1、第 1 讲 与有理数有关的概念考点方法破译1了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量.2会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想.3理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数.经典考题赏析【例 1】写出下列各语句的实际意义向前7 米收人50 元体重增加3 千克【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量而相反意义的量包合两个要素：一是它们的意义相反二是它们具有数量而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等”解：向前7 米表示向后 7 米收入50 元表示支出 50 元体重增加3 千克表示体重减小
2、3 千克.【变式题组】01如果10%表示增加 10%，那么减少 8%可以记作（ ）A 18% B 8% C 2% D 8%02 （金华）如果3 吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出 5 吨大米表示为( )A 5 吨 B 5 吨 C 3 吨 D 3 吨03 （山西）北京与纽约的时差13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京时间 l5：00，纽约时问是 _【例】在 ， 这四个数中有理数的个数（ )227 0.3.A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个【解法指导】有理数的分类：按正负性分类，有理数 ；按整数、0正 整 数正 有 理 数 正 分 数负 整 数负 有 理 数 负 份 数
3、分数分类，有理数 ；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为正 整 数整 数 0负 整 数正 分 数分 数 负 分 数3.1415926是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以 不是有理数， 是227分数 是无限循环小数可以化成分数形式，0 是整数，所以都是有理数，故选 C.3.【变式题组】01在 7，01 5， ， 301.31.25， ，100.l ， 3 001 中，负分数为 ，整12 18数为 ，正整数 .02 （河北秦皇岛）请把下列各数填入图中适当位置15， ， ， ，0.15.32，123, 2.33319215 138【例】 （宁夏）有一列数为1， ， ，找规律到第 2007
4、 个数是 .12 1314 1516【解法指导】从一系列的数中发现规律，首先找出不变量和变量，再依变量去发现规律击归纳去猜想，然后进行验证.解本题会有这样的规律： 各数的分子部是 1；各数的分母依次为 1，2，3，4，5，6，处于奇数位置的数是负数，处于偶数位置的数是正数，所以第 2007 个数的分子也是 1分母是 2007，并且是一个负数，故答案为 .12007【变式题组】01 （湖北宜宾）数学解密：第一个数是 32 1，第二个数是 53 2，第三个数是954，第四十数是 1798观察并精想第六个数是 .02 （毕节）毕选哥拉斯学派发明了一种“馨折形”填数法，如图则？填_.03 （茂名）有一
5、组数 l，2， 5，10，17，26请观察规律，则第 8 个数为_.【例】 （2008 年河北张家口）若 l 的相反数是3，则 m 的相反数m2是_.【解法指导】理解相反数的代数意义和几何意义，代数意义只有符号不同的两个数叫互为相反数.几何意义：在数轴上原点的两旁且离原点的距离相等的两个点所表示的数叫互为相反数，本题 4,m8m2【变式题组】01 （四川宜宾）5 的相反数是( )A5 B C 5 D 15 1502已知 a 与 b 互为相反数，c 与 d 互为倒数，则 abcd_03如图为一个正方体纸盒的展开图，若在其中的三个正方形 A、B、C 内分别填人适当的数，使得它们折成正方体.若相对的
6、面上的两个数互为相反数，则填人正方形 A、B、C 内的三个数依次为( )A 1 ,2，0 B 0，2，1 C 2，0，1 D 2，1，0【例】 （湖北）a、b 为有理数，且 a0，b0，|b|a，则 a,b、a,b 的大小顺序是( )A ba ab B abab C baab D aabb【解法指导】理解绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示 a 的点到原点的距离,即|a|,用式子表示为|a| .本题注意数形结合思想，画一条数轴0)(a标出 a、b,依相反数的意义标出b,a,故选 A【变式题组】01推理若 ab，则|a|b|；若|a|b|，则 ab；若 ab，则|a|b|；若|a|b|
7、，则 ab，其中正确的个数为（ ）A 4 个 B 3 个 C 2 个 D 1 个02a、b、c 三个数在数轴上的位置如图，则 .|a|a |b|b |c|c03a、b、c 为不等于 O 的有理散，则 的值可能是_.a|a| b|b| c|c|【例】 （江西课改）已知|a4|b8|0，则 的值.a+bab【解法指导】本题主要考查绝对值概念的运用，因为任何有理数 a 的绝对值都是非负数，即|a|0所以|a4|0，|b8|0.而两个非负数之和为 0，则两数均为 0.解：因为|a4|0，|b8|0，又|a4|b8|0，|a4|0，|b8|0即 a40，b80，a4，b8.故 a+bab 1232 38
