意自然数 n，有 22131n证明：当 n=1 时，12 显然成立。当1 时，（-1） 2所以 2nn1)(1故： 223 )1()312()( n2n1点评归纳