8、【变式题组】01已知|a|1，|b|2，|c|3，且 abc，求 abC 02 （毕节）若|m3|n 2|0，则 m2n 的值为( )A 4 B 1 C 0 D 403已知|a|8，|b|2，且|ab|ba，求 a 和 b 的值【例】 （第 l8 届迎春杯）已知 (mn) 2|m |m ，且|2 mn2|0求 mn 的值【解法指导】本例关键是通过分析(m n) 2|m |的符号，挖掘出 m 的符号特征,从而把问题转化为(mn) 20，|2 mn2|0，找到解题途径 .解：(mn) 20，|m|O(mn) 2|m|0，而(mn) 2|m|m m0,(mn) 2mm，即(m n) 20mnO 又|
9、2mn2|02mn20 由得 m ，n ， mn23 23 49【变式题组】01已知(ab) 2|b5|b5 且|2abl|0，求 aB 02 （第 16 届迎春杯）已知 y|xa|x 19|xa96|，如果19a96ax96,求 y 的最大值 .演练巩固反馈提高01观察下列有规律的数 , , , , , 根据其规律可知第 9 个数是( )1216112120130142A B C D 156 172 190 111002 （芜湖）6 的绝对值是( )A 6 B 6 C D 16 1603在 ,8. 四个数中，有理数的个数为 ( )227 .03A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个0
10、4若一个数的相反数为 ab，则这个数是( )A ab B ba C ab D ab05数轴上表示互为相反数的两点之间距离是 6，这两个数是( )A 0 和 6 B 0 和6 C 3 和3 D 0 和 306若a 不是负数，则 a( )A 是正数 B 不是负数 C 是负数 D 不是正数07下列结论中，正确的是( )若 ab,则|a|b| 若 ab,则|a|b|若|a|b|，则 ab 若|a|b|,则 abA B C D 08有理数 a、b 在数轴上的对应点的位置如图所示,则 a、b，a，|b|的大小关系正确的是( )A |b|aab B |b| baa C a|b|ba D a|b|ab09一个
11、数在数轴上所对应的点向右移动 5 个单位后，得到它的相反数的对应点，则这个数是_.10已知|x2|y 2|0，则 xy_.11a、b、c 三个数在数轴上的位置如图，求 |a|a |b|b |abc|abc |c|c12若三个不相等的有理数可以表示为 1、a、ab 也可以表示成 0、b、 的形式，试求baa、b 的值.13已知|a|4，|b|5，|c|6，且 abc，求 abC 14|a|具有非负性，也有最小值为 0，试讨论：当 x 为有理数时，|xl|x3|有没有最小值，如果有，求出最小值；如果没有，说明理由.15点 A、B 在数轴上分别表示实数 a、b，A、B 两点之间的距离表示为|AB|当
12、 A、B 两点中有一点在原点时，不妨设点 A 在原点，如图 1， |AB|OB|b|ab| 当A、B 两点都不在原点时有以下三种情况 :如图 2，点 A、B 都在原点的右边|AB|OB|OA |b|a|ba|ab|；如图 3，点 A、B 都在原点的左边，|AB|OB|OA |b|a|b(a)|ab|；如图 4，点 A、B 在原点的两边，|AB|OB|OA|b|a|b（a）|ab|；综上，数轴上 A、B 两点之间的距离|AB|ab|回答下列问题:数轴上表示 2 和 5 的两点之间的距离是 , 数轴上表示 2 和5 的两点之间的距离是 , ，数轴上表示 1 和3 的两点之间的距离是 ；数轴上表示
13、x 和1 的两点分别是点 A 和 B，则 A、B 之间的距离是 ，如果|AB|2，那么 x ；当代数式|x1|x 2|取最小值时，相应的 x 的取值范围是 培优升级奥赛检测01 （重庆市竞赛题）在数轴上任取一条长度为 1999 的线段，则此线段在这条数轴上最多19能盖住的整数点的个数是( )A 1998 B 1999 C 2000 D 200102 （第 l8 届希望杯邀请赛试题）在数轴上和有理数 a、b、c 对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：abc0;|ab|bc|a c|；（ab）(bc)(c a)0；|a|1bc其中正确的结论有( )A 4 个 B 3 个 C 2 个 D 1 个0
14、3如果 a、b、c 是非零有理数，且 abc0那么 的所有可能a|a| b|b| c|c| abc|abc|的值为（ ）A 1 B 1 或1 C 2 或2 D 0 或204已知|m|m，化简|ml|m2|所得结果( )A 1 B 1 C 2m 3 D 3 2m05如果 0p15，那么代数式|xp|x15|x p15|在 px15 的最小值( )A 30 B 0 C 15 D 一个与 p 有关的代数式06|x1|x 2|x 3| 的最小值为 .07若 a0，b0，使|xa|xb|ab 成立的 x 取值范围 .08 （武汉市选拔赛试题）非零整数 m、n 满足|m |n| 50 所有这样的整数组(m
15、，n)共有 组09若非零有理数 m、n、p 满足 1则 .|m|m |n|n |p|p 2mnp|3mnp|10 （19 届希望杯试题）试求|x1|x2|x 3| |x1997|的最小值.11已知(|xl|x2|)（|y2|y1|） （|z3|zl|）36，求 x2y3 的最大值和最小值.12电子跳蚤落在数轴上的某点 k0，第一步从 k0向左跳 1 个单位得 k1，第二步由 k1向右跳2 个单位到 k2，第三步由 k2向左跳 3 个单位到 k3，第四步由 k3向右跳 4 个单位到 k4按以上规律跳 100 步时，电子跳蚤落在数轴上的点 k100新表示的数恰好 19.94，试求 k0所表示的数.
16、13某城镇，沿环形路上依次排列有五所小学，它们顺扶有电脑 15 台、7 台、1l 台、3 台，14 台，为使各学校里电脑数相同，允许一些小学向相邻小学调出电脑，问怎样调配才能使调出的电脑总台数最小？并求出调出电脑的最少总台数.第 02 讲 有理数的加减法考点方法破译1理解有理数加法法则，了解有理数加法的实际意义.2准确运用有理数加法法则进行运算，能将实际问题转化为有理数的加法运算.3理解有理数减法与加法的转换关系，会用有理数减法解决生活中的实际问题.4会把加减混合运算统一成加法运算，并能准确求和.经典考题赏析【例】 （河北唐山）某天股票 A 开盘价 18 元，上午 11:30 跌了 1.5 元
17、，下午收盘时又涨了 0.3 元，则股票 A 这天的收盘价为（ ）A0.3 元 B16.2 元 C16.8 元 D18 元【解法指导】将实际问题转化为有理数的加法运算时，首先将具有相反意义的量确定一个为正，另一个为负，其次在计算时正确选择加法法则，是同号相加，取相同符号并用绝对值相加，是异号相加，取绝对值较大符号，并用较大绝对值减去较小绝对值.解：18（1.5）（0.3）16.8，故选 C【变式题组】01今年陕西省元月份某一天的天气预报中，延安市最低气温为6，西安市最低气温2，这一天延安市的最低气温比西安低（ ）A8 B8 C6 D202 （河南）飞机的高度为 2400 米，上升 250 米，又
18、下降了 327 米，这是飞机的高度为_03 （浙江）珠穆朗玛峰海拔 8848m，吐鲁番海拔高度为155 m，则它们的平均海拔高度为_【例】计算（83）（26）（17）（26）（15）【解法指导】应用加法运算简化运算，83 与17 相加可得整百的数，26 与26互为相反数，相加为 0，有理数加法常见技巧有：互为相反数结合一起；相加得整数结合一起；同分母的分数或容易通分的分数结合一起；相同符号的数结合一起.解：（83）（26）（17）（26）（15）（83）（17）（26）（26）15（100）1585【变式题组】01 （2.5）（3 ）（1 ）（1 ）23402 （13.6）0.26（2.7）（
19、1.06）132641181412-a-b0ba030.1253 （3 ）11 （0.25）14823【例】计算 1112342089【解法指导】依 进行裂项，然后邻项相消进行化简求和.()nn解：原式 111()()()2342089 2089 1098【变式题组】01计算 1（2）3（4） 99（100）02如图，把一个面积为 1 的正方形等分成两个面积为 的长方形，12接着把面积为 的长方形等分成两个面积为 的正方形，再把24面积为 的正方形等分成两个面积为 的长方形，如此进行下1418去，试利用图形揭示的规律计算_.286324256【例】如果 a0，b0，a b0，那么下列关系中正确
20、的是（ ）Aab b a Ba ab bCba b a D ab ba【解法指导】紧扣有理数加法法则，由两加数及其和的符号，确定两加数的绝对值的大小，然后根据相反数的关系将它们在同一数轴上表示出来，即可得出结论.解：a0，b0 ， a b 是异号两数之和又 a b0，a、b 中负数的绝对值较大，| a | | b |将 a、b 、 a、 b 表示在同一数轴上，如图，则它们的大小关系是 ab ba【变式题组】01若 m0，n0，且| m | | n |，则 mn _ 0.（填、号）02若 m0，n0，且| m | | n |，则 mn _ 0.（填、号）03已知 a0，b0，c0，且| c |
21、b | | a |，试比较 a、b、c、a b、a c 的大小【例】4 （33 ）（1.6）（21 ）253181【解法指导】有理数减法的运算步骤：依有理数的减法法则，把减号变为加号，并把减数变为它的相反数；利用有理数的加法法则进行运算.解：4 （33 ）（1.6）（21 ）4 33 1.621253814.41.6（33 21 ）65561318【变式题组】01 25()()()362024 （3.85）（3 ）（3.15）140317887.21（43 ）153 12.79219【例】试看下面一列数：25、23、21、19观察这列数，猜想第 10 个数是多少？第 n 个数是多少？这列数中有多少个数是正数？从第几个数开始是负数？求这列数中所有正数的和.【解法指导】寻找一系列数的规律，应该从特殊到一般，找到前面几个数的规律，通过观察推理、猜想出第 n 个数的规律，再用其它的数来验证.解：第 10 个数为 7，第 n 个数为 252(n1)n13 时，252(131)1，n14 时，252(141)1故这列数有 13 个数为正数，从第 14 个数开始就是负数.这列数中的正数为 25,23,21,19,17,15,13,11,9,7,5,3,1，其和（251）（233）（1511）1326613169
